5389

~							~
x					x		x		;
		x						x
6 750	241			x			6 750		241;
6 509				x			6 991.

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний доход жителей города в ноябре будет находиться в пределах от 6 509 до 6 991 руб.

2. Доля жителей города с доходом выше 7 200 руб. по данным выборочного наблюдения:

500

w 0,41 . 1200

Предельная ошибка при вероятности 0,954 (коэффициент доверия 2):

	2		0,41	(1	0,41)		0,028 .
w
				1 200
Доверительный интервал:
	w		w	p	w		w ;
0,4 0,028				p	0,4	0,028 ;
	0,382			p	0,438 .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности число жителей, имеющих доход свыше 7 200 руб., находится в пределах от 38,2 до 43,8%.

3. Для определения необходимой численности выборки при определении среднемесячного дохода с вероятностью 0,997 (коэффициент доверия) и предельной ошибкой не более 300 руб. воспользуемся формулой для расчёта предельной ошибки для средней при повторном отборе:

t	2	n	2 t 2				7 747 500 32	775 человек.
			2			3002
	n
				x

Таким образом, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 300 руб., численность выборки должна составлять 775 человек.

4. Для определения необходимой численности выборки при определении доли жителей города с доходом более 7 200 руб. с вероятностью 0,954 (коэффициент доверия 2) и предельной ошибкой, не превышающего 5 %, воспользуемся формулой для расчёта предельной ошибки для доли при повторном отборе:

t

w(1

w)

n

w (1 w) t 2

0,41 0.59 22

0,9676

387 чел.

w

n

2

0,052

0,0025

w

41

Таким образом, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5%, численность выборки должна составлять 387 человек.

5. Предельная относительная ошибка выборки определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

											241
для средней: %					x			100						100% 3,57%;
					~				%
					x						6 750
для доли:			w		100					0,028			100% 6,83%.
	%		w						%		0,41

4.3. Задачи для самостоятельного решения

4.1. В магазинах торговой сети с общим числом работников 1 000 человек было проведено 5 %-ное выборочное обследование возраста работников методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст, лет	До 30	30 − 40	40 − 50	50 − 60	Свыше 60
Число	8	22	10	6	4
сотрудников

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний возраст работников торговой сети; 2) с вероятностью 0, 683 пределы, в которых находится доля работников в возрасте старше 50 лет; 3) необходимую численность выборки при определении среднего возраста работников торговой сети города, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,5 года; 4) необходимую численность выборки при определении доли работников в возрасте старше 50 лет в торговой сети города, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка не превышала 6 %.

4.2. Для изучения производительности труда в торговом центре было проведено выборочное обследование 100 продавцов из 1 000 методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о дневной выработке продавцов:

42

Дневная	18 − 20	20 − 22	22 − 24	24 − 26	26 − 28	28 − 30
выработка,
тыс. руб.
Число	2	8	24	50	12	4
продавцов

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средняя дневная выработка продавцов; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля продавцов с дневной выработкой до 20 тыс. руб.; 3) необходимую численность выборки при определении средней дневной выработки продавцов, чтобы с вероятностью 0, 997 предельная ошибка выборки не превышала 1 тыс. руб.; 4) необходимую численность выборки при определении доли продавцов с дневной выработкой до 20 тыс. руб., чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 0,5 %.

4.3.При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5 %-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составил 500,5 г. при среднем квадратическом отклонении 15, 4 г.

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы среднего веса одного батона во всей партии; с вероятностью 0,687 пределы удельного веса стандартной продукции во всей партии.

4.4.В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом собственно-случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7 %, если процент отбора равен 10?

4.5.В выборке объёмом 1 000 единиц доля бракованных изделий составила 2

%.Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 единиц) доля брака не превзойдёт 2,5 %.

4.6.Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более

43

2 %, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей: а) 1 000 единиц; б) 10 000 единиц; в) 100 000 единиц? Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

4.7. С целью определения средней месячной заработной платы персонала торгового центра было проведено 25 %-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждой типической группы использовался механический отбор. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы секций	Средняя месячная	Среднее	Число
торгового центра	заработная плата,	квадратическое	сотрудников, чел.
по	руб.	отклонение, руб.
специализации
1. Швейные
изделия	8 700	40	30
2. Обувь	10 400	160	80
3. Игрушки	12 600	190	140
4. Радиотовары	15 300	215	190

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средняя месячная заработная плата всего персонала торгового центра; 2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 10,0 руб.

4.8. При обследовании бюджетов домашних хозяйств города была организована 10 %-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы населения по	Объём выборки	Доля расходов на оплату
семейному положению		жилья, %
Одинокие	35	9
Семейные	115	6

Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли расходов на оплату жилья населением города; 2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,0 %.

44

4.9. Для выявления размера прибыли, приходящейся на одно торговое предприятие в регионе произведена 10 %-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности выделенных групп. Внутри типических групп произведён механический отбор. Результаты представлены в таблице:

	Форма	Число торговых	Объём прибыли в	Среднее
	собственности	предприятий	среднем на одно	квадратическое
			предприятие, млн	отклонение, млн
			руб.	руб.
1.	Государственная	60	224,2	1,9
2.	Негосударственная	240	167,3	2,6

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать объём прибыли в среднем на одно торговое предприятие региона; 2) вероятность того, что генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней не более, чем на 2,5 %; 3) объём бесповторной типической выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 0,2 млн руб.

4.10. При планировании выборочного обследования занятости лиц женского пола в торговле региона используются следующие данные:

Район	Численность женщин в	Удельный вес занятых мужчин,
	трудоспособном возрасте, тыс.	% (оценка)
	чел.
1	35	75
2	56	80
3	17	70
4	28	85

С вероятностью 0,954 определите необходимый объём типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

45

4.11. Выпускаемая акционерным обществом продукция упаковывается в ящики по 100 шт. в каждом. Из 100 ящиков, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано пять, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки показали, что средний вес деталей в ящиках составил (г):

Номер ящика	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	50	54	46	44	55

Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции акционерного общества; 2) вероятность того, что средний вес деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 5,64 г.; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки при определении среднего веса деталей не превышала 5,0 г.

4.12.Для обследования качества поставляемых торговле пищевых яиц, они были распределены на 50 равновеликих серий (коробок). На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес стандартной продукции составил 80 %.

Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли удельного веса стандартной продукции во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 8,41;

2)вероятность того, что доля стандартной продукции будет отличаться от полученной по выборке не более, чем на 16,4 %; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при установлении границы доли стандартной продукции во всей партии не превышала 10 %.

4.13.Что произойдёт с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0,954 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,683 до 0,954; г) уменьшить с 0,997

до 0,954; д) увеличить с 0,683 до 0,997?

4.14.Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокупности: а) уменьшить в 2,5 раза; на 40 %; б) увеличить в 1,5 раза; на 20 %;. Как нужно изменить необходимую

46

численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась: в 2 раза; на 50 %; на

30%?

4.15.В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки соответственно случайной бесповторной и повторной выборки при 1 %-ном, 5, 10 и 20 %-ном отборе?

4.16.Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях): а) при отборе 50 единиц или 50 серий?; б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой?; в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое корреляционное отношения равно 0,49?

Тема 5. ИНДЕКСЫ 5.1. Методические указания

Понятие индексов. Индивидуальные и общие индексы

Под индексом в статистике понимают относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления — простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов; во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т.д.).

По степени охвата единиц совокупности различают индивидуальные индексы и общие индексы. Индивидуальные индексы служат для оценки изменения индивидуального значения признака или для характеристики отдельных элементов сложного явления. Общие индексы характеризуют изменение величины какого-либо признака во всей совокупности в целом или отражают изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию (физический объём реализации продукции разного вида, цены на разные группы товаров и т.д.).

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу (явлению) и не требуют суммирования данных:

47

	i p	p1	– индивидуальный индекс цен, где в числителе – цена единицы
		p0

продукции в текущем (отчетном) периоде, а в знаменателе – цена единицы продукции в базисном периоде;

	i p	q1	– индивидуальный индекс физического объёма продукции, в
		q0

числителе – количество произведённой или реализованной продукции одного наименования в текущем (отчётном) периоде, а в знаменателе – количество произведённой или реализованной продукции в базисном периоде.

В экономических расчётах для измерения динамики сложного явления обычно используют общие индексы, которые могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных индексов.

Агрегатная форма индекса

Агрегатный индекс является основной формой индекса, числитель и знаменатель представляют собой «агрегат» (от лат. aggregatus — складываемый, суммируемый), составленный из напрямую не соизмеримых, а значит, не поддающихся суммированию элементов. Другими словами, в числителе и знаменателе агрегатного индекса содержится сумма произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая — остаётся неизменной и в числителе и в знаменателе (вес индекса) и служит для приведения к сопоставимому виду несоизмеримых величин. Умножение индексируемых величин на вес называется взвешиванием.

По содержанию индексируемых величин различают индексы количественных показателей и индексы качественных показателей.

Индексы количественных показателей – индексы физического объёма произведённой продукции, розничного товарооборота, национального дохода и др. В этих индексах индексируемые показатели являются объёмными и характеризуют общий, суммарный размер (объём) того или иного явления и выражаются абсолютными величинами. При расчёте таких индексов для соизмерения (сопоставления) используются качественные показатели, обычно зафиксированные на уровне базисного периода (цена, себестоимость, трудоёмкость).

Индексы качественных показателей – в этих индексах индексируемые показатели характеризуют уровень явления в расчёте на количественно измеримую единицу совокупности: цена за единицу продукции, себестоимость единицы продукции, трудоёмкость единицы продукции. Эти величины измеряют

48

не общий объем явления, а интенсивность, эффективность явления или процесса. Обычно они являются либо средними, либо относительными величинами. Расчёт таких индексов производится на базе одинаковых неизменных значений количественного признака, зафиксированного, как правило, на уровне отчётного периода.

Агрегатный индекс физического объёма продукции является индексом количественного показателя:

	I q	q1 p0		,
		q0 p0
где q1 , q0 –	количество (объём) продукции			в натуральном	выражении в
отчётном и базисном периодах соответственно;
p0 – базисная (фиксированная) цена;
q1 p0 – условная стоимость произведённой или реализованной в текущем
периоде продукции в ценах базисного периода;
q0 p0 –	фактическая стоимость	произведённой или			реализованной

продукции в базисном периоде.

Разность числителя и знаменателя индекса физического объёма показывает, на сколько денежных единиц изменилась стоимость продукции (товарооборот) в результате роста (снижения) количества произведённой или реализованной продукции:

q qp

q1 p0

q0 p0

Агрегатный индекс цен является индексом качественного показателя:

	I q	q1 p1	,
		q1 p0
где	q1 p1 – фактическая стоимость		товаров, произведённых или
реализованных в отчётном периоде, в ценах отчётного периода;
q0 p0 –	условная стоимость товаров, произведённых или реализованных в

отчётном периоде, в ценах базисного периода.

Разность между числителем и знаменателем индекса цен характеризует фактическую экономию (перерасход) покупателей, вызванную изменением цен:

p qp

q1 p1

q1 p0 .

Индекс изменения стоимости произведённой или реализованной продукции – отношение общей стоимости произведённой или реализованной продукции в

49

текущем периоде к общей стоимости произведённой или реализованной продукции в базисном периоде:

	I qp		q1 p1	,
			q0 p0
где	q1 p1 – фактическая стоимость продукции,				произведённой	или
реализованной в текущем периоде, в ценах текущего периода;
q0 p0	– фактическая стоимость		продукции,		произведённой	или

реализованной в базисном периоде, в ценах базисного периода.

Этот индекс показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость произведённой продукции (товарооборота) в отчётном периоде по сравнению с базисным.

Разность между числителем и знаменателем индекса изменения стоимости произведённой продукции, показывает, на сколько денежных единиц изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:

qp

q1 p1

q0 p0

Индексный метод не только характеризует динамику сложного явления, но и позволяет оценить влияние, которое оказывают на результативный показатель отдельные факторы. Стоимость произведённой продукции равна произведению показателя стоимости основных фондов на фондоотдачу, товарооборот равен произведению количества реализованной продукции на соответствующую цену единицы продукции и т.д. Форма связи между такими показателями выявляется в ходе предварительного теоретического анализа, а затем измеряется количественно.

Связь между экономическими показателями находит отражение и во взаимосвязи характеризующих их изменения индексов, т.е. если a b c, то

I

I

I

,

а если

a

b

, то и I

Ib

.

a

b

c

a

c

Ic

В качестве примера построения системы взаимосвязанных индексов рассмотрим индекс физического объёма, цен и стоимости продукции. Стоимость продукции является результативным показателем и зависит от физического объёма продукции и уровня цен на продукцию. Следовательно, произведение индекса физического объёма на индекс цен даёт индекс стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах. Таким образом, индексы образуют индексную систему:

50