Учебное пособие 800509
.pdfФГБОУ ВПО ”Воронежский государственный технический университет”
В.А. Евсюков Е.П. Татьянина
ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Часть 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2012
2
УДК 535.12(075)
Евсюков В.А. Практика решения задач по физике. Ч.4: Геометрическая и волновая оптика: учеб. пособие / В.А. Евсюков, Е.П. Татьянина. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. 310 с.
Учебное пособие посвящено практической части общей физики для высших учебных заведений. Оно содержит решения многочисленных задач по вопросам фотометрии, лучевой и волновой оптики. Даются необходимые теоретические сведения и исчерпывающие пояснения по решению рассматриваемых задач.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальностям 160100,160700, а также направлениям подготовки бакалавров
151700, 151900, 221000, 230100, 230400, 151900, 131000, 140100, 221400, 150100, 150400, 210100, 221700, 222900, 223200.
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD XP и содержится в файле ПРЗ_Ч4.pdf
Ил.199. Библиогр.: 5 назв.
Рецензенты: кафедра оптики и спектроскопии Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Овчинников); д-р физ.- мат. наук, проф. Ю.Е. Калинин
©Евсюков В.А., Татьянина Е.П., 2012
©Оформление. ФГБОУ ВПО
“Воронежский государственный технический университет”, 2012
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном выпуске учебного пособия рассматриваются задачи по вопросам фотометрии, лучевой и волновой оптики, содержащиеся в сборнике И.Е. Иродова «Задачи по общей физике», 2002-го года издания. Представленные решения сохраняют нумерацию задач сборника.
Предлагаемые в пособии решения задач сопровождаются необходимыми рисунками, подробными пояснениями и некоторыми обобщениями. Во многих случаях предварительно даются теоретические сведения по вопросам рассматриваемых задач.
Выпуск пособия адресован студентам физических и инженерно-технических специальностей. Пользование пособием может быть как систематическим, так и избирательным.
3
1. ФОТОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
4.1. По кривой относительной спектральной чувствительности глаза [1, рис.4.1] для заданных длин
световых волн λ1=0,51мкм, |
λ2 =0,58мкм и |
λ3 =0,63мкм |
находим соответствующие |
значения функции |
видности: |
V1=0,50; V2 =0,85; V3 =0,25. |
|
|
Световой поток Φ и энергетический поток Φэ |
для данной |
длины волны λ находятся в соотношении Φ=КmV(λ) Φэ, или Φэ=МΦ/V. Размерности в единицах СИ: [Φ]=лм, [Φэ]=Вт. Здесь М=0,00146Вт/лм - наименьшее значение механического эквивалента света, Кm =1/M=683лм/Вт - наибольшее значение
световой эффективности излучения, соответствующее длине
λ=0,555мкм.
а) Для светового потока Φ=1,0 лм и длин волн λ1 и λ3
получаем значения энергетического потока:
Φэ (λ1)=1,46·10 3 ·1,0/0,50 (Вт)=2,9 мВт; Φэ (λ3 )=1,46·10 3 ·1,0/0,25 (Вт)=5,8 мВт.
б) При линеаризации функции видности V(λ) на спектральном участке от λ2 до λ3 среднее значение
<V>= (V2 +V3 )/2=(0,85+0,25)/2=0,55.
Для среднего значения светового потока на этом участке спектра при Φэ=4,5 мВт получим:
Φ= Кm <V> ΦÝ =683·0,55·4,5·10 3 лм=1,69лм.
4.2. Полагая, что условием задачи дан полный световой поток Φ=10 лм на длине волны λ=0,60 мкм, полный энергетический поток излучения
Φэ=МΦ/V= =1,46·10 3 ·10/0,60(Вт)=2,4·10 2 Вт. Здесь видность V (λ=0,60мкм)=0,60.
4
Для изотропного точечного источника излучения полный поток энергии (мощность источника) Φэ=<w>c·4πr2 , где <w> - среднее значение плотности энергии на сфере радиуса r.
Учитывая, что <w>= 0 Е2m = 0Нm2 ,где Еm и Нm - амплитудные значения электромагнитного поля в вакууме, напишем:
|
|
ΦЭ =4πс 0 Еm2 r2 =4π 0 |
|
0 |
Еm2 r2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку с=1/ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Фэ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МФ |
МФ= |
|
|
|
|
Ф |
=> |
|||||||||||
|
|
0 / 0 |
|
|
|
|
0 / 0 |
||||||||||||||||||||||||||
Еm2 = |
|
|
=> Еm2 |
= |
|
|
0 / 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r2V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 K Vr2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 / 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Еm = |
|
|
|
0 |
|
0 э |
|
; Нm |
= 0 / 0 Еm |
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 r2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для ΦЭ =2,4·10 2 Вт, |
|
r=1,0м |
|
значения |
|
|
амплитуд |
||||||||||||||||||||||||||
напряженностей |
|
|
|
светового |
поля |
соответственно равны |
Еm =0,85 В/м, Нm =2,25 мА/м.
4.3.Рассматриваем Солнце по отношению к некоторой весьма удаленной планеты как точечный изотропный источник электромагнитного излучения. Орбита планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. В перигелии и апогее скорость планеты перпендикулярна соответствующему радиусу-вектору r центра планеты, исходящему из фокальной точки О орбиты, тогда модуль момента импульса планеты относительно силового центра О
равен L=m 0 r0 , где m - масса планеты, r0 =rmin . В поле
центральных сил L=const. В точке орбиты на расстоянии r от центра О момент импульса планеты представляем в виде
5
L= mr2 |
d |
, где |
d |
- |
|
мгновенная |
угловая скорость |
|||
|
|
|||||||||
|
dt |
dt |
|
|
|
d |
|
|||
обращения планеты. Из равенства mν0 r0 = mr2 |
имеем |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
= ν0 r0 /r2 . |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
Если световая мощность излучения Солнца по всем направлениям равна P, то световой поток в единицу телесного угла dP/dΩ=P/4π=const. Световая энергия, падающая на поверхность планеты, находящейся на расстоянии r от Солнца,
|
|
|
|
|
|
|
dW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
S |
|
|
|
|
||||||
за одну секунду равна |
|
dt |
=(P/4π)Ω= |
|
|
|
|
|
|
, а за промежуток |
||||||||||||||||||||
|
4 |
r2 |
||||||||||||||||||||||||||||
времени dt световая энергия dW= |
P |
|
|
S |
|
|
dt, где S- |
площадь |
||||||||||||||||||||||
|
|
r2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
||||
сечения |
планеты. |
|
С |
|
учетом |
|
соотношения |
d = |
dt и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
равенства (1) будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dW= |
PS |
|
|
|
d |
|
|
PS |
|
|
r |
2 |
d |
|
|
PS |
|
d . |
(2) |
||||||||||
|
4 r |
2 |
|
d |
|
4 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За |
один период обращения |
|
|
планеты вокруг |
Солнца |
полярный угол изменяется от 0 до 2π. Интегрируя (2) по промежутку [0, 2π], получим
W=PS/(2 0r0 ).
4.4. Освещенность в заданной точке некоторой поверхности падающим на нее светом определим величиной
Е=dФпад /dS, где dФпад - световой поток, падающий на элемент поверхности dS, содержащий данную точку. В единицах СИ [E]=лм/м2 =лк (люкс).
6
|
Определим среднюю освещенность непрозрачной сферы |
|||||||||||||||
в заданных условиях ее освещения. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) Параллельный световой поток. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть плотность светового потока в параллельных лучах |
|||||||||||||||
равна j. Тогда световой поток, |
падающий |
на полусферу |
||||||||||||||
Ф |
=jπR2 , |
где |
R - радиус |
сферы. |
Если |
был бы |
круглый |
|||||||||
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрозрачный диск того же радиуса, перпендикулярный лучам |
||||||||||||||||
света, |
то его освещенность была бы равна |
Е Ф |
/ R2 j, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
пад |
|
т.е. E |
0 |
j . Отсюда Ф |
|
= R2E |
0 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Площадь |
полусферы |
S=2 R2 . |
Средняя |
освещенность |
|||||||||||
одной стороны непрозрачной сферы <E>=Фпад /S=E0 /2. |
||||||||||||||||
|
б) Сфера освещается точечным источником. |
|
||||||||||||||
|
Сначала |
вычислим |
телесный |
|
|
C |
|
|||||||||
угол |
|
|
|
Ω, |
в |
|
пределах |
которого |
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
R |
|
||||||||||
световой |
поток |
направляется |
на |
A |
|
|
||||||||||
a |
|
|||||||||||||||
шар, |
|
а |
|
затем |
найдем |
площадь |
|
S |
|
|
B |
0 |
||||
освещаемой части шара (см.рис.), |
|
|
|
|
||||||||||||
Среднюю |
|
|
освещенность |
|
|
h |
|
|||||||||
обращенной |
|
к |
источнику |
части |
|
|
|
|||||||||
сферу определим как <E>=IΩ/S, где |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
I - сила света источника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Воспользуемся |
готовым |
|
выражением |
площади |
|||||||||||
поверхности |
шарового |
сегмента |
|
S (h2 2a2 ), |
где h - |
|||||||||||
высота сегмента, а - радиус круга. Согласно рисунку, без |
||||||||||||||||
пояснений напишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 R2 , sinα=R/ , а=rsinα=rR/ ;
АB=rcosα=r1 R2 / 2 =r 2 R2 / ;h=r-АB=r(1-l2 R2 /l ).
Площадь сегмента сферы радиуса r с центром в точке А
Sl =π{ r2 ( - 2 R2 )2 +2r2 R2 / 2 }=
2
=πr2 {2-2 2 R2 / +R2 / 2 }.
7
Телесный угол, выделяемый конусом,
Ω=Sl /r2 =π{2-2l2 R2 /l+R2 /l2 }.
Теперь для шара радиуса R с центром в точке О:
a=R·cosα=R 2 R2 / , h=R-Rcos( -α)=R(1-sinα)=R(1-R/ ).
2
Площадь шарового сегмента
S=π{R2 |
( - R)2 / 2 |
+2R2 |
( 2 -R2 )/ 2 }= = |
R2 |
(3 2 -R²-2R ) |
|||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя освещенность поверхности S шара |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
<E>=IΩ/S=I ·( |
R2 2 2 2 2 R2 |
|
). |
||||||
|
R2 (3 2 R2 2R ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Для I=36 кд, =100 см и R=60 см средняя освещенность
<E>=52 лк.
4.5. Протяженный источник света характеризуют светимостью М и яркостью L различных его участков.
Под светимостью понимают световой поток, испускаемый единицей площади вовне по всем направлениям. Если dФисп - поток, испускаемый по всем направлениям
элементом поверхности dS источника, то светимость этого элемента
М= dФисп /dS. |
(1) |
Яркость определяется отношением силы света элементарной поверхности ∆S в заданном направлении к
|
|
проекции площади ∆S на плоскость, |
||||
|
|
перпендикулярную |
|
к |
выбранному |
|
|
d |
направлению. Направление можно задать |
||||
полярным |
углом |
θ |
(отсчитываем от |
|||
|
|
внешней |
нормали |
n |
к |
излучающей |
nплощадке ∆S) и азимутальным углом φ (см.рис.). Согласно определению яркость
равна
S
8
L |
, |
|
I |
|
|
d Ф |
|
. |
(2) |
Scos |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
d Scos |
|
||||
Как видно, в общем случае яркость различна для разных |
|||||||||
направлений. Источник, |
яркость |
которого |
одинакова |
(L=const), называется ламбертовским или косинусным. Элементарный световой поток (на основании (2)) равен
d L cos · Sd . |
(3) |
Если учесть, что d sin d d , то формула (3) |
примет |
вид |
|
d L , S sin sos d d . |
(4) |
Полный световой поток, испускаемый элементом поверхности S источника наружу по всем направлениям:
2 |
|
2 |
S d |
L , sin cos d . |
(5) |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Если принять L=L0 cos , то |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 L0 |
|
|
2 L0 S cos2 sin d |
S . |
|||||
|
||||||
0 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Отсюда освещенность |
|
2 L0 |
|
|
|
|
M / S |
. |
(6) |
||||
|
||||||
|
3 |
|
|
|
4.6.Согласно определению, яркость элемента
поверхности S источника света L(θ,φ)=dФ /(dΩ· Scos ) в общем случае различна в разных направлениях. Однако, встречаются источники света, для которых яркость практически не зависит от направления ( , ) , т.е. L=const. Полная независимость L от θ и φ имеет место для абсолютно черного тела. Такие источники называют ламбертовскими.
По формуле (4) задачи 4.5. получим:
а) Световой поток, излучаемый элементом ∆S светящейся поверхности внутрь конуса с углом полураствора :
9
2
Ф= S d Lcos sin d ; при L , L const
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
=2πL·∆S· сos sin d =πLsin2θ S . |
|||
|
|
0 |
|
б) Светимость источника |
|||
|
Ф |
/ 2 |
|
M= |
2 L cos sin d L. |
||
S |
|||
|
0 |
4.7. Яркость элемента d светящейся поверхности
L d2Фисп .
d d сos
Отсюда
d2Фисп Ld d сos .
Для небольшого плоского источника при L=const
dФисп Ld сos d LSd сos ,
(S)
где S- площадь светящейся поверхности.
По условию источник имеет форму круглого диска. Это позволяет взять элемент освещаемой поверхности экрана в виде кольца с центром в точке О’, ограниченного радиусами r
иr+dr (см. рис.). Площади
0 |
|
|
|
|
|
|
выбранного |
кольца |
dσ’, |
|||||||
|
S |
d |
соответствует телесный угол, под |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
которым |
наблюдается из точки О |
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
поверхность кольца, есть |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d d сos /r . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Световой поток, падающий на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхность dσ’, равен: |
|
|
|||||
////////////////////// |
/////////////////// |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
dr |
|
|
|
dФ |
dФ |
LScos2 d . |
|||
|
|
|
|
|
|
R |
пад |
ист |
|
a2 r2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10