zanyatie_KhT_3_10aprelya
.pdfЗанятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 10 апреля
0.1Интегрирование тригонометрических выражений
∫ ∫ ∫
1. Интегралы вида sin x cos x dx; sin x sin x dx; cos x cos x dx; в которых подын-
тегральное выражение есть произведение двух тригонометрических функций, вычисляются с помощью следующих равенств
sin x cos x = |
1 |
|
( sin ( + ) + sin ( )); |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin x sin x = |
1 |
|
|
( cos ( ) cos ( + )); |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos x cos x = |
1 |
( cos ( ) + cos ( + )); |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
заменяющих произведение тригонометрических функций на сумму. |
|
||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ sin 3x sin 5x dx = ∫ |
|
( cos (3x 5x) cos (3x + 5x)) dx = |
|
∫ |
cos 2x cos 8x dx = |
||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
sin 2x |
|
|
sin 8x + c: |
|
|
|
2. Интегралы вида ∫ |
|
|
4 |
16 |
|
|
|
||||||||||||
R(sin x; cos x) dx; где R – рациональная функция двух переменных: |
|||||||||||||||||||
R(u; v) = |
|
P (u; v) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Q(u; v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|||
P (u; v) = |
|
ai;kuivk; |
Q(u; v) = |
aj;suj vs: |
|
|
|
||||||||||||
|
i;k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j;s=1 |
|
|
|
Ниже приведены три частных случая для интегралов этого типа и соответствующей замены переменной, после которой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I случай. Пусть |
R( sin x; cos x) R(sin x; cos x); то есть R нечётна по первому аргу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
полагаем t = cos x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
менту, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
sin3 x |
dx = |
|
|
|
sin2 x d(cos x) |
= [t = cos x] = |
|
|
|
|
1 t2 |
dt = |
|
1 |
|
1 |
dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ t2 |
|
|||||||||||||||||||
Пример. ∫ cos4 x |
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
t4 |
t4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
+ c = |
|
|
|
|
|
|
+ c: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
3t3 |
|
3 cos3 x |
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
II случай. Пусть |
R(sin x; cos x) R(sin x; cos x); то есть R нечётна по второму ар- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
полагаем t = sin x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
гументу, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример.∫ |
|
|
sin 2x |
dx = ∫ |
|
2 sin x cos x |
|
|
∫ |
sin x d(sin x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx = 2 |
|
|
|
|
= [t = sin x] = |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 + sin x |
|
|
|
1 + sin x |
|
1 + sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
t dt |
∫ |
1 |
|
|
|
|
2 ln jt + 1j + c = 2 sin x ln(sin x + 1)2 + c: |
|||||||||||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
= 2 |
1 |
|
|
dt = 2t |
||||||||||||||||||||||||||
1 + t |
t + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
III случай. Пусть |
R( sin x; cos x) R(sin x; cos x), тогда полагаем t = tg x или t = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример.∫ |
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
(tg x) |
|
|
|
∫ |
|
|
dt |
|
|
|
= ∫ |
(1 + t2)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
d |
= [t = tg x] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
||||||||||||||||||
sin4 x cos2 x |
sin4 x |
|
1 |
|
|
1 |
) |
2 |
|
t4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
( |
|
1+t |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg3 x + c: |
|||||||||||||||
|
= |
|
|
2 |
|
+ t + c = tg x |
|
|
|
|
|
+ c = tg x |
2 ctg x |
|
||||||||||||||||||||
|
3t3 |
t |
tg x |
|
3 tg3 x |
3 |
IV Универсальная подстановка.
Если интеграл от дроби R(sin x; cos x) не относится к одному из описанных случаев, то подынтегральную функцию можно привести к рациональной с помощью универсальной подстановки
Пример.
∫
|
|
|
|
|
t = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x = 2 arctg t |
|
|
|
|
2 |
|
dt |
|
|
|
2dt |
||||||||||||
|
|
|
|
1+t2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx = |
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||||||||||
|
|
1+t2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2t |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
1 + sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
1 + |
|
|
+ |
1 t2 |
|
|
2t + 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x = |
|
1+t2 |
|
∫ |
1+t |
|
1+t |
∫ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos x = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c = ln tg |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t + 1 = ln jt + 1j |
2 + 1 + c: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Задания для аудиторной работы.
Найти интегралы:
∫
1: sin 10x sin 15x dx:
4: ∫ |
cos x cos2 3x dx: |
|
|||||
7: ∫ |
cos3 x dx : |
|
|
|
|||
10: ∫ |
|
dx |
: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
tg x cos 2x |
|
|||||
13: ∫ |
|
sin2 x dx |
|
|
|
||
|
|
: |
|
|
|
||
|
1 tg x |
|
|
|
|||
16: ∫ |
|
cos x dx |
|
|
: |
||
|
|
|
|||||
|
sin3 x cos3 x |
||||||
19: ∫ |
tg3 x dx: |
|
|
|
∫
2: cos x2 cos x3 dx:
∫
5: sin x sin 2x sin 3x dx:
∫
8: sin5 x dx:
11: ∫ |
dx |
|
|
|
: |
|
|
1 + tg x |
|
||
14: ∫ |
dx |
: |
|
|
|||
(sin x + 2 sec x)2 |
∫p
|
tg x |
|
17: |
|
dx : |
sin x cos x |
Домашнее задание.
3: ∫ |
|
|
|
x |
|
2x |
|
|
||||||
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
dx: |
|
|
|||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
6: ∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
||||
cos |
|
|
cos |
|
|
|
dx: |
|
|
|||||
2 |
3 |
|
|
|||||||||||
9: ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
: |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(sin x + cos x)2 |
|
||||||||||||
12: ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 + 4 cos x |
|
|
||||||||||
15: ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
: |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 3 cos2 x + 5 sin2 x |
∫ p
18: 1 + sin x dx:
Найти интегралы.
∫
1: sin x sin 3x dx:
∫
4: cos x cos 2x cos 3x dx:
7: ∫ sin3 x dx : cos x
10: ∫ |
dx |
: |
sin x + cos x |
∫
2:
∫
5:
∫
8:
∫
11:
cos 2x cos 3x dx:
cosdxx :
cos3 x dx: sin4 x
2 sin x dx :
2 + cos x
∫
3: cos x sin 3x dx:
∫
6: 1 sin x dx: cos x
∫
dx
9: cos4 x :
3