УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
.pdfПожидаев А.В., Вылегжанин И.А.Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
Лекция
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Случаи вещественных корней и комплексных корней характеристического уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид
y |
n a |
n 1 |
y n 1 ... a y' a |
0 |
y f x , |
|
|
1 |
|
||
где f x |
- заданная функция a0,a1,...,an 1 - заданные действительные числа. Если при этом |
f x 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Изтеоремыосуществованиифундаментальнойсистемырешений следует,чтолюбоелинейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Будем искать решение уравнения y n a |
n 1 |
y n 1 |
... a y' |
a |
0 |
y 0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
в виде |
y e x . Тогда y' |
e x , y'' 2e x ,…, y n ne x . Подставим функцию y e x и ее |
|||||||||||||||||||||||||||
производные в дифференциальное уравнение1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ne x a |
n 1 |
n 1e x ... a e x a |
e x |
|
0 |
. Сократим равенство на e x : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n a |
n 1 |
n 1 ... a a |
0 |
0. Таким образом, функция y e x будет решением уравнения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y n a |
n 1 |
y n 1 |
... a y' |
a |
0 |
y 0 |
|
тогда и только тогда, когда число является корнем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
алгебраического уравнения |
n a |
n 1 |
n 1 |
|
... a a |
0 |
|
0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение: |
Уравнение |
|
n a |
n 1 |
n 1 |
... a a |
0 |
0 |
называется характеристическим |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнением дифференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y n |
|
a |
n 1 |
y n 1 ... a y' |
a |
0 |
y 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 Идея принадлежит Л. Эйлеру.
1
Рассмотрим отдельно четыре случая.
Случай 1: Пусть характеристическое уравнение имеет ровно n различных действительных
корней |
, |
2 |
,..., |
n |
. Тогда каждая из функций e 1x |
,e 2x ,...,e nx является решением уравнения |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
y n a |
n 1 |
y n 1 ... a y' a |
0 |
y 0 |
. Поскольку, в |
соответствии с примером предыдущей |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
лекции, эти функции линейно независимы и их ровно n , то e 1x ,e 2x ,...,e nx - фундаментальная система решений дифференциального уравнения.
Пример: Найти общее решение уравнения y''' 5y'' 6y' 0
Решение: Составим характеристическое уравнение: 3 5 2 6 0. Корни этого уравнения
равны |
1 0, 2 |
2, 3 |
3, значит, фундаментальная система решений состоит из функций |
|||
y e |
0 x 1, y |
2 |
e2x , y |
3 |
e3x ,и,следовательно,общеерешениедифференциальногоуравнения |
|
1 |
|
|
|
|
||
имеет вид y C1 |
C2e2x C3e3x . |
Случай 2: Все корни характеристического уравнения различны, но среди них не все корни действительны.
Пусть a ib - комплексный корень характеристического уравнения и b 0. Тогда,
поскольку коэффициенты характеристического уравнения – действительные числа, то числоa ib также является корнем характеристического уравнения.
e x e a ib x eax eibx eax cosbx isinbx eax cosbx ieax sinbxПо теореме о свойствах решений линейного однородного уравнения каждая из функций eax cosbx,eax sinbx является решением этого уравнения. Определитель Вронского этих функций равен
W x |
eax cosbx |
eax sinbx |
|
aeax cosbx beax sinbx |
aeax sinbx beax cosbx |
e2ax acosbxsinbx bcos2 bx e2ax acosbxsinbx bsin2 bx
be2ax 0, значит, эти функции линейно независимы.
e x e a ib x eax e ibx eax cosbx isinbx eax cosbx ieax sinbx и, значит, корню a ib в
фундаментальной системе решений соответствуют функции eax cosbx, eax sinbx. Добавление любой из этих функций в множество функций eax cosbx,eax sinbx делает это множество линейно зависимым. Значит, каждой паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнения соответствует в фундаментальной системе пара линейно
независимых функций.
2
Пусть 1, 2,..., k , k 1,..., n - все корни характеристического уравнения, эти корни попарно различны и 1, 2,..., k - действительные числа, k 1,..., n - комплексные, но не действительные числа. Тогда каждому действительному числу i в фундаментальной системе решений соответствует функция e ix , а каждой паре комплексно сопряженных чисел , –
пара линейно независимых функций eax cosbx,eax sinbx. Общее количество функций в
фундаментальной системе решений равно количеству корней характеристического уравнения и, в соответствии с примером предыдущей лекции, все эти функции линейно независимы.
Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения yIV y 0.
Решение: Решим характеристическое уравнение 4 1 0: 2 1 2 1 0;
1 1 2 1 0 ; 1 1, 2 1, 3 i, 4 i. По формуле Эйлера eix cosx isin x,
значит, фундаментальная система решений состоит из функций ex ,e x ,cosx,sin x и общее решение имеет вид
y C1ex C2e x C3 cosx C4 sin x
Пример 2: Решить задачу Коши y''' 4y'' 13y' 0, y 0 1, y' 0 2, y'' 0 3
Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 3 4 2 13 0;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
2 4 13 0; 1 0, |
|
|
|
|
4 |
|
4 2 4 13 |
|
|
|
4 6i |
|
||||||||||||||||||
2,3 |
|
|
|
36 |
|
2 3i |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Общее решение: y C |
C |
2 |
e2x cos3x C |
e2x sin3x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем значения постоянных C1,C2,C3 : |
y(0) C1 C2 1, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y' |
C2 2e2x |
cos3x 3e2x sin3x C3 2e2x sin3x 3e2x cos3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y' 0 2C2 3C3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y'' |
C2 4e2x |
|
cos3x 6e2x sin3x 6e2x sin3x 9e2x |
cos3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
C3 4e2x sin3x 6e2x |
cos3x 6e2x |
cos3x 9e2x sin3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y'' 0 5C2 12C3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2C |
2 |
3C |
3 |
2 |
|
: C2 |
|
|
5 |
,C3 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
13 |
39 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
5C2 12C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
C 1 C |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение задачи Коши: y |
|
|
8 |
|
5 |
e2x |
cos3x |
16 |
e2x sin3x . |
|
|
|
||||||||||||||||||
13 |
13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 3: характеристическое уравнение имеет кратные действительные корни. Пусть действительный корень 0 имеет кратность k, тогда многочлен n an 1 n 1 ... a1 a0
можно представить в виде 0 k P x , при этом число 0 не будет являться корнем многочлена P x . Можно показать, что функции e 0x ,xe 0x ,...,xk 1e 0x являются решениями уравнения y n an 1 y n 1 ... a1 y' a0 y 0. Таким образом, каждому корню кратности k в
фундаментальной системе решений соответствуют ровно k линейно независимых функций и общее количество таких функций совпадает с порядком дифференциального уравнения.
Пример: Найти общее решение уравнения yV 12yIV |
36y''' |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: |
Характеристическое |
уравнение |
|
|
5 12 4 |
36 3 |
0 |
|
имеет |
корни |
||||||
1 2 3 |
0, 4 5 6, фундаментальная |
система решений |
состоит из |
функций |
||||||||||||
1,x,x2 ,e6x ,xe6x и общее решение имеет вид y C |
1 |
C |
2 |
x C |
3 |
x |
2 C |
4 |
e6x C |
5 |
xe6x . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Случай 4: характеристическое уравнение имеет кратные комплексные корни. |
|
|||||||||||||||
В этом случае, если кратность комплексного корня a ib |
равна k, то ему соответствуют |
|||||||||||||||
комплексные решения e a ib x ,xe a ib x ,...,xk 1e a ib x . |
Воспользовавшись формулой Эйлера и |
теоремой о свойствах решений линейного однородного уравнения, получим, что функции eax cosbx, xeax cosbx, ...,xk 1eax cosbx
eax sinbx, xeax sinbx,..., xk 1eax sinbx
входят в фундаментальную систему решений дифференциального уравнения.
Пример: найти общее решение уравнения yIV 2y'' y 0 |
|
|
||
Решение: Характеристическое уравнение |
4 |
2 2 1 2 |
1 2 0 |
имеет корни |
1 2 i, 3 4 i, т.е. уравнение имеет |
пару |
двукратных |
комплексно сопряженных |
корней i. Значит, фундаментальная система состоит из функций cosx,xcosx,sin x,xsin x и
общее решение имеет вид
y C1 cosx C2xcosx C3 sin x C4xsin x.
4