Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfЕсли кривая АВ является замкнутой, т.е. представляет собой не который замкнутый контур L, то пользуются обозначениями
f/(z)dz, <ff(z)dz
LL
взависимости от направления обхода контура L при интегриро вании, а сам интеграл в этом случае называют контурным.
Из (2.145) и свойств криволинейного интеграла следуют некоторые свойства интегралов от функции комплексного пере
менного.
1. Линейность. Если функции f x(z) и / 2(z) непрерывны
на кусочно-гладкой кривой АВ, то для любых постоянных а и b
l(a |
f l(z) +b f 2(z))dz = a- \ Ш < к + Ь J/2(z)dz. (2.148) |
|
А В |
А В |
АВ |
2. Аддитивность. Пусть даны две кусочно-гладкие кривые АВ и 5С. Для любой непрерывной на кривой АС функции f(z)
справедливо равенство
\ f(z)dz = J /(z)dz + J/(z)dz. |
(2.149) |
||
А С |
А В |
ВС |
|
3. Оценка интеграла. Для любой функции f ( z ) , непрерыв |
|||
ной на кривой АВ, справедчиво неравенство |
|
||
|
J/(z)d z< |
j|/(z)|d/, |
(2.150) |
|
А В |
А В |
|
где правая часть неравенства есть криволинейный интеграл пер вого рода. Если, кроме того, функция /(z) на кривой АВ удов
летворяет условию |/ (z)| < М , то справедливо неравенство
J/(z)dz <M-L'А В ’ |
(2.151) |
А В
где ЬАВ - длина кривой АВ.
Пример 2.31. Вычислить jRezdz .
А В
1.AB: z = (2 + i)t, t e [o,l].
2.AB: ломаная, составленная из отрезка [0, 2] действитель
ной оси, соединяющего точки z, = 2 и z2 =2 +i .
В первом случае путь интегрирования - прямая, изобра женная на рис. 2.30 штриховой линией, так как комплексное
уравнение z = (2 + i)t эквивалентно |
параметрическим урав |
|||
нениям прямой |
х - 2 1, y = t. |
Учтем, что R ez = x = 2/ |
||
и dz = (2 + i)dt, t е [о, 1], получим |
|
|
|
|
Г |
V |
2I1 |
=2 + /. |
|
J Rezdz = |2 / (2 + /)d r |
|
|||
AH |
о |
|
0 |
|
Во втором случае путь интегри
(Z)рования состоит из двух отрезков (на рис. 2.30 он изображен сплошной ли
z2 = 2 + / |
нией). Для |
отрезка |
[0,2] |
действи |
|||
/ |
тельной |
оси |
имеем |
у = 0, dy = 0, |
|||
|
dz = dx и |
Re z = x = [0,2], |
а |
для от |
|||
|
резка, |
соединяющего |
точки |
z, = 2 |
|||
рис 2 зо |
и z2 = 2 |
+ / |
получим |
Re z = х = 2, |
|||
|
dx = 0, dz = idy |
и у e [0,1]. Учитывая |
(2.145) и аддитивность интеграла от функции комплексного пе ременного, находим
J Re zdz = |
2 |
1 |
х2 |
|
Jzcdjc + f2idy |
=— |
+ 2 / ^ = 2 + 2». |
||
A B |
0 |
0 |
2 |
|
Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной функции может зависеть от пути интегрирования.
Пример 2.32. Вычислить интеграл
К = j ( z - a ) ndz, n e Z ,
L
где L - окружность |z - а | = R, обход против часовой стрелки (рис. 2.31).
Зададим окружность ком
плексным |
уравнением z - a - |
|
|
|
= R(cos t +i sin /), t &[o,2n], |
на |
|
|
|
окружности имеем |
|
|
|
|
(z - а ) ” = |
R"(cos nt + isin nt), |
|
|
|
dz =R(-sint +icos t)&t, |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
( z - a ) ”dz = |
Rn+X(casnt + /sin«/) x |
|
|
|
x ( - sin t + icost)At = iR"*](cos(n + \)t |
+ +/sin(« + l)/)df. |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
2л |
|
|
n ± - 1 |
In = (j(z - a)ndz =iRn+l J(cos(w + 1)/ + isin(n + 1)t)dt = 0, |
||||
|
о |
|
2ni, |
n ——\ |
Обратим внимание, что полученный результат не зависит от ра диуса окружности. Если а - 0, имеем
Г |
z |
п л |
f o . |
П ^ - \ |
(2.152) |
4 |
dz = < |
|
|||
|г|=Я |
|
|
[271/, |
Yl — “ 1 |
|
2.21. Интегральные теоремы Коши. Независимость интеграла от пути интегрирования
Теорема 1 (Теорема Коши для односвязной области).
Если функция /(z ) аналитическая в односвязной области
D и на ограничивающем ее кусочно-гладком контуре L, то
f/(z)dz = 0. |
(2.153) |
L |
|
Доказательство теоремы проведем, дополнительно предпо ложив, что производная f'(z) данной функции непрерывна в односвязной области D и на ограничивающем ее контуре L. Пусть / (z) = и(х, у) + iv(x, у ) . Тогда в силу (2.122) имеем
|
|
_ ди(х,у) + ,dv(x,y) |
dv(x,y) |
. ди(х,у) |
|
JK |
дх |
дх |
ду |
ду |
|
так что из непрерывности функции |
f'(z) в |
D следует непре |
|||
рывность |
функций и(х,у) ,v(x,y) и их частных производных |
||||
в D . |
Напомним, |
что криволинейный |
интеграл вида |
||
\Р{х, y)dx + Q(x, у)йу |
вдоль кусочно-гладкой кривой не зависит |
АН
от пути интегрирования в односвязной области тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в этой об ласти вместе со своими частными производными и удовлетво ряют условию работы [3]:
дР = dQ
(2.154)
ду дх
Если к тому же путь интегрирования замкнутый, то в этом случае интеграл равен нулю. Согласно (2.145) имеем
]f{z)dz =^u{x,y)doc-v{x,y)Ay +i^v{x,y)Ax + u{x,y)dy. (2.155)
L |
L |
|
/. |
|
Для функции f{z) как аналитической в D выполнены ус |
||||
ловия (2.128) Коши - Римана: |
|
|
||
|
ди(х,у) |
dv(x,y) |
ди(х,у) = |
Эу(х,у) |
|
дх |
ду |
ду |
дх |
Первое |
из этих |
условий |
совпадает |
с (2.154) при |
P(x,y) = v{x,y), Q(x,y) = и(х,у), и его выполнение означает,
что равен нулю второй интеграл в правой части (2.155). Второе условие совпадает с (2.154) при Р(х,у) = и(х,у),
Q(x,y) =-v{x,y), и его выполнение обеспечивает равенство ну лю первого интеграла в правой части (2.155), что в итоге и дока зывает справедливость (2.153).
Замечание 1. Теорему 1 часто формулируют так: если функция f{z) является аналитической в односвязной области
D, то интеграл от /(z ) по любому кусочно-гладкому контуру
L, целиком лежащему в этой области, равен нулю.
Замечание 2. В условии теоремы 1 достаточно потребовать аналитичности функции /(z ) лишь в самой области D, т.е. ве рен такой результат: если /(z ) аналитична в односвязной об ласти D , ограниченной кусочно-гладким контуром L,
и непрерывна в D , то интеграл /(z ) вдоль X равен нулю.
Теорема 2 (Теорема Коши для многосвязной области). Пусть многосвязная область D ограничена внешним кусочно гладким контуром Х0 и внутренними кусочно-гладкими конту
рами Ц,Ь2 ,...,ЬП. Если функция /(z ) аналитична в области D и на ограничивающем ее составном контуре X, то
^ /(z)d z = £ ij/(z)dz |
или <J/(z)dz = 0, |
(2.156) |
|
Lo |
*=*£* |
/ |
|
где интеграл по составному контуру L есть сумма интегралов по контурам L^,Ly,...,Ln, ограничивающим область D и проходи
мым в положительном направлении. Проведем разрезы области
D по дугам |
у ,, у2 ,...,у„, соединяющим последовательно кон |
||||
туры Х ^ Х ,^ , ... ^ |
(рис. 2.32). |
||||
При |
этом |
многосвязная |
об |
||
ласть |
D |
станет односвязной |
|||
областью |
D *, ограниченной |
||||
замкнутым |
контуром |
X *, |
|||
который |
состоит |
из |
дуг |
||
контуров |
|
X,, Zj, |
|
||
и дуг |
у„ |
у2,~ .,у „ . Отметим, |
что при обходе контура L* против часовой стрелки обход дуг контуров X^X^Zj.—.Z,, происходит по часовой стрел ке, а каждая из дуг у,, у2,
проходится дважды в противоположных направлениях.
Для замыкания D* односвязной области D *, ограниченной контуром L *, выполнены условия теоремы 1, и тогда
<f/(z)dz - 0.
Учитывая свойства аддитивности и ориентированности ин теграла функции комплексного переменного (см. (2.144)) и принимая во внимание, что интегралы по дугам Yi>Y2>--->7n взаимно уничтожаются, получим
0 = 4 f(z)dz + £ f f{z)dz = j /(z)dz - |
£ 4/(z)dz, |
||
L0 |
*■='/-* |
t-0 |
k ='Lk |
что равносильно (2.156).
Пример 2.33. Вычислить интеграл от функции / (z) вдоль астроиды, заданной параметрическими уравнениями у = a sin31, x = acos3/, ге[0,2л] (рис. 33), если этот контур обходится против часовой стрелки, и функ
ция приобретает вид
1) /(z ) = e ';2 ) /( z ) = i .
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1) |
Функция |
е1 |
является |
|
|
|
целой (см. пример 2.23). Поэтому |
||||
|
|
в силу теоремы Коши для одно |
||||
|
|
связной области |
|
|
|
|
|
|
|
4<rdz = 0. |
(2.157) |
||
|
|
|
I2 |
|
|
|
2) Функция |
— является аналитической на всей комплекс- |
|||||
|
z |
|
|
z = 0, |
|
|
ной плоскости |
(Z) |
за исключением |
точки |
так |
как |
|
в этой точке она не дифференцируема. Очертим точку |
z = 0 |
|||||
окружностью |
|г| = р , |
целиком лежащей внутри |
астроиды |
(см. рис. 2.33). Тогда функция — будет аналитической в дву-
Z
связной области, ограниченной астроидой и этой окружностью. Используя (2.153), получим
4— = |
4 — = 2ш. |
(2.158) |
I 2 |
И -,* |
|
Используя свойства аддитивности и ориентированности интеграла от функции комплексного переменного (см. (2.143)) и интегральные теоремы Коши, сформулируем утверждения в виде следующих теорем.
Теорема 3. Если / (z) - аналитическая функция в некото рой односвязной области D , то для любых точек A, B e D зна чение интеграла от f(z) вдоль кусочно-гладкой кривой у, со единяющей точки А к В, не зависит от выбора этой кривой, ле жащей в D , а зависит от положения её начальной и конечной точек. Тогда можно записать
вzR
J/(z)dz или J/(z)dz.
A |
ZA |
Теорема 4. Пусть /(z ) - функция, непрерывная в одно связной области D , и интеграл от /(z ) по любой кусочно гладкой кривой, лежащей в D, зависит лишь от положения начальной и конечной точек. Тогда для любой точки z0 е D функция
F(z)=Z\ f { $ d£, zeD, |
(2.159) |
является аналитической в этой области и
F'(z) =^ - = f(z), z e D . |
(2.160) |
dz |
|
Доказательство этих теорем можно найти, например, в ра боте [2].
2.22. Формула Ньютона - Лейбница. Интегральная формула Коши
|
Теорема 1. Если функции /(z ) |
и |
g(z) аналитичны в об |
||||||
ласти D |
и f'{z) = g \ z ) , z e |
D , TO |
/(z ) = g{z)+C, z e D , где C - |
||||||
некоторое комплексное число. |
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
доказательства |
теоремы |
рассмотрим функцию |
|||||
h(z) = /(z ) - g(z) , аналитичную |
в |
D |
и в |
h\z) а 0 |
Пусть |
||||
h(z) = u(x,y) + iv(x,y), |
согласно |
|
формулам |
(2.122) |
имеем |
||||
dU |
dv |
dv dv |
- |
|
|
|
|
|
|
— |
= — = — а — = 0 в области D |
|
|
|
|
дх ду дх ду
Выберем произвольную точку а е D , и пусть её окрест ность и(х) целиком включена в D Функции и(х,у) и v(jc,y), имеющие нулевые частные производные в односвязной области и(х), постоянны в этой области. Значит, h(z) а 0 в и(х). Со гласно теореме о единственности аналитической функции, ана литическая в D функция h(z)-C (тождественно равная нулю в и(х)) тождественно равна нулю во всей области D, т.е. f(z)~ g(z) а С в D . А это и доказывает утверждение теоремы.
Теорема 2. Пусть /( z ) - аналитическая в некоторой одно
связной области D функция, а Ф(г) - |
некоторая первообразная |
|
этой функции в D , т.е. Ф'(г) = /(z ), z € D Тогда |
|
|
1 / 0 0 <«; = ф(г2) - ф ( гД |
Z „ Z 2 E D |
(2.161) |
Z| |
|
|
Доказательство этой теоремы подробно разобрано в ра боте [7].
Формула (2.161), как и в случае функции действительного переменного, называется формулой Ньютона - Лейбница.
Отметим также, что если функции /(z ) и g(z) являются аналитическими в односвязной области D , а у - любая кривая
с начальной точкой z( и конечной точкой z , , то справедлива формула интегрирования по частям
\f{z)g'{z)Az = |
ff(z)dg(z)=f(z)g(z)ft- |
jg(z)/'(z)dz. (2.162) |
||
T |
Z] |
z, |
|
|
Пример 2.34. |
Вычислить интеграл |
от функции |
f(z) = |
|
= (z-i)e~z |
по некоторой кривой, соединяющей точки |
z, = О |
и z2 = /.
Эта функция анапитична на всей комплексной плоскости ( Z ). Используя формулу (2.162) и формулу Эйлера, получим
f(z-i)e 2dz = -J(z -/)d (e z) = -(z - i)e z\ +
+fe~zdz = - (z - 0 e 2\. ~e~:\' =
=- i - e ' +1 = 1 —cos 1 —/(1 —sin 1).
Теорема 3 (Интегральная формула Коши).
Пусть f ( z ) - аналитическая функция в односвязной облас ти D и на ограничивающем её контуре L.
Тогда для любой точки z0 справедлива формула
(2.163)
2m'Lz - z 0
Доказательство. Функция |
является аналитической |
z - z 0
всюду в области D , за исключением точки z0 е D, в которой свойство аналитичности нарушено. Окружим точку z0 окруж ностью L, радиуса г с центром в этой точке, причем так, чтобы
окружность лежала в D (рис. 2.34). Тогда |
будет анали- |
z “ zo
тической функцией в двусвязной области, ограниченной внеш
ним контуром L и внутренним Ц,
согласно теореме Коши для много связной области, которая в частном случае двусвязной области приво дит к равенству
< f^ ^ -d z = |
f ^ ^ - d z (2.164) |
L z ~~ 2О |
L \Z ~ 2О |
/ ( * о ) - ^ — |
<Ь. |
(2.165) |
2л/ iyz - z 0 |
|
|
С одной стороны, в силу равенства (2.164) эта разность не зави сит от радиуса г окружности Ц . С другой стороны, эта раз ность является бесконечно малой при г -» 0. Действительно, со гласно формуле (2.152) верно равенство
|
|
|
(2.166) |
|
|
2л/ / z —zn |
|
Так как функция /(z ) аналитична, а значит, и непрерывна |
|||
в точке z0 е D , |
для |
любого е > 0 |
можно подобрать такое |
8 = 8(е)> 0, что |
при |
|z - z 0|< 8 |
будет верным равенство |
|f(z)~ f ( z 0) | < s . Пусть радиус г контура Ц настолько мал, что
г < 8 . Тогда всюду на контуре L, верно неравенство
/ ( го ) - /(* ) |
|/( го )~ /(г)1 |
|
|
|
Z - Z |
g |
|
Г |
Г |
Используя равенство (2.166) и оценку интеграла от функ |
||||
ции комплексного переменного (см. п. 2.21), имеем |
|
|||
2л/ , A z - Z g |
_ L |
z - z n |
1 |
— 2лг =s . |
2 л /,, |
2 /л |
г |