m32352_9
.DOC.
b) Применим подстановку . Тогда
,
откуда
.
c) Применим формулу интегрирования по частям:
.
Положим . Тогда
Таким образом,
.
d) Здесь тоже воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Положим .
Тогда
.
Отсюда
.
Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно,
Теперь окончательно имеем
.
ПРИМЕР 2. Вычислить определенные интегралы:
a) ; b) .
Решение.
a)
b) Делаем замену . Тогда, во-первых, при изменении старой переменной интегрирования от до новая переменная интегрирования в соответствии с заменой будет меняться от до . Во-вторых, , то есть
ПРИМЕР 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
; .
Решение.
1. Находим абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
= .
Отсюда
, .
Далее ищем ординаты точек пересечения парабол , воспользовавшись, например, вторым из заданных уравнений ( ), и строим схематически искомую площадь в системе координат.
2. Площадь фигуры вычисляем по формуле
,
где ( ) кривые, ограничивающие фигуру, а отрезок оси Ox, в который она проектируется. В нашем случае площадь равна
=
ПРИМЕР 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Оx.
Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение = , т.е. . Легко убедиться, что , . Первому квадранту соответствует корень .
Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью , решив уравнение . Получаем .
Таким образом, тело ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси , а при вращением прямой .
Искомый объем находим по формуле
.
В нашем случае имеем
+ .
Первый интеграл вычисляется просто:
= = = = .
Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда , . При этом из условия следует, что меняется от 8 до 0 и
= = = .
Следовательно,
= + = .
ПРИМЕР 5. Интеграл вычислить приближенно по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на десять равных частей. Оценить погрешность.
Решение.
1. Вычисляем интеграл приближенно по формуле трапеций
,
разбивая отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. В нашем случае
, поэтому
|
1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,6 |
3 |
3,4 |
3,8 |
4,2 |
4,6 |
5 |
|
2,20 |
2,28 |
2,36 |
2,43 |
2,50 |
2,56 |
2,62 |
2,68 |
2,73 |
2,78 |
2,83 |
Теперь
.
2. Приступаем к оценке абсолютной погрешности полученного результата по формуле
,
где a, b соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, n число разбиений отрезка интегрирования на части, , а подынтегральная функция. В нашем случае имеем
.
Функция монотонно убывает на [1; 5], поэтому достигает своего максимального значения в левой концевой точке этого отрезка, т.е. при . Следовательно, .
Таким образом,
ТЕМА V. Дифференциальные уравнения
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ
Понятие дифференциального уравнения, примеры. Дифференциальное уравнение первого порядка. Основные понятия. Задача Коши, теорема существования и единственности ее решения.
Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их интегрирования.
Дифференциальные уравнения второго порядка, основные понятия.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, теорема о структуре его общего решения.
Характеристическое уравнение. Отыскание уо.о. в случае различных ситуаций для корней характеристического уравнения.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре его общего решения.
Отыскание уч.н. для различных стандартных правых частей.
Моделирование свободных колебаний динамических систем.
Моделирование вынужденных колебаний динамических систем.
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 5
ЗАДАЧА 5.1. Для дифференциальных уравнений без начальных условий найти их общие решения. При наличии начальных условий найти соответствующие этим условиям частные решения.
Вариант 1.
1. xy2y1 = y2. |
2. x2dy+(y2+2)dx = 0. |
3. xyy = x3; y(1)=0. |
4. xyy = x2sin2x; y()=1. |
5. y7y+10y = 0; y(0)=2, y(0)= 1. |
6. y4y+3y = 0; y(0)=0, y(0)=1. |
7. y2y = 3x2+1. |
8. y+8y+16y = 3e2x. |