Sedov_L.I._O_nauchnyh_metodah_v_mehanike_sploshnyh_sred
.pdfв этом уравнении задаются плотность функций ow·, пред
ставляемых интегралом по произвольному четырехмерному объ
ему пространства и времени V,. и трехмерным поверхностным интегралом от линейного выражения по вариациям и их произ
водным по координатам и по времени по поверхности l: + S±, где l: - поверхность, ограничивающая объем v.;, а S± - двух сторонние трехмерные поверхности1 , на которых искомые фун
кции могут терпеть сильные разрывы.
Функционал о W определяется через Л и о W · и представляет
собой поверхностный интеграл по поверхности l:.
Аргументы скаляра Л и у коэффициентов при вариациях в oW' выражаются через искомые функции и через их производ
ные по координатам и времени различных порядков.
В ньютонавекой механике во многих случаях (но не всегда)
можно положить:
Pv2 |
л |
|
(2) |
Л==--+рU |
' |
||
2 |
|
|
|
где р - массовая плотность; V - |
трехмерная скорость частиц - |
точек среды относительно инерциальных тетрад для системы отсче
та; О - внутренняя энергия частицы, рассчитанная на единицу
массытермодинамическая скалярная характеристика среды, за
висящая от механических и термодинамических параметров, харак
теризующих состояние бесконечно малых частиц среды.
В сопутствующей системе координат при V = О верно ра
венство:
Л==pU==pU.
При наличии электромагнитного поля, включаемого в рас
сматриваемую систему, справа в уравнении (2) необходимо до
бавить еще известные члены.
Физико-термодинамическое толкование оW • в некоторых слу
чаях сводится к следующему.
Подинтегральное выражение для о W' представляет собой пол
ный подвод к бесконечно малой частице за счет варьирования
определяющих параметров внешней (ко всему телу) энергии. Сюда
1 Характерной особенностью современных модельных теорий сплошных сред
является допущение о необходимости введения решений с наличием поверхно
стей S разрыва, которые должны определяться при разрешении модельно по
ставленных задач.
21
входят работа вн~шних сил, приток внешнего тепла dQ• и до полнительный приток энергии dQ' не тепловой природы.
Благодаря произвольности объема ~ и :Е определение коэф фициентов в линейной формуле по вариациям и по их произ водным от искомых функций в подинтегральном выражении поверхностного интеграла бW представляет собой не что иное,
как определение уравнений состояния в обсуждаемой модели.
При таком определении уравнения состояния, когда среди оп
ределяющих параметров присутствует энтропия S или темпера тура Т, можно использовать уравнение второго закона термоди намики в форме
JрTdSdV4 = dQ• + dQ' |
(3) |
v.
для исключения из Б W' величины притока тепла dQ•.
В уравнении (3) dQ' > О - некомпенсированное тепло. Зада ние величины dQ' обусловливается установлением для вводи
мой модели среды законов диссипации энергии.
Таким образом, при введении величин л и БW', фиксирую
щих модель, можно руководствоваться различными физически ми и математическими соображениями, связанными с термоди намическими свойствами тел через плотность внутренней энер
гии Ии через законы диссипации, определяющие dQ'. Величина dQ' также должна вводиться исходя из допускаемых физических механизмов обмена энергией данной малой частицы с соседни
ми частицами и с внешними телами и полями.
Исходя из физических соображений уравнение ( 1) в исходной
форме (с dQ•) можно постулировать не только для непрерывных
по пространству и времени явлений, но и для процессов с силь
ными разрывами внутри объема рассматриваемой среды на неко
торых поверхностях S+. При наличии сильных разрывов можно ВВОДИТЬ В ВеЛИЧИНУ ~W', ИСХОДЯ ИЗ фИЗИЧеСКИХ соображеНИЙ О
концентрированных поверхностных притоках энергии на разры
вах вдоль S±, дополнительный интеграл по S±, характеризующий
такие притоки энергии.
Уравнение ( 1) представляет собой естественное обобщение и
развитие вариационного принцила Лагранжа в аналитической
механике для консервативных моделей.
Дальнейшее обобщение и развитие этого принцила основа ны на следующих существенных обстоятельствах:
1. На распространении вариационного уравнения (1) на сплош ные среды с любыми механическими и физико-химическими
22
процессами, связанными с проявлением внугренних степеней
свободы, характеризуемых макроскопически параметрами, во обще говоря, не механической природы.
2. Применеине уравнения (1) для описания необратимых явле ний. В системе уравнений Эйлера содержатся не только общие урав
нения химических реакций и фазовых переходов, а также в случае
учета электродинамических явлений и уравнения MaкcвeJVIa.
3. Уравнение (1) рассматривается для произвольных объемов ~для произвольных непрерывных вариаций искомых функций,
в том числе и вариаций, не обращающихся в нуль на границе 1:.
Это позволяет установить термодинамические уравнения состо
яния, определяющие характеристики механического, химичес
кого, электродинамического взаимодействия в телах и в поле, а для метрических свойств пространства найти геометрические
характеристики.
4. После задания функции Лагранжа л и функцианала Б w·,
выраженного через внешние притоки энергии к частицам, на
основании интегральной формы уравнения ( 1) появляется воз
можность устанавливать условия на поверхностях сильных раз
рывов-скачков характеристических определяющих параметров
внутри среды. Эти условия можно использовать, в частности, для формулировки начальных и краевых условий.
5. Интегральное уравнение (1), минуя дифференциальные
уравнения с дополнительными начальными и краевыми услови
ями на скачках, можно положить в основу различных)!Рибли
женных и численных методов решения конкретных задач.
6. Уравнение (1) можно использовать для построения специ
альных моделей тонких тел: пластинок, оболочек, стержней, движения жидкостей в пленках или в мелких каналах - в тонких
слоях жидкости, при расчетах композитных конструкций и т.п.
В такого рода случаях можно выделить некоторые направления,
например направление толщины пластины или направления
поперечного сечения стержня. В этих направлениях, например
по тонкой толщине пластинки, распределения изучаемых ха
рактеристик состояния можно задавать в упрощенной форме кон
кретными функциями вдоль первоначальной нормали к плас
тинке, содержащими <<внутренние параметры>), которые могуг
зависеть от координат вдоль пластинки и которые должны варь
ироваться и определяться с помощью вариационного уравнения
(1) в процессе решения задачи.
Применеине аналогичного метода в различных вариантах к
трехмерному случаю может представпять собой прямое или кос венное обобщение метода Бубнова.
23
После подобной замены искомых функций можно осуще
ствить некоторые интегрирования в уравнении (1), после чего вариационное уравнение (1) приводит задачу к рассмотрению усложненной модели с внутренними степенями свободы, но с
меньшим числом измерений. Например, для пластинок и обо
лочек - к двумерной модели, для стержней - к одномерной
модели и т. д.
При таких методах подхода характерно следующее обстоятель ство. Например, исходя из классической модели упругого тела
по Гуку в трехмерной постановке, в двумерной модели для пла
стинок или оболочек получается усложнение модели, для кото
рой внутренние взаимодействия определяются не только сила
ми напряжения, рассчитанными на единицу длины «сечения», но и моментальными напряжениями, которые могут зависеть не
только от первых производных от смещений по координатам соответствующей двумерной поверхности, но и от производных
следующего порядка.
В связи с базисным уравнением ( 1) полезно иметь в виду
следующие замечания.
Фиксирование системы уравнений Эйлера, содержащих урав
нение количеств движения, уравнение моментов количеств дви
жения, уравнение энергии, уравнение для продукции энтропии,
кинематические уравнения и т. п., которые могут не быть незави
симыми, не определяет собой плотность функциИ Лагранжа л.
Очевидно, что добавление к функции Лагранжа отличных от нуля
<•дивергентных членов>> не меняет системы уравнений Эйлера. Однако добавление «дивергентных членов» к функции Лагранжа
меняет выражение для о W и, следовательно, влияет на вид урав
нений состояния. Таким образом, задание замкнутой системы
уравнений Эйлера, т. е. всех уравнений, выполняющихся для раз
личных процессов, недостаточно для фиксирования уравнений
состояния. В связи с этим отметим еще, что в механике сплошных
сред для модельных явлений, происходящих в фиксированных
пространствах, должны выполняться дифференциальные уравне ния в частных производных типа Сен-Венана.
В некоторых учебниках и научных работах можно встре
титься с утверждением, что условия на сильных разрывах
можно получить, если известна замкнутая система диффе
ренциальных уравнений, описывающая некоторые явления в рамках данной модели.
В действительности это утверждение неверно! Дело в том, что,
во-первых, разрывные движения, вообще говоря, нельзя рас сматривать как предел непрерывных движений в рамках той же
24
самой модели, и, во-вторых, при выводе условий на сильных
разрывах необходимо обязательно использовать некоторые ин
тегральные соотношения, которые для данной системы диффе
ренциальных уравнений не определяются однозначно.
Для непрерывных движений данной системы дифференци
альных уравнений можно поставить в соответствие много раз личных систем интегральных соотношений, полностью эквива лентных данной системе дифференциальных уравнений.
Для разрывных движений разные системы интегральных со
отношений дают различные условия, находящиеся между собой
в противоречии.
Отсюда понятно, что для установления условий на сильных
разрывах необходимо как опытный закон постулировать соот ветствующую систему интегральных соотношений, верных как
для непрерывных процессов, так и для процессов с сильными
разрывами.
Опыт показывает, что в качестве интегрального соотноше
ния, применимаго не только для непрерывных, но и для раз
рывных движений, нужно брать в интегральной форме закон сохранения энергии. Заметим, что, например, уравнение прито ка тепла в интегральной форме или уравнение сохранения энт ропии для адиабатических процессов в интегральной форме при
водит к неверным условиям на сильном разрыве.
В связи с этими соображениями ясно, что вариационное урав
нение (1) в интегральной форме можно применять для разрыв ных процессов и для вывода условий на скачках при соответ
ственно физически правильно (в согласии с опытом) опреде ленных выражениях для плотности функции Лаrранжа Л и для выражения функцианала о w·. В частности, при выводе условий на скачках в выражении для о W' необходимо сохранить все
члены, характеризующие притоки энергии, и ввести новые -
определяющие присутствующие концентрированные притоки на
поверхностях разрывов в форме, которая входит в уравнение
энергии. Функцию Л также необходимо фиксировать (и этим определяется дивергентный член) исходя из физических сооб
ражений, которые в конечном счете оправдываются соответ
ствием данной модели опытам, в которых наблюдаются скачки
характеристик явлений.
Таким образом, очевидно, что, опираясь на базисное уравне
ние (1) и на физический смысл его членов, можно использовать и установить непосредственные контакты с термодинамикой,
электродинамикой и химией. С множеством деталей и выводов, связанных с использованием уравнения (1) для восстановления
25
на его основе всех известных моделей материальных сред и полей и для построения новых моделей, можно познакомиться в юшге
автора «Механика сШiошной среды)>, том l.
Модельная математизация задач для постановки описаний и
предсказаний механических событий в природе и в технике ос
новывается на введении различного рода моделъно определяе
мых объектов и их взаимодействий. В результате многих теорети
ческих мысленных конструкций и практических приложений выявилось центральное значение понятий о скалярной природе
энергии и векторных свойствах сил, как главных характеристик взаимодействий.
Результативные идеи, как источники получения математи ческих соотношений, основаны на использовании координат
ных методов и известных свойств инвариантности, вводимых с
помощью законов сохранения.
Таким путем на основании многочисленных логических ис
следований, а в ряде случаев и опытных данных, ~станавлива
ются характерные формулы для аксиоматических, по своей сущ
ности, выражений для сил, энергий и возможных их качествен нъiХ и количественнъiХ изменений и превращений.
Особенно важными стали теории, теперь уже применяемые в различных разделах науки, базирующиеся на использовании ха рактерных понятий об энергиях и об их превращениях, первона
чалъно рассматривавшиеся только в термодинамике.
В современных естественных науках явно детально применя ются сходные энергетические методы формулирования различ нъiХ принцилов объяснения и выводов фундаментальных исход нъiХ соотношенийуравнений, позволяющих модельными пу тями ставить и разрешать их с помощью разрабатываемых мате матических операций, находить удовлетворительным образом нужные ответы для достаточно приемлемых сущностей изучае МЪIХ событий, их понимания, для их управления, для рекомен
даций последующих прогрессов.
Как известно, развитие всех механических теорий для полу чения исходных уравнений можно базировать и выводить из энер
гетических основ балансирования полных энергий индивидуу
мов материальных тел, иначе, руководствуясъ законами термо
динамики. Вместе с этим важное значение имеют вклады второ
го начала термодинамики, регулирующего возможные типы пре
образования энергии и явления диссипации энергии, связан ные с необратимостъю энергетических превращений.
Само понятие о конкретном определении энергии моде
лей на основании соответствующих аксиом об их сущности
26
непосредственно подчинено законам ее превращений и вли
янием ее значений, обеспечивающих общую суть возможного
моделирования.
Практика развития научных исследований в различных об ластях науки убеждает ученых в возможности и целесообраз
ности введения понятий об энергии, наделяемой различны ми частными качествами, наряду с отмеченными выше об щими свойствами.
В общих чертах роль понятия о силах взаимодействия мате
риальных тел в известной мере аналогично роли энергии. В механике случаи действия с силами или с энергиями взаим
но заменимы.
В уравнении (1) л- скаляр, равный полной плотности пол ной энергии, выраженный как функция определяющих пара метров и их различных производных, причем целесообразно вво
дить дифференциал dV.p как скаляр, равный:
в котором величина dт. представляет собой приращение инвари
антного собственного времени для индивидуализированных то
чек, а d~ - соответствующая часть инвариантного трехмерного бесконечно малого объема в d~.
Неголономно определенный 'Uieн б w· может присутствовать
только в случаях построения неконсервативных моделей, в ко
торых проявляется диссипация энергии и необратимости, регу
лируемая с учетом второго начала термодинамики.
Методы варьирования функции в л, в ~ и на I: позволяют получить не только уравнения Эйлера (обычно дифференциаль ные уравнения с частными производными внутри ~ для опре
деляющих параметров), но и уравнения состояния при варьиро
вании члена оW, что является важным достоинством вариаци онного уравнения (1).
Втехнике действий в рамках уравнения (1) весьма полезные некоторые упрощения и соответствующие обобщения можно
получить при рассмотрении отдельных следствий, справедливых
на координатных линиях L собственного времени 't.
Вчастности, если в выражении для Л содержатся члены
вида рК, то соответствующий подинтегральный член в урав
нении ( 1) можно записать в виде К dm d't. Очевидно, что это
обстоятельство сильно упрощает суть дела, когда в каждой
индивидуальной точке ее траектории величина
известна.
dm = const
27
ds
Если в Л имеются члены вида dm D dt dт, то вдоль L в Лd~
такие члены можно написать в виде D dm ds, поэтому при dm = const четырехмерный интеграл для такого члена заменится од
номерным по соответствующим возможным траекториям.
В общих случаях приложений к механике сплошных сред
интегрального принципа Лагранжа полную удельную энер
гию л в каждой точке нельзя, как правило, представлять как
простую сумму отдельных слагаемых отдельно определенны
ми энергиями. В частности, как сумму термодинамических
энергий 'Lmc2•
Для полной энергии становится необходимым еще добавлять энергию взаимодействия между отдельными порождаемыми не
посредственными контактами поверхностных типов напряжений
или энергиями, обусловленными электромагнитными полями и
массовыми силами тяготения между отдельными индивидуаль
ными телами.
В частности, можно конструировать модели в теории чистой гравитации, когда, как, например, в небесной механике, отсут
ствуют поверхностные контакты, а имеется система материаль
ных точек, взаимодействующих только на основании закона о
тяготении масс, а в теории относительности еще с учетом гео
метрических свойств пространств с локальными законами спра
ведливости механики теории Ньютона на основании четырех
мерности псевдоримановых пространств, в которых можно вво
дить четвертую координату т для собственного времени для ин
дивидуализированных тел-точек, когда вместо инвариантности
всех физических закономерностей при преобразованиях четы
рехмерных пространств с координатами Ферми х1 , х2 , х3 , т по Галилею в теории Ньютона обеспечивается инвариантность от
носительно преобразований этих же координат по Лоренцу в СТ0 1 и ОТО.
На основании многочисленных опытов и жизненной практики
в теории гравитации для системы тел, обладающих массами, пол
ная энергия представляется в виде суммы (интеграл) локальных
энергий сопутствующей системы координат при V, = О (у космо навта): термодинамической md- и потенциальной mU(x1, х2, х3).
Легко показать, что введением кривизны в псевдоримановых
пространствах локально и соответственно глобально невозмож-
1 СТО - специальная теория относительности; ОТО - общая теория отно
сительности.
28
но заменить инвариантно определенную потенциальную энер
гию геометрическими свойствами гаусовой кривизны псевдори
мановых пространств.
С помощью введения потенциальной энергии можно строить
теорию гравитации в плоских трехмерных пространствах Евкли да и Минковского в СТО.
Построение теории гравитации с учетом потенциальной энер
гии можно осуществить с помощью интегрального принципа
Лагранжа как в сопутствующих системах координат, так и в си стемах заданных наблюдателей.
Список основополагающих работ Л. И. Седова
1. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Изд. 4-е, ис правл.- М.: Наука, 1981.-448 с.
2. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6-е. -М.:
Наука, 1987. - 386 с.
3. Введение в механику сплошных сред.- М.: Изд-во физ.-мат.
лит-ры, 1962.- 284 с.
4. Механика сплошной среды. Т. 1. Изд. 5-е исправл. и дополи. -
М.: Наука, 1995. - 528 с.
5. Механика сплошной среды. Т. 2. Изд. 5-е, исправл. и дополи. -
М.: Наука, 1995.- 560 с.
6. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагне тизма (совм. с А. Г. Цыпкиным).- М.: Наука, 1989.-270 с.
30