Вектора / Векторы
.doc(25)
или
(26)
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
3) (распределительное свойство).
Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой
(27)
Векторное произведение можно записать с помощью определителя
(28)
Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам
(29)
и тогда на основании (4)
(30)
Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.
19. Векторно-скалярное произведение трех векторов , и или смешанное их произведение вычисляется по формуле
(31)
Абсолютная величина векторно-скалярного произведения (смешанного произведения) равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Объем пирамиды, построенной на векторах , и , получим по формуле
(32)
причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы , и не лежат в одной плоскости).
20. Три вектора , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.
Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
= 0
21. Фиксированная тройка некомпланарных векторов с общим началом в фиксированной точке О называется афинной системой координат или базисом (на плоскости два неколлинеарных вектора). Координаты вектора – это проекции вектора на векторы базиса.
В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать буквами . Каждый из векторов имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно ортогональны и образуют правую тройку.
22. Пусть
Длина вектора (33)
23. Пусть
Угол φ между векторами и определяется по формуле:
(34)
24. Скалярное произведение
Найдем скалярные произведения тройки базисных векторов:
Скалярное произведение векторов в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат
(35)
Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов и является равенство
(36)
25. Векторное произведение обозначают
Модуль векторного произведения равно площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и
Векторное произведение векторов в координатной форме
. (37)
Если векторы коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.
(38)
26. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая.
Поэтому = V параллелепипеда.
Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами то смешанное произведение этих векторов равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемноженных векторов, т.е.:
27. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является рвенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов:
28. Основные задачи, связанные с векторным и смешанным произведением векторов.
1. Определение площади треугольника АВС
2. Определение объема тетроэдра:
3. Определение высоты тетроэдра: