ИП_Лаб_5
.docxМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»
КАФЕДРА № 41
ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
старший преподаватель |
|
|
|
Н.Н. Григорьева |
должность, уч. степень, звание |
|
подпись, дата |
|
инициалы, фамилия |
ОТЧЕТ О ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ №5 |
Исследование операций |
по курсу: Исследование операций |
|
|
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ
СТУДЕНТ ГР. № |
4616 |
|
|
|
А.В.Павлов |
|
|
|
подпись, дата |
|
инициалы, фамилия |
Санкт-Петербург 2019
Цель работы: Решить предоставленный задачи
Вариант 7
1 Антагонистические матричные игры
1.1 Определите нижнюю и верхнюю цены, проверьте, имеет ли игра решение
в чистых стратегиях.
7 |
6 |
10 |
16 |
-6 |
-9 |
-3 |
5 |
14 |
1.2 Найдите решение в смешанных стратегиях матричной игры 2×2
аналитически и с использованием понятия равновесия по Нэшу
0,4 |
0,8 |
1,3 |
0,2 |
1.3 Проведите сокращение размерности игры до формата m×2 или 2× n и
найдите ее решение в смешанных стратегиях графическим методом.
Представьте оптимизированную игру в виде задачи линейного
программирования и проверьте правильность решения средствами MS Excel.
4 |
10 |
0 |
6 |
7 |
5 |
3 |
8 |
2 |
9 |
4 |
9 |
11 |
3 |
10 |
1.4 Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
-1 |
2 |
-4 |
2 Биматричные игры.
Решите биматричную игру графическим методом
6 |
2 |
8 |
1 |
4 |
1 |
0 |
7 |
Ход работы:
1.1
1 игрок выбирает стратегию для получения максимального выигрыш. 2 игрок выбирает стратегию чтобы уменьшить выигрыш 1 игрока
|
B1 |
B2 |
B3 |
a=min(Ai) |
A1 |
7 |
6 |
10 |
6 |
A2 |
16 |
-6 |
-9 |
-9 |
A3 |
-3 |
5 |
14 |
-3 |
b= min(Bi) |
16 |
6 |
14 |
|
Тогда нижняя граница цены a = 6, а верхняя граница цены b=6. Т.к в игре с матрицей А a=b, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях. Т.е есть решение игры в чистых стратегиях.
1.2
Найдем аналитически оптимальную стратегию игрока А и соответствующую цену игры Х*(р1, р2), n
Решим систему уравнения получим v=0.64 , p1=0.73, p2=0.26, Т.е X(0.73,0.26),n=0.64
Стратегию А1 нарисуем на графике с координатами 1.3 и 0.2, 0.4 и 0.8.
Рисунок 1 – Геометрический рисунок
Найдем координаты точки пересечения трех линий. Решим систему уравнений
X=0.6, y =0.64. M(0.6,0.64), значит n=0.64, Y(1-0.6,0.6)
Значит ответ = X(0.73,0.26), Y(0.4,0.6), n= 0.64
1.3
Аналогично задачи 1.1 составляем таблицу
|
B1 |
B2 |
B3 |
a=min(Ai) |
A1 |
4 |
10 |
0 |
0 |
A2 |
6 |
7 |
5 |
5 |
A3 |
3 |
8 |
2 |
2 |
A4 |
9 |
4 |
9 |
4 |
A5 |
11 |
3 |
10 |
3 |
b=max(Bi) |
11 |
10 |
10 |
|
Тогда нижная цена a=5, которая указывает на макс. Чистоту стратегии А2. Верхняя цена b=10. Т.к a не равно b, то отсуствует седловая точка, цена игры находится 5<=y<=10.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 меньше элементов столбца 1), следовательно, исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q1 = 0.
10 |
0 |
7 |
5 |
8 |
2 |
4 |
9 |
3 |
10 |
Решаем игру относительно игрока В, который придерживается максиминной стратегии. Верхняя граница выигрыша A2NA4. Максиминной оптимальной стратегии игрока B является точка N, между прямыми A2A2 и A4A4. Запишем для них систему
y = 7 + (5 - 7)q2
y = 4 + (9 - 4)q2
q1 = 0,57
q2 = 0,42
Цена игры, y = 6.14
Найдем минимаксную стратегию игрока , исключив оттуда А1,А3,А5, потому что она дает большой проигрыш игроку А, следовательно, p1 = 0,p3 = 0,p5 = 0.
7p2+4p4 = y
5p2+9p4 = y
p2+p4 = 1
p2=0.714
p4=0.28
Рисунок 2 – Задача номер 1.3
Ответ. Цена игры: y = 6,14, векторы стратегии игроков: P(0, 0.71, 0, 0.28, 0), Q(0.57, 0.42)
Решим задачу в Excel способом описанным в 1 практической работе.
Рисунок 3 – Настройка поиска
Рисунок 4 – Результат решения
1.4 Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон
|
B1 |
B2 |
B3 |
a=min(Ai) |
A1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
A2 |
0 |
-1 |
2 |
-1 |
A3 |
-1 |
2 |
-4 |
-4 |
b=max(Bi) |
1 |
2 |
2 |
|
Нижняя цена игры a=0, верхняя цена игры b=1. A не равно b значит нет седловой точки, цена игры находится в диапазоне 0 <= y <=1.
Итерация1
Минимальный элемент = 0 и находится под номером j=3. Следовательно, игрок 2 выбирает стратегию №3
Максимальный элемент = 2 и находится под номером j=2. Следовательно, игрок 1 выбирает стратегию №2
Остальные данные запишем в таблицу
K=номер партии, I= номер стратегии игрока А,J= номер стратегии игрокаB,Bi/Ai – накопленный игроком А/B выигрыш за k партий, при условии, что в данной партии B/A выбирает стратегию Bi/Ai. Vmin/Vmax- нижняя/верхняя оценка игры
K |
I |
B1 |
B2 |
B3 |
J |
A1 |
A2 |
A3 |
vmin |
vmax |
vch |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
0 |
2 |
-4 |
0 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
1 |
-2 |
0 |
0.5 |
0.25 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
0.5 |
4 |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
-1 |
2 |
0.5 |
0.75 |
0.625 |
5 |
1 |
4 |
3 |
2 |
3 |
3 |
1 |
-2 |
0.4 |
0.6 |
0.5 |
Цена игры = (vmin+vmax)/2, при k-> бесконечность.
Цена игры = 0.5
Стратегия игрока 1 p=(0.8,0.2,0)
Стратегии игрока 2 q=(0,0.6,0.4)
2 Биматричные игры.
Решите биматричную игру графическим методом
A B
6 |
2 |
8 |
1 |
4 |
1 |
0 |
7 |
Ищем ситуации равновесия
C = 6 - 2 - 8 + 1 = -3
α = 1 - 2 = -1
D = 4 - 1 - 0 + 7 = 10
β = 7 - 0 = 7
(p–1)(-3q+1) ≥ 0
p(-3q+1) ≥ 0
(q-1)(10p-7) ≥ 0
q(10p-7) ≥ 0
Получаем
p=1,q ≤ 1/3
p=0, q ≥ 1/3
0 ≤ p ≤ 1, q=1/3
q=1,p ≥ 0,7
q=0, p ≤ 0,7
0 ≤ q ≤ 1, p=0,7
P*=(0.7,0.3) Q*=(1/3,2/3)
Найдем цену игры
Смешная стратегия для 1 игрока P*(0.7,0.3), для 2 игрока Q*=(1/3,2/3) и выигрыш в равновесной ситуации =(10/3,14/5)
Рисунок 4 – Изображение результата
Вывод: В ходе практической работы мы изучили теорию игр. Решили антагонистические матричные, решили задачи смешанных стратегий, ознакомились с графическим методом решения задач, решили биматричные игры.