- •1. Основные определения
- •2. Линии и поверхности уровня
- •4. Предел и непрерывность функции
- •5. Частные производные функции нескольких
- •9. Геометрический смысл полного
- •10. Производные сложных функций
- •11. Полный дифференциал сложной функции
- •12. Производная от функции, заданной неявно
- •13. Частные производные различных порядков
- •15. Экстремумы функции двух переменных
- •16. Условный экстремум
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению раздела «Функции нескольких переменных»
курса «Математический анализ»
для студентов направления подготовки
бакалавров 080100 «Экономика»
очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Функции нескольких переменных» курса «Математический анализ» для студентов направления подготовки бакалавров 080100 «Экономика» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2014. 60 с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические сведения по дифференциальному исчислению функций нескольких переменных. Приводится большое количество решенных типовых задач, задачи экономического содержания и задачи для самостоятельного решения.
Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами первого курса раздела «Функции нескольких переменных» по курсу математического анализа.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «ФНП. doc».
Ил. 5. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.В. Юрьева
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2014
ВВЕДЕНИЕ
Многим явлениям, в том числе и экономическим, свойственна многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало введения понятия функции нескольких переменных.
Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных.
1. Функция , где - постоянные числа, называется линейной. Её можно рассматривать как сумму линейных функций от переменных .
2. Функция - постоянные числа) называется квадратической.
3. Одним из базовых понятий в экономической теории является функция полезности. Многомерный аналог этой функции - функция , выражающая полезность от n приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие её виды:
а) логарифмическая функция , где
б) функция постоянной эластичности , где
4. Для функции переменных также обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов . Наиболее часто встречаются следующие виды производственных функций ( - величина общественного продукта, - затраты труда, объём производственных фондов). Положим для простоты .
а) функция Кобба-Дугласа
б) функция с постоянной эластичностью замещения
.
1. Основные определения
Во многих вопросах экономической теории приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. В дальнейшем будем рассматривать функции двух переменных, что позволит использовать наглядную геометрическую иллюстрацию основных понятий.
Пример. Решая уравнение сферы относительно при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге
Определение. Если каждой паре значений двух независимых переменных величин и из некоторой области их изменения соответствует определенное значение величины , то говорят, что есть функция двух независимых переменных и , определенная в области и обозначают .
Функцию двух переменных можно задать аналитически
или таблично.
Определение. Совокупность пар значений и , при которых определена функция называется областью определения или областью существования функции.
Пример 1.1. Найти и вычертить область определения функции:
1 )
Решение. Функция
определена при и . При получаем
.
Такому двойному неравенству удовлетворяют координаты точек плоскости, лежащие ниже прямой и выше прямой
при При получаем неравенство , справедливое для точек плоскости, лежащих выше прямой и ниже прямой .
1.2.
Р ешение. Функция определена при
или
Таким образом, область определения функции двух переменных это совокупность точек плоскости или части плоскости, ограниченная линиями.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных является поверхность в пространстве .
Пример. Графиком функции является параболоид вращения (рис. 3).
Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех и более переменных.
Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной , то называют функцией независимых переменных и записывают
Геометрическое изображение функций трех и большего числа переменных не имеет простого геометрического смысла.
Задачи для самостоятельной работы
Найти и вычертить области определения функций двух переменных:
1. . 2. . 3. . 4.
5. 6.
7. 8.
2. Линии и поверхности уровня
В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ).
Определение. Линией уровня функции называется множество всех точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение: Число С в этом случае называется уровнем.
Пример. Для функции линиями уровня является семейство концентрических окружностей с центром в точке (рис. 4).
Определение. Поверхностью уровня функции называется множество всех точек пространства , для которых данная функция имеет одно и то же значение.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Построить линии уровня функции
2. Найти линии уровня в явном виде
2.1. 2.2. 2.3.
2.4. 2.5. 2.6.
3. ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ
Пусть - функция двух независимых переменных и . Дадим переменной приращение , оставляя
переменную неизменной. Разность
будем называть частным приращением функции по переменной .
Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а получает приращение , функция получает приращение, называемое частным приращением функции по переменной : .
Если обе переменные и получили соответственно приращения и , то соответствующее приращение функции:
называется полным приращением функции .
Заметим, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции
.