Методическое пособие 612

	Рис. 2.22. Структура бинарной
	системы с тремя типами обратных	Рис. 2.23. Структура бинарной сис-
	связей — координатной, КООС,
		темы с ОКОС
	операторной

Структурная схема с ОКОС (рис. 2.12) представляет собой систему управления, построенную на основе использования всех введенных типов обратных связей. Можно было бы показать, что использование обычных операторов обратных связей различных типов позволяет получить новые нелинейные алгоритмы управления, наделяющие замкнутую систему управления теми свойствами и характеристиками, о которых шла речь выше.

Подчеркнем еще раз, что как вся введенная выше терминология, понятия и определения, так и типы обратных связей — условные, никакого физического различия между пе- ременной-координатой и переменной-оператором может и не быть. Это различие вводится на уровне понятий и позволяет получать такие нелинейные алгоритмы управления, решаю-

щие поставленную задачу регулирования, которые другим путем получить было бы затруднительно.

В заключение заметим следующее. В настоящее время в практических задачах все чаще приходится иметь дело с управлением существенно нестационарными и неопределенными динамическими системами при неполной информации. Достижение целей регулирования (часто достаточно сложных) в этих условиях в рамках традиционных подходов не всегда возможно. Все более существенное влияние на выбор тех или иных методов управления оказывают различного рода ограничения (на управление, на коэффициенты усиления, на информацию, на сложность математической модели и т. п.). Поэтому все более остро ощущается необходимость в разработке такой теории управления, в которой учитывались бы уже на этапе формирования ее основных понятий особенности современных объектов автоматизации и те реальные ограничения, с которыми приходится сталкиваться на практике. Ясно, что такая теория управления должна предлагать принципиально нелинейные алгоритмы управления. Поэтому особенно важная роль при этом должна принадлежать методологии построения систем управления, позволяющей в простых и привычных терминах определять общую конфигурацию алгоритмов и систем управления.

Теория бинарных систем автоматического управления является некоторой попыткой продвижения в таком направлении. Цель ее заключается в переходе к принципиально нелинейным системам управления, конструируемым на основе классического принципа регулирования — принципа обратной связи, что может оказаться полезным при высококачественном решении задач регулирования при ряде существенных ограничений различного рода.

77

ГЛАВА 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

3.1. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

3.1.1. Структура уравнения

Уравнения Лагранжа второго рода применяют в предположении идеальности всех связей, наложенных на движение системы тел. Эти связи могут быть только голономными. При составлении уравнений Лагранжа вначале необходимо определить вектор обобщенных координат, включающий в себя минимальное число независимых параметров, однозначно определяющих движение системы.

Выберем в качестве вектора обобщенных координат, как и в гл. 5, вектор q относительных перемещений звеньев. Рассмотрим

механизм, образующий разомкнутую кинематическую цепь, не имеющую точек ветвления.

Уравнение Лагранжа второго рода для этого механизма имеет следующий вид:

d		K		K	Q	(3.1)
dt		q		q

где К — кинетическая энергия механизма; Q — вектор обобщенных сил. Используя обозначения принятые в гл. 5, запишем выражение для кинетической энергии

K

1

T I vT mv

1

xT M

x, M

m

0

2

2

x

x

0

I

где x

v

T — вектор

линейных

и угловых

скоростей

звеньев в абсолютной системе координат; т, I — матрицы, компоненты которых соответствуют массам и тензорам инерции звеньев.

Согласно формулам, приведенным в п. 3.1.3, получаем

x	BT q
и, следовательно,		1	qT Aq
K
	2					(3.2)
где
A BT mB			BT IB BT M	x	B	(3.3)
v v

матрица, полученная нами при составлении уравнения движения в форме Даламбера (см. (5.52).

Заметим, что процедуру составления матрицы A можно интерпретировать как результат наложения геометрических связей, обусловленных кинематической схемой манипуляционного механизма

x f (q)

(3.4)

на движение его звеньев. Если обозначить якобиеву матрицу преобразования (3.4)

	J f	(q)	dfi (q)
			dqi
	то получим

K		1	qt J t		(q)M		J		(q)q
						x		f
	2			f
Следовательно,
	A J tf			(q)M x J f			(q)			(3.5)
			B	J f (q)
Обобщенные силы в уравнении (3.1) Q (Q ,Q ...Q )T										оп-
									1 2 n

ределяют исходя из того, что элементарная работа всех действующих на систему активных сил может быть представлена в виде

81	82

N
A Q q	i	qTQ	(3.6)
i
i 1

На манипулятор действуют внешние силы и моменты FR , Мв, а также силы и моменты µ, развиваемые двигателями в степенях подвижности. Вычислим элементарную работу этих сил при изменении обобщенных координат δq . С учетом формул,

приведенных в гл. 5, подучим

qT Q qT BT F			BT M		B	μ	(3.7)
		B
Это равенство должно выполняться для любых							q , следова-
тельно,
Q BT F	BT M	B	μ	T F		μ	(3.8)
B					B
Пусть, в частности, MB	0 , а внешние силы — потенци-

альные. Тогда существует такая непрерывная и дифференцируемая функция U U - U(q1 , ..., q N ) (потенциал), для которой выполняется соотношение

BT F		grandU						U	...	U
B								q1		qN
а значит,
			Q = gradU +µ							(3.9)
Уравнение Лагранжа (3.1) в этом случае можно записать в виде
	d		L			L		μ		(3.10)
	dt		q			q

где L K U — кинетический потенциал (функция Ла-

гранжа).

В частности, если система находится только под действием сил тяжести, то FB G , aU -V , где V — потенциальная энер-

гия механизма. Ее нетрудно вычислить по формуле

V

mi gρ0i

(3.11)

Здесь р0; —радиус-векторы центров масс звеньев относительно начала неподвижной системы координат.

3.1.2. Связь между уравнением Лагранжа и уравнением кинетостатики.

Для рассмотренной в п. 3.1.1. разомкнутой кинематической цепи без точек ветвления уравнение Лагранжа второго рода после необходимых преобразований совпадет с уравнением движения (5.52), полученным выше по принципу кинетостатики. Чтобы показать это, найдем составляющие уравнения (3.1). С учетом симметрии матрицы A(q) получим

K

A(q)q

q

Таким образом,

d

K

d

A(q)q

A(q)q

A(q)q

A(q)q

(3.12)

dt

q

dt

где

daij

N

aij (q)

A(q) A(q,q)

q

, aij (q)

dt

k 1

qk

элементы матрицы A(q).

Последнее выражение можно определить путем непосредственного дифференцирования по времени матрицы A(q) , полученной выше в виде (3.3):

	T	M x B	B	T
A(q)	A(q, q) B				M x B

Далее находим с учетом (3.2)

K		K		K		K	T	1		A(q)q
									T		(3.13)
q		q1		q2 ...		qN		2 q		q

Выражение, заключенное в скобки в правой части равенства (3.13), можно представить в виде

84

83

A(q)q

A(q)q...

A(q)q

q

q1

qN

где

N

N

T

A(q)q

a1 j q j ...

aNj q j

j 1

j

1

Таким образом, это выражение определяет

NxN -матрицу

вида

A(q)q

N

aij

q j

;i, k

1,...N

(614)

q

qk

j 1

Подставляя выражения (3.8), (3.12) и (3.13) в уравнение (3.1),

имеем

A(q)q

1

A(q)q T

q

T

A(q)

B

(q)FB

μ

(3.15)

2

q

Вычисляя

производные матрицы

A q в аналитической

форме, получаем уравнение движения манипулятора в форме (5.52) 3.1.3. Численное решение уравнений движения

Выше мы рассмотрели способы численного решения уравнения (5.52). Однако для этого, т.е. для моделирования движения манипулятора, можно использовать и непосредственно

уравнение (3.15). В этом случае на п-м шаге по значениям q(n) ,

	q(n) ) методом		конечных разностей вычисляются производные
		A(q)q
	A(q) и		Из приведенных выше формул следует, что они
		q

включают частные производные элементов матрицы A(q) по q.

Эти частные производные можно приближенно найти по формуле

		aij (q) aij q qK				aij (q)
		qk			qK
где	q qK		(q1 ,..., qK 1 , qk			qk , qk 1 ,..., qN )

Таким образом, на каждом шаге необходимо приближенно вычислить N частных производных для каждого из N2 элементов матрицы A. Определив частные производные, можно вычислить ускорения обобщенных координат, используя формулу

1

1

A(q)q

T

T

q

A

(q)

A(q) q

B

(q)FB

μ

2

q

После

двукратного

интегрирования

этих ускорений

определяем значения

(n 1)

и q

(n 1)

q(tn

t) , являющиеся на-

q

чальными для следующего шага вычислений.

Метод, основанный на непосредственном интегрировании уравнений вида (3.15) называют методом Лагранжа — Эйлера. Он требует обычно больших затрат машинного времени, чем метод Ньютона — Эйлера (см. гл. 5). Кроме того, уравнения (3.15) получены при определенных допущениях, которые можно не учитывать при составлении уравнений движения в форме уравнений кинетостатики. Известные преимущества методы Лагранжа имеют в тех случаях, когда на движение механизма наложены дополнительные связи. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

3.2. Движение при наличии внешних связей. Уравнения Лагранжа первого рода

3.2.1. Определение реакции связей при использовании уравнений кинетостатики

85

Вернемся вначале к уравнениям кинетостатики, рассмотренным в главе 5. Уравнения движения в форме уравнений кинетостатики можно использовать и в том случае, когда на движение манипуляционного робота наложены геометрические, или дифференциальные (кинематические) связи. Иными словами, связи могут быть как голономными, так и неголономными". В первом случае примером может служить сборочная операция, при которой происходит проскальзывание подвижной детали относительно неподвижной при возникающих силах реакции. Второй случай характеризует, например, операцию сборки на движущемся конвейере или обработку роботом поверхности с помощью фрезерного или шлифовального инструмента.

В соответствии с основным принципом кинетостатики наложенную связь заменяют силой реакции FR и моментом реакции MR , которые добавляют к уравнениям кинетостатики. Так, в случае сборки сила реакции FR возникает в контактной точке CR . Если обозначить через р*i-1 N радиус-вектор этой точки относительно начала (i-1)-й системы координат (заданный в неподвижной системе координат) и считать, что внешние силы, действующие на остальные звенья манипулятора,

N

zT

1

(G

j

F )

F

i

0

i

ij

R

j

1

являются силами тяжести, то уравнения кинетостатики

(5.47), (5.48) примут следующий вид

( 1 1 ) :

N

zT

M

r

M

ij

(ρ

i 1 j

) G

F

*

F

i

0

i 1

j ij

i 1 j

R

j 1

Соответственно уравнение движения (5.17) можно записать так:

A(q)q

B q, q

q

BT G

J T F

μ

(3.16)

R

где

J T	zT E	ρ* zT	,	(3.17)
ρ*	diag ρ*	ρ* ...	ρ*
	0 N	1N	N 1N

Остается определить силу (а в общем случае, и момент) реакции наложенных связей. В ряде случаев эту силу можно найти приближенно в зависимости от условий решаемой задачи. Так, при сборке можно считать, что сила реакции возникает при взаимодействии двух тел, обладающих конечной жесткостью. Предполагая, что деформация в направлении нормали к поверхности п в точке контакта составляет х, запишем проекцию силы реакции на эту нормаль:

F	FT n C xn
Rn	R
Если С1 , С2 — коэффициенты упругости каждого из тел, то
можно положить, что C-1 C	-1 C -1
1	2

Полная сила реакции включает также силу трения, действующую в направлении касательной к поверхности т. Таким образом,

FR C xn sign

где k — коэффициент трения; точке контакта.

Совместно решая уравнения, определяющие положение в пространстве собираемых деталей, вычислим величину x .

В случае сборки, например вала А и втулки Б (рис. 3.1), достаточно решить совместно уравнения окружности (отверстие втулки Б в плоскости 5*, ортогональной ее оси) и эллипса (сечение цилиндрической поверхности вала той же плоскостью S При

kTPC xτ,

(3.18)

— относительная скорость в

Б

x

A

S

Рис. 3.1. К определению силы реакции при сборке вала А и втулки Б

8887

86

наличии точек пересечения нетрудно определить величину. Ах, которая, в свою очередь, позволяет вычислить величину силы реакции в соответствии с формулами, приведенными выше.

В случае механической обработки поверхности также можно найти силу реакции, которая определяется режимом обработки, заданным в свою очередь из условий технологического процесса. При этом сила реакции состоит из силы прижима инструмента в направлении нормали к обрабатываемой поверхности Fn и силы резания F, зависящей от скорости движения и ряда технологических параметров. Если справедлива приближенная формула

		F	(sign )k( ) Fn τ		(3.19)
где k(	) — коэффициент, зависящий от технологических
параметров	а — вектор касательной к поверхности, то сила
реакции будет определяться скоростью				и силой прижима
Fn .В соответствии с уравнением (5.21) получим
	F	F T n	(J T ) 1 μ BT	q G T n	(3.20)
	n

Здесь µ — вектор сил и моментов, развиваемых приводами манипулятора, а второе слагаемое соответствует действию сил тяжести.

Подставляя найденные значения сил реакции в уравнение кинетостатики (5.52), имеем возможность исследовать, динамику манипуляторной системы при наличии связей для каждого из рассматриваемых частных случаев.

3.2.2. Уравнение Лагранжа при наличии связей Общий подход к составлению уравнений движения манипу-

лятора при наличии сил реакции связей можно сформулировать, дополнительно предположив, что эти связи идеальны. Пусть, например, объект, удерживаемый в схвате робота, перемещается по поверхности, описываемой уравнениями связи

89

f (x, t) 0; v 1,2,3; x	x , x	2	, x	T
	1			3

(3.21)

Поскольку связи предполагаются идеальными, то, согласно принципу виртуальных перемещений, работа сил реакции равна нулю:

FT	x 0	(3.22)
R

Определяя силы FK в соответствии с уравнением динамики (3.16) в предположении о невырожденности матрицы

J N , получаем

J	1 T	A(q)q	B(q,q)q	BT G μ T	x 0 (3.23)
	v			v

Такое уравнение, объединяющее принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера, называют уравнени-

ем Даламбера — Лагранжа
Учитывая, что		x		J v		q,	перепишем его в виде
	A q q	B q, q			q		BT G μ T q			0	3.24)
							v
Приращения	xI связаны уравнениями
	3			f v
						x j		0	v	1,2,3
	j	1		x j
которые запишем в виде
				J f	x,t		x	0;			(3.25)
где J f	x, t — якобиева матрица, соответствующая урав-

нениям связи (3.21). Переходя к обобщенным координатам и обозначая х = fN (q) ,

J	f	f	N	q ,t	J * (q,t),
					f
вместо уравнения (3.25) получаем
		J *f	q, t J v q		q 0	(3.26)

90

Умножая выражение, стоящее в левой части этого равенства, на вектор неопределенных лагранжевых множителей X (X1 , X 2 X3 ) и прибавляя полученное выражение к левой

части равенства (3.24), получим, принимая во внимание, что приращение q произвольно

A q q		B q, q q		BT G μ J T		q, t λ T 0
				v	fN
						(3.27)
где	J fN	q, t	J *f	q,t J v q
Уравнение (3.27) совместно с уравнением связей
fv	f N	q t	,t	f * q,t	0	(3.28)

образует систему из (N + 3)-x уравнений, позволяющую определить как неизвестные qi i = 1, 2, . . . , N, так и неопределенные множители X1 , X 2 X3

Сравнивая уравнения (3.27) и (3.16) видим, что силы реакции теперь можно вычислить по формуле

F	J T *	q, t λT	(3.29)
R	f

Полученные уравнения (3.27), (3.28) образуют систему уравнений движения Лагранжа первого рода. Ее непосредствен-

ное интегрирование является достаточно сложной задачей, которую можно упростить путем линеаризации уравнений связи. В этом случае имеем

или

f x, t

f x

*

,t J f

x

*

,t x

f x* ,t

0

t

J

q* ,t q

f * q* ,t

0

(3.30)

fN

t

Дифференцируя выражение (3.30) по времени, получаем три уравнения вида

J fN q

*

*

2 f * q* ,t

(3.31)

,t q

J fN q

,t q

2t

которые вместе с уравнениями (3.27)

A q* q

B q* , q* q

BT

q* G μ* J T

q* , t λT

0

v

fN

позволяют на каждом шаге по известным значениям

q* ,q* ,μ* оп-

ределить N + 3 неизвестных q и

. Далее путем двукратного

*

, q

*

, а

интегрирования q определяются последующие значения q

также силы реакции по формуле (3.29).

Очевидным недостатком такого подхода является возможное накопление ошибок из-за неточности интегрирования, приводящих к тому, что уравнение связи (3.30) нарушается. Это требует использования дополнительных корректирующих алгоритмов.

3.2.3. Применение уравнений Лагранжа для анализа движения манипуляционных механизмов с замкнутыми контурами

Метод Лагранжа обычно применяют в тех случаях, когда механизм манипулятора содержит замкнутые контуры, вследствие чего число звеньев оказывается больше, чем число степеней подвижности механизма (рис. 3.2, а). Для применения метода Лагранжа это не является препятствием, поскольку выражения кинетической и потенциальной энергии можно записать относительно координат звеньев, заданных в абсолютной системе координат, что позволяет, как и выше, добавить к уравнениям Лагранжа второго рода уравнения связей между звеньями механизма.

Проблема, однако, заключается в том, что рассмотренные выше способы решения уравнения Лагранжа второго рода, содержащие рекуррентные процедуры вычисления угловых и линейных скоростей на каждом шаге вычислений, справедливы, вообще говоря, только для разомкнутых кинематических цепей. Эту трудность можно преодолеть путем рассмотрения условной кинематической цепи, которая образуется путем разрыва всех замкнутых кон-

91

92

туров (рис. 3.2, б). При этом число разрываемых соединений должно быть минимальным. Теперь можно составить выражение кинетической энергии системы точно так же, как и прежде. Однако вектор обобщенных координат p будет другим, и его размерность будет больше, чем размерность вектора обобщенных координат реальной системы q. Эти векторы связаны уравнениями

f p, q 0

(3.32)

определяющими разорванные нами связи контуров кинематической цепи

Рис. 3.2. Пример механизма, содержащего замкнутые контуры (а); условная разомкнутая кинематическая цепь (б)

93

К этим уравнениям следует добавить уравнения связи в частично разомкнутой цепи, определяющие координаты звеньев х через новые обобщенные координаты р:

x

p

(3.33)

Кинетическая энергия механизма в этом случае равна

K

1

xT M

x

1

pT J T p M

J

p p

(3.34)

2

x

2

x

где

J

p

i

p j

равнение (3.32),

якобиева матрица преобразования (3.33). Используя

получаем

~

~

p

p, q q

J ~ q,

f

p

1 p, q f

q

f

(3.35)

~

~

fi

где

f p ,

fq

— матрицы частных

производных

и

p j

fi

q j

J ~

f

1 f

q

f

p

Воспользуемся еще одним допущением: число уравне-

ний связи (3.32) должно быть равно числу новых обобщенных координат р и матрица fp , которая в этом случае будет квадратной, невырожденная.

Тогда выражение для кинетической энергии К, как и раньше, можно записать в виде квадратичной формы от производных обобщенных координат q :

94

		1				~
	K				qT Aq				(3.36)
		2
в котором
~		T			T	M		J J ~ .	3.37)
A		J ~ J					x
		f						f

Рассмотренный способ позволяет использовать для расчета скоростей звеньев х те же формулы, которые применялись для разомкнутых цепей, поэтому конструкция матриц J будет такой

же. Используя прежние обозначения, можно записать

J p Bv p B p

(3.38)

Обобщенные координаты р можно выразить через обобщенные координаты q, приближенно решая уравнения связи

(3.32):	p	q ,
J	p J	~
		q J q

Уравнение (3.7), определяющее элементарную работу обобщенных сил относительно новых обобщенных координат, примет следующий вид:

p

T

Q

q

T

T

q

T

B

T

F

μ

(3.39)

p

J ~ Q

q

f

B

Отсюда

Q

J

T

1

B

T

F

μ

(3.40)

p

~

f

B

Подставляя полученное выражение в уравнение Лагран-

жа (3.1), получаем уравнение вида (3.15):

~

~

1

~

A(q)q

T

1

T

A q q

q

A(q)

J

B

FB

μ (3.41)

2

q

f

95

~

в котором производные от A(q) в квадратных скобках определяются формулами, приведенными в § 3.1. Как было показа-

но, задача их вычисления сводится к определению частных

~

производных элементов A(q) по обобщенным координатам qi

на каждом шаге интегрирования. Учитывая, что
J ~	J ~ (p, q), J	~
		J (p)J (q)
f	f

~

A(q)

T

T

T

T

J

~

J

M

x

J

J ~

J

~ J

M

x

J

J ~

(3.42)

q j

f

f

f

f

где

T

J

T

T

J ~

p

~

J

T

T

T

T

T

T

f

f

T

T

J ~ J

J ~

J

J ~

J

J

J ~

f

f

f

p

q j

q j

f

q j

Заметим, что

p

,j = 1, 2, ..., N, определяются матрицей

q j

J ~

p, q .

f

Вычисляя на каждом шаге q и q , можно приближенно найти р из уравнения связи (3.32) и, рассчитав все составляющие, которые входят в уравнение (3.41), определить из него q .

После двукратного интегрирования процедуру необходимо повторить.

П р и м е р 3.1. Для кинематической схемы манипуляционного механизма с замкнутым контуром (рис. 3.3, а), характерным для гидравлических манипуляторов, обобщенные координаты q1, q2 можно выбирать обычным способом. Они однозначно определяют положение механизма. В частности, для характерной точки. А схвата получим

x l10 cosq1 l20 cosq2

96

y l10 sin q1 l20 sin q2

(3.43)

Разрывая замкнутый контур (см. рис. 3.3, 6) и вводя новые обобщенные координаты углового р1 , р 2 , р3 и поступательного p4 - перемещений, запишем уравнения (3.32), связывающие новые р], р 2 , р 3 , р4 и базовые g,, q2 обобщенные координаты:

			p1	q1	0, p2	q2	0
l1 cos 1 l3	l4	p4 cos p3	2	l1	l2 cos	3	p2	0
l1 sin	1	l3 l4 p4	sin p3	2	l2 cos 3		p2	0

Рис. 3.3. Кинематическая схема манипуляционного механизма с замкнутым контуром

Смысл третьего и четвертого уравнений заключается в том, что эти уравнения выполняются при наложении связи (восстановлении замкнутого контура); они записаны в проекции на направление Оа и ортогонального к нему.

В качестве характерных точек четырех полученных звеньев выберем их центры масс. Считая для простоты для первых двух звеньев, что соответствующие точки лежат в середине отрезков l10 , l20 , получаем в проекциях на ось ОХ:

x1	l10 / 2 cos p1 ,	x2	l20 / 2 cos p2		l10 cos p1
x3	l3 l3 / 2 cos p3		2	p1 l1 cos	1	p1
x4	l1 cos 1 p1	l3	p4	l4 / 2 cos p3		2 p1 (3.45)

Уравнения в проекциях на ось OY записываются аналогично. Эти уравнения в совокупности и составляют систему

97

98