Кафедра электротехники и электрических машин
Лекция № 4
по дисциплине «Надежность электрооборудования предприятий и учреждений»
для студентов направления подготовки:
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»
Тема № 4. Комплексные показатели надежности
Краснодар 2015 г.
Цели: 1. Формирование следующих компетенций:
ПК-7. Готовность обеспечивать требуемые режимы и заданные параметры технологического процесса по заданной методике.
ПКд-2. Способность проводить экспериментальные исследования в профессиональной области и обрабатывать результаты экспериментов.
2. Формирование уровня обученности:
должны знать основы методов обеспечения требуемых режимов и заданных параметров технологического процесса по заданной методике.
Материальное обеспечение:
Проектор, ПК.
Учебные вопросы
Вводная часть.
Основная часть:
1. Основы теории марковских процессов
2. Надежность объектов с двумя возможными состояниями – схема "отказ – восстановление".
Заключение.
Литература
1. Шишмарев, В.Ю. Надежность технических систем [Текст]: учеб. для вузов / В.Ю. Шишмарев. – М.: Академия, 2010. – 304 с. 2. Александровская, Л.Н. Современные методы обеспечения безотказности сложных технических систем: Учебник / Л.Н. Александровская, А.П. Афанасьев, А.А. Лисов. – М.: Логос, 2013. – 208 с.
1. Основы теории марковских процессов
Кроме показателей, которые характеризуют одно из свойств, определяющих надежность технического объекта, безотказность, ремонтопригодность, сохраняемость или долговечность, существуют показатели, которые характеризуют сразу несколько из этих свойств, например безотказность и ремонтопригодность.
П ри определении комплексных показателей рассматривается не одно состояние объекта, например работоспособное или неработоспособное, а анализируется процесс перехода объекта из одного состояния в другое, причем процесс этот — случайный, т.е. переходы осуществляются с определенными вероятностями. Математическим аппаратом для описания функционирования таких объектов является теория марковских процессов .
Марковским называется такой процесс перехода объекта или системы из одного состояния в другое, в котором вероятности перехода зависят от того, между какими состояниями осуществляется переход, и не зависят от того, каким образом рассматриваемая система попала в то состояние, из которого осуществляется переход. Последнее свойство называется отсутствием последействия, или отсутствием «памяти» у рассматриваемого процесса.
А
Рисунок 1 – Система
для моделирования марковского прцесса
Рассматриваемая система может находиться в трех состояниях:
Напротив указателя расположен сектор А.
Напротив указателя расположен сектор В.
Напротив указателя расположен сектор С.
Переход (перевод) системы из одного состояния в другое осуществляется с помощью следующего вероятностного механизма:
если система находится в состоянии 1, то состояние, в которое она перейдет, определяется путем бросания монеты.
Если монета выпадает вверх гербом, то система переходит в
состояние 2 (под указатель переводится сектор В), если же монета выпадает вверх цифрой — то в состояние 3.
Обозначим Pij — вероятность перехода из состояния с номером j в состояние с номером j.
Очевидно, что в рассматриваемой ситуации Р11 =0, P12 = 0,5, P13 = 0,5.
Если система находится в состоянии 2, то состояние, в которое она будет переведена, определяется путем бросания игральной кости. Если выпадает нечетное число 1, 3 или 5, то система переходит в состояние 1; если выпадает цифра 2, то система остается во 2-м состоянии; если выпадают цифры 4 или 6, то система переходит в состояние 3.
В этой ситуации вероятности переходов равны следующим величинам: Р21 = 0,5, Р22 = 1/6, P23 = 1/3.Если система находится в состоянии 3, то следующее состояние определяется путем бросания 2 монет.
Если одна монета выпадает вверх гербом, а другая цифрой (такому исходу испытаний благоприятствуют 2 варианта: 1-я монета выпадает гербом, 2-я цифрой; и наоборот), то система переходит в состояние 1; если обе монеты выпадают вверх гербом, то система переходит в состояние 2; если обе монеты выпадают вверх цифрой, то система находится (остается) в состоянии 3. Несложно подсчитать, что Р21=0,5, P32 = 0,25, P33 = 0,25. Вероятности переходов системы из одного состояния в другое удобно представлять в виде квадратной матрицы, в которой число строк и столбцов равно числу состояний системы, номера строк — номера состояний, из которых система «уходит», а номера столбцов — в которые она переходит, на пересечении i-й строки и j-го столбца записывается вероятность Рij. В рассматриваемом примере матрица вероятностей переходов имеет вид:
Сумма вероятностей, стоящих в одной строке, равна 1, т.е.
где п — число состояний системы.
Более наглядный вид имеет представление марковского процесса в виде графа переходов, в котором вершины — это состояния системы, стрелки — направления переходов, а около каждой стрелки указывается вероятность соответствующего перехода (рис. 2).
Для рассматриваемого примера граф переходов выглядит следующим образом.
Задания марковского процесса в виде матрицы вероятностей переходов или в виде графа переходов являются равносильными, т.е. если задана матрица, то по ней легко построить граф переходов и, наоборот.
Для того чтобы марковский процесс был полностью определен, кроме матрицы вероятностей (графа) переходов, необходимо задать начальное условие, т.е. указать вероятности, с которыми рассматриваемая система находилась в каждом из состояний на
н
Рисунок 2 – Граф
переходов
Обычно на нулевом шаге фиксируется одно из состояний, т. е. его вероятность считается равной 1, а вероятности всех остальных состояний равны 0.
Обозначим Рi(к) — вероятность того, что рассматриваемая система находится в состоянии i на к-м шаге процесса.
Начальные условия задаются в виде вектора-строки, компонентами которого являются вероятности Pi(0), i = 1, 2, п.
Для рассматриваемого примера начальные условия задаются следующим образом:
а) — система находится в состоянии 1.
б) — система находится в состоянии 2.
в) —система находится в состоянии 3.
Если известны матрица вероятностей или граф переходов и задан вектор распределения вероятностей (начальные условия), то можно рассчитать вероятности, с которыми система будет находиться в одном из состояний на любом шаге процесса.
Для рассматриваемого примера выберем начальные условия а), т.е. и рассчитаем Pj(k) для i = 1,2, 3 и к - 1,2, 3,4,..., п.
Система окажется в состоянии 1 на первом шаге процесса (к = 1), если она находилась в этом состоянии на нулевом шаге и осталась в нем, или она находилась во 2-м состоянии на нулевом шаге и перешла из 2-го состояния в первое, или она находилась в 3-м состоянии и перешла из него в 1-е состояние.
Вероятность того, что система будет находиться в 1 -м состоянии на 1-м шаге процесса, находится как вероятность сложного события по теоремам умножения и сложения вероятностей:
Аналогично находятся вероятности того, что на 1-м шаге система будет находиться во 2-м или 3-м состоянии:
Распределение вероятностей состояний системы на первом шаге процесса {к = 1) представим в виде вектора-строки: Р(1) = (0; 0,5; 0,5).
Зная распределения вероятностей состояний системы на первом шаге, можно рассчитать вероятности состояний на 2-м шаге, а зная их, можно рассчитать вероятности состояний на 3-м шаге и т.д.
Вероятности состояний системы на 2-м шаге:
Далее аналогично:
И
3
Рисунок 3 –
Зависимость вероятностей состояний
системы от номера шага процесса переходов
Граф переходов рассматриваемой системы является связным (см. рис.2), так как все переходы из одного состояния в другое осуществляются за один шаг, кроме перехода из первого состояния в первое. Этот переход осуществляется за два шага, например система из первого состояния переходит во второе, а из него в первое.
Если задаться другими начальными условиями, например , то, проделав аналогичные выкладки, получаем зависимости вероятностей состояний от номера шага процесса переходов, показанные на рис. 3 штриховыми линиями.
Из рис. 3 видно, что независимо от начальных условий финальные значения вероятностей каждого из состояний принимают одну и ту же величину
Рi (к) = const = Pi, где Pi — финальное значение вероятности i-го состояния не
к→∞ зависящее от номера перехода к.
Финальные значения вероятностей для разных состояний различные Р1≠ Р2≠ Р3 причем Р1 + Р2 + Р3 = 1.
В общем виде для системы, имеющей п различных состояний, сумма финальных вероятностей всех состояний равна 1:
(1)
Алгоритм расчета вероятностей состояний системы можно представить в виде следующей рекуррентной формулы:
(2)
где Pj(k + 1) — вероятность того, что система будет находиться в j-м состоянии (j= 1,2, ...,n) на (к + 1)-м шаге процесса переходов;
Pj(k) — вероятность того, что система находится в /-м состоянии
(j=1,2,..., п) на к-м шаге;
Pij—вероятность перехода из i-го состояния j-е;
п — число различных состояний системы.
Формула (2) носит название уравнения Маркова в честь российского ученого А. А. Маркова (1856—1922), который впервые разработал математический аппарат исследования особого вида случайных процессов, которые впоследствии были названы марковскими.
В рассматриваемом примере вероятности переходов Рij- являлись постоянными величинами. На практике обычно эти вероятности зависят от времени , в течение которого система находилась в г-м состоянии до перехода в j-е состояние.
Допустим, т ij—случайная величина, которая для любых комбинаций i, j описывается экспоненциальным законом с функцией распределения
(3)
Здесь λij— интенсивность переходов системы из i-го в j-е состояние:
(4)
где Tij — среднее время пребывания системы в м состоянии до перехода в j-е состояние.
При сделанных допущениях процесс переходов системы из одного состояния в другое будет марковским, так как экспоненциальный закон имеет свойство отсутствия последействия (отсутствие «памяти»), что является характеристическим признаком марковского процесса.
Рассмотрим процесс перехода системы из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени Δt.
По определению т.е. функция распределения равна вероятности того, что за время Δt будет осуществлен переход из i-го в j-е состояние:
(5)
В силу ординарности экспоненциального закона распределения система, перейдя из i-го состояния в j-е, не успеет перейти в какое-либо другое состояние за время Δt.
Разложим в выражении (5) функцию в ряд Тейлора
(6)
В нашем случае
Следовательно
Подставляя
полученные значения в (6), получаем:
В этом выражении все члены, начиная с
П
(7)
Матрица
вероятностей переходов в этом случае
имеет вид:
(8)
В
(9)
(9)
где Pj(t) — вероятность того, что рассматриваемая система находится в /-м состоянии в момент времени /;
Pj(t + Δt) — вероятность пребывания системы в j-м состоянии в момент времени I + Д/;
Pjj(Δt) — вероятность перехода системы из i-го в у'-е состояние за время Δt
п — число состояний системы.
Выражение (4.9) носит название уравнения Колмогорова, в честь советского математика А.Н. Колмогорова (1903—1987), впервые разработавшего математический аппарат исследования марковских процессов, в которых вероятности состояний и переходов являются функциями времени.
Д
(10)
Имея
распределение (10) и матрицу (8), с помощью
уравнения Колмогорова (9) можно
рассчитать вероятности Pi(t),
с
которыми рассматриваемая система
будет находиться в i-м
состоянии i=
1,2, ...,n
в произвольный момент времени t.