- •1. Вещественные числа. Грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней граней. Операции над вещественными числами, свойства операций.
- •2. Понятие комплексного числа. Различные формы записи. Арифметические операции над комплексными числами, возведение в степень и извлечение корня.
- •5. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе двух последовательностей. Теорема "о двух милиционерах".
- •6. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности. Число "e".
- •7. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.
- •10. Понятие функции. Монотонные, четные, нечетные, ограниченные, неограниченные, сложные, обратные функции. Примеры.
- •12. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Односторонние пределы.
- •13. Критерий Коши существования предела функции.
- •25. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности Кантора.
- •26. Непрерывность элементарных функций.
- •27. Понятие производной функции в точке. Понятие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •28.Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производная обратной и сложной функций.
- •29. Производные основных элементарных функций.
- •30. Дифференциал функции, геометрический смысл производной и дифференциала.
- •31. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница
- •32. Производные от неявно заданных функций и функций, заданных параметрически
- •33. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •34. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •35. Теорема Тейлора. Формулы Маклорена для основных элементарных функций.
1. Вещественные числа. Грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней граней. Операции над вещественными числами, свойства операций.
Вещественные числа – это множество рациональных и нерациональных чисел(проще говоря числа, имеющие дробную часть), использующихся для измерения физических и геометрических величин
Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число , что для любого . Число в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.
Теорема о существовании точных граней ограниченного множества :
Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.
Существует несколько операций над вещественными числами: сложение, вычитание, деление, умножение и возведение в степень.
Свойства операций:
1°. (переместительное свойство). 2°. (сочетательное свойство). 3°. (переместительное свойство). 4°. (сочетательное свойство). 5°. (распределительное свойство). 6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а для любого числа а. 7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+(-а) = 0. 8°. Существует единственное число такое, что для любого числа а имеет место равенство а • 1 = а. 9°. Для любого числа существует такое число что число обозначают также символом
2. Понятие комплексного числа. Различные формы записи. Арифметические операции над комплексными числами, возведение в степень и извлечение корня.
Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.
Запись комплексного числа в видеz =a + ib принято называть алгебраической формой записи комплексного числа, а запись в виде z= r (cosϕ + i*sinϕ)– тригонометрической формой записи.
Операции над комплексными числами:
1)Сложение и вычитание :
z1+z2 = (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i
z1-z2 = (a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i
2) Произведение
z1*z2=r1*r2*[cos(α1+ α2) + i*sin(a1+a2)]
3)Частное
4)Возведение в степень
5)Корень комплексного числа
3. Грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней граней. Принцип вложенных отрезков.
Теорема о существовании точных граней ограниченного множества :
Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.
Существует несколько операций над вещественными числами: сложение, вычитание, деление, умножение и возведение в степень.
Свойства операций:
1°. (переместительное свойство). 2°. (сочетательное свойство). 3°. (переместительное свойство). 4°. (сочетательное свойство). 5°. (распределительное свойство). 6°. Существует единственное число 0 такое, что а + 0=а для любого числа а. 7°. Для любого числа а существует такое число (—а), что а+(-а) = 0. 8°. Существует единственное число такое, что для любого числа а имеет место равенство а • 1 = а. 9°. Для любого числа существует такое число что число обозначают также символом
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши – Кантора). Для любой последовательности вложенных отрезков существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Если длины отрезков стремятся к нулю:, то такая точка единственная.
4. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, их свойства.Сходящиеся последовательности. Ограниченность, единственность предела. Арифметические действия с пределами.
Числовая последовательность – это последовательность чисел.
Ограниченные последовательности: Последовательность аn называется ограниченной, если для любого n ∈ N существуют числа m M(соответственно нижняя и верхняя границы последовательности) такие, что выполняется неравенство m<an< M.
Монотонные последовательности: Последовательность аn=f(n) называется возрастающей(неубывающей), если аn<an+1для любого n ∈ N, иубывающей(невозрастающей) , если an>an+1 для любого n ∈ N .
Последовательность называется бесконечно малой , если значения всех ее элементов – начиная с некоторого номера – становятся по абсолютной величине меньшими любого положительного числа ε.
Свойства бесконечно малых :
Свойство 1. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательнос ти есть бесконечно малая последовательность .
Следствие. Умножение бесконечно малой последовательности на любое число дает бесконечно малую последовательность.
Свойство 2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Последовательность называется бесконечно большой , если абсолютные величины всех ее элементов – начиная с некоторого номера N – превышают любое сколь угодно большое наперед заданное число E > 0. Другими словами, при n > N. Легко показать, что общий член бесконечно большой последовательности может быть представлен в виде
где –некоторая бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что в любой -окрестности точки находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Числовая последовательность называется ограниченной, если множество членов этой последовательности образует ограниченное множество.
Единственность предела последовательности.
Арифметические действия с пределами.