Учебники 8056
.pdfЕсли правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде суммы функций (3), (4), т. е. f (x) f1(x) f2(x), то частное решение уравнения ищется в
виде суммы |
~ |
~ |
~ |
где |
~ |
-частное решение уравнения |
|||||||
y y1 |
y2, |
y1 |
|||||||||||
a0y a1y a2y |
f1(x), а |
|
~ |
-частное решение уравнения |
|||||||||
|
y2 |
||||||||||||
a0y a1y a2y f2(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 6. |
Найти общее решение дифференциального |
||||||||||||
уравнения |
|
|
y 10y 25y xe 5x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Общее |
решение |
уравнения |
имеет вид |
|||||||||
~ |
где |
y0-общее решение однородного уравнения |
|||||||||||
y y0 y , |
|||||||||||||
y 10y 25y 0. |
Составляем и решаем характеристическое |
||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 10k 25 0; |
k k |
2 |
5; |
y |
0 |
c e 5x |
c |
2 |
xe 5x |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
~y -частное решение исходного уравнения, которое определяем
по |
|
|
виду |
правой |
части |
|
f (x) xe 5x. |
|
Здесь |
P (x) x, |
||||||||||||||||||||
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Qn(x) Ax B; |
|
5 k1 k2 r 2. |
|
||||||||||||||||||||||
25 |
|
~ |
5x |
(Ax B)x |
2 |
e |
5x |
(Ax |
3 |
Bx |
2 |
), |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10 |
|
|
~ |
|
|
5x |
(Ax |
3 |
Bx |
2 |
) e |
5x |
(3Ax |
2 |
2Bx), |
|
||||||||||||||
|
|
y |
5e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
~ |
25e |
5x |
|
3 |
|
|
|
2 |
) 10e |
5x |
|
|
|
2 |
|
|
|
5x |
(6Ax 2B). |
||||||||
|
|
y |
|
|
|
(Ax |
Bx |
|
|
|
(3Ax 2Bx) e |
|
||||||||||||||||||
~ |
|
|
Для определения коэффициентов А и В нужно решение |
|||||||||||||||||||||||||||
и его производные подставить в исходное уравнение. Для |
||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||
этого умножаем |
~ |
~ |
|
~ |
соответственно на 25, |
10 и 1 |
||||||||||||||||||||||||
y, |
|
y , |
y |
|
(коэффициенты уравнения) и складываем. Затем приравниваем
29
коэффициенты при x в одинаковых степенях, представив правую часть уравнения в виде
xe 5x (0x3 0x2 x 0)e 5x
x3 |
25A 50A 25A 0, |
x2 |
25B 50B 30A 25B 30A 0, |
x1 |
20B 20B 6A 1, |
x0 |
2B 0. |
Решая полученную систему, |
|
|
найдем |
|
|
A |
1 |
, |
B 0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
3 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение заданного уравнения имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y c e 5x c |
2 |
xe 5x |
1 |
x3e 5x . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Система дифференциальных уравнений вида |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx1 |
|
|
f (t, |
x , |
x |
2 |
,..., x |
n |
), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
f2(t, |
|
x1, |
|
x2,..., xn), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
... ..., |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n |
(t, |
|
x , |
|
x |
2 |
,..., x |
n |
), |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x1, x2, |
…, |
xn |
- |
неизвестные функции независимой |
||||||||||||||||||||||||||||
переменной t, |
называется нормальной системой. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
правые |
|
|
части |
|
|
|
|
|
|
|
нормальной |
системы |
дифференциальных уравнений являются линейными
30
функциями относительно x1, x2, …, xn, то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Иногда, нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
Рассмотрим этот метод на конкретных примерах. Пример 7. Найти общее системы дифференциальных
уравнений
dx |
|
x y, |
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x y. |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Решение. |
|
Продифференцируем по t первое уравнение: |
|||||||||||||||
|
d2x |
|
dx |
|
|
|
dy |
. Подставляя сюда выражения |
dx |
и |
dy |
|
из |
||||||
|
dt2 |
dt |
|
dt |
dt |
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
системы, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2x |
|
x y x y 2x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
имеем |
|
d2x |
2x 0. Характеристическое уравнение |
|
||||||||||||||
|
dt2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 2 0 |
|
имеет корни |
k |
|
. Следовательно, |
общее |
|||||||||||||
|
2 |
1,2
решение для x запишется в виде
31
x c1et2 c2e t2.
Общее решение для y находим из первого уравнения:
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x c ( |
|
1)et |
2 c |
|
( |
|
1)e t 2 . |
|||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Найти общее системы дифференциальных уравнений
dx
2y,
dt
dy
2z,
dt
dz
dt 2x.
Решение. Продифференцируем по t первое уравнение:
|
d |
2x |
|
2 |
dy |
. Исключая из полученного уравнения |
|
dy |
, имеем |
|||||||||||
|
dt |
2 |
|
dt |
|
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
2x |
|
4z. Еще раз продифференцируем |
|
по |
t |
полученное |
||||||||||||
|
dt2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнение второго порядка: |
d |
3x |
4 |
dz |
. |
Исключая |
dz |
, |
||||||||||||
dt |
3 |
dt |
dt |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим
d3x 8x 0, dt3
т.е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, получим
x c1e2t e t(c2 cost3 c3sint3).
32
Общее уравнение для y получим из первого уравнения
системы:
y |
1 |
|
dx |
|
1 |
2c e2t |
e t(c |
|
cost |
|
c sint |
|
|
||
2 |
3 |
3) |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
dt |
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t 3(c3 cost3 c2 sint3) ,
или
|
y c e2t |
1 |
e t (c |
|
c |
|
|
)cost |
|
(c |
|
|
c |
|
|
)sint |
|
. |
|
|
||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Из второго уравнения системы найдем z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z |
1 |
|
dy |
c e2t |
|
1 |
e t (c |
|
c |
|
)cost |
|
(c |
|
|
|
c )sint |
|
. |
|||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
dt |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Пример 9. Найти частные производные второго порядка функции z
z ex/ y.
Решение. Рассматривая, y как постоянную величину,
получим
дz ex/ y 1 . дx y
Аналогично, рассматривая получим
дz ex/
дy
y как постоянную величину,
y x .2y
Так же находим и производные второго порядка
д |
2 |
z |
1 |
|
x/ y |
|
д |
2 |
z |
|
|
|
|
x |
|
2 |
x/ y |
2x |
|||||||
|
|
e |
|
|
|
e |
x/ y |
|
|
e |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
дx |
2 |
y |
2 |
|
дy |
2 |
|
y |
2 |
|
y |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
2 |
z |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
1 |
|
x/ y |
|
||
|
e |
x/ y |
|
|
|
|
e |
. |
||||||||
дxдy |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
y |
|
y |
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области |
|
|
|
z x2 y2 xy x y; |
x 0; |
y 0; |
x y 3. |
Решение. Указанная область есть треугольник АВС (рис.1). Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или на
границе области.
y
A |
-1 |
B |
-3 |
x
M( 1; 1)
-1
-3 C |
|
Рис. 1 |
|
Найдем стационарные точки из условия z'x 0, z'y 0. |
|
В нашем случае z'x 2x y 1 0; |
z'y 2y x 1 0. |
34 |
|
Решая систему уравнений, получим |
x 1, y 1. |
|
Точка M( 1; 1) является стационарной. Находим |
zM 1. |
|
Исследуем функцию на границах. На линии |
AB : |
y 0, |
z x2 x. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [-3,0].
z 2x 1 0; x |
1 |
; |
Q |
|
|
1 |
;0 |
|
-стационарная |
точка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции |
одной |
|
|
переменной. |
Вычисляем |
||||||||||||||
zQ |
|
1 |
; |
zA 6; |
zB 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z y2 y |
|||
На |
|
|
|
линии |
|
|
|
BC: |
|
|
|
|
|
x 0; |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
и |
z' 2y 1 0; y |
|
; D |
0; |
|
|
|
|
- |
cтационарная |
точка. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Вычисляем |
zD |
1 |
; |
zC 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
x y 3 |
|
|
z 6y 9; |
|
|
|
|
||||||||||||
На линии |
AC : |
и |
|
E |
|
; |
|
|
- |
||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
стационарная точка, zE |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z , |
||
Сопоставляя все полученные значения функции |
|
||||||||||||||||||||||
заключаем, |
что |
zнаиб 6 в |
точках |
|
A( 3;0) |
|
и |
С(0;-3), |
|||||||||||||||
zнаим 1 |
в точке M( 1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 11. Даны: функция z z(x; y), |
точка A(x0, y0) |
||||||||||||||||||||||
и вектор |
a |
. |
Найти: 1) grad z в т. |
A; |
2) |
производную |
в |
||||||||||||||||
точке A по направлению вектора |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z x2 |
xy y2; |
A(1;1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a |
2i |
j. |
|
|
|
|
|
Решение. 1) Градиент функции z имеет вид
35
grad z |
дz |
|
|
|
дx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
i |
j |
||||||||||||
дx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
дy |
|||||||||
Вычисляем частные производные в точке A |
|||||||||||||
z'x 2x y; |
|
|
z'x |
|
|
|
A 3; |
||||||
|
|
|
|||||||||||
z'y x 2y; |
|
|
z'y |
|
A 3. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, grad z 3i |
3 j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) Производная по направлению вектора |
a |
, определяется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
дz |
|
|
дz |
cos |
|
дz |
sin , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
да |
дx |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где - угол, образованный вектором |
|
|
a |
с осью OX . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
ax |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя значения производных в точке A, найденные ранее, получим
дz 3 2 3 1 3 . дa 5 5 5
Пример 12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z 1; z 2 x2; y x2; y 1 2x2.
Решение. Если область определена неравенствами
a x b, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x, y),
то объем тела V находится по формуле
36
b y2(x) z2(x,y)
V dx |
dy |
dz. |
a y1(x) z1(x,y)
Для определения пределов интегрирования сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY (рис 2а
и 2б).
Следует обратить внимание на то, что для переменной x границами являются наибольшее и наименьшее значения в
заданной области, т.е. |
1 |
|
x |
1 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3 |
Рис. 2а
Переменная y является функцией переменной x. На
рисунке |
видно, что |
область |
D ограничена |
снизу кривой |
y x2, |
а сверху – |
кривой |
y 1 2x2. |
Следовательно, |
x2 y 1 2x2. |
|
|
|
37
Рис. 2б
Аналогично, из рисунка тела видно, что оно снизу
ограничено |
плоскостью z 1, |
а |
|
|
|
|
|
|
сверху |
|
поверхностью |
||||||||||||||||||||||||
z 2 x2. Таким образом, |
переменная z |
является функцией |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
двух переменных x и y, и 1 z 2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 2x2 |
2 x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
3 |
|
2 x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
dx |
dy |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
dx z |
|
dy |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
x2 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
1 2x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
(1 x2)dy |
3 |
|
|
(1 x2)(y) |
|
122x2 dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
3x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(1 x2)(1 3x2)dx (x |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
56 3 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
135 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|