2978

					Таблица 7.1
		Исходные данные для построения моделей
	Коэф. исполь-	Коэф. го-	Коэф. техниче-	Коэф. эффек-	Время
	зования по		ского использо-		наработки
		товности Kг		тивности Kэ
	времени Kв		вания Kти		на отказ Tн
	0,665	0,7832	0,8491	0,808	632
	0,666	0,7846	0,8489	0,8463	571
	0,706	0,8128	0,8686	0,8971	625
	0,714	0,8198	0,871	0,8676	627
	0,714	0,8198	0,871	0,8676	627
	0,717	0,8217	0,8726	0,9111	628
	0,718	0,8228	0,8726	0,8724	587
	0,725	0,8267	0,877	0,9212	652
	0,725	0,8267	0,877	0,8809	652
	0,725	0,8273	0,8764	0,8809	631
	0,727	0,8288	0,8771	0,9238	632
	0,733	0,8328	0,8802	0,9314	634
	0,734	0,8336	0,8805	0,9327	655
	0,735	0,8338	0,8815	0,9339	655
	0,739	0,8371	0,8828	0,939	656
	0,74	0,8387	0,8824	0,8991	657
	0,746	0,8422	0,8858	0,9064	659
	0,757	0,8502	0,8903	0,9619	641
	0,759	0,852	0,8908	0,9222	642
	0,764	0,8556	0,8929	0,9283	665
	0,772	0,8606	0,8971	0,938	668
	0,78	0,8659	0,9008	0,9911	670
	0,787	0,8707	0,9038	1	673
	0,823	0,8944	0,9202	1	663

Коэффициенты а и b уравнения находятся по формулам:

a y

bx,

(xi x)( yi y)

b

xy xy

(xi x)

2

2

x

2

x

или

a y r

y

x,

xy

x

b r

y

,

xy

x

(7.5)

(7.6)

(7.7)

(7.8)

41

где

xy

– средняя арифметическая из произведения факторного

признака на результативный; x	2	– средняя арифметическая сум-
мы квадратов факторного признака;			2	– квадрат средней ариф-
			x

метической факторного признака.

В уравнении регрессии параметр а имеет смысл и размерность результативного признака у, параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.

Как видно из формул (7.7), (7.8), необходимо вычислить коэффициент корреляции. Расчет производим по форме табл. 7.2.

Таблица 7.2

Факторный признак х

1

	x	x
		n

Расчет линейного коэффициента корреляции

Результативный признак у

2

	y	y
		n

Отклонения

х	у
х x	у y
3	4
–	–

	x y
		5
	A	x y
		n

x	2
6
x
	2
n

у2

7

y2 n

xy

8

	xy	xy
		n

	x2
		9
2		x
		2
x		n

Примечание. Здесь п – число наблюдений в выборке.

Ниже под таблицей вычислить

	x	x2
		n

,

		y
		2
y		n

,

затем рассчитать коэффициент корреляции по формуле (7.1), приняв Kxy A из столбца 5 последней строки табл. 7.2.

Коэффициент корреляции безразмерный, принимающий значения в пределах: 1 rxy 1. Положительные значения коэффи-

циента свидетельствуют о наличии прямой связи, отрицательные значения – обратной. Если коэффициент rxy = 0, то связи нет, линия

регрессии параллельна оси абсцисс. Чем ближе значение rxy к

единице, тем теснее связь. При rxy ≤ 0,3 – связь слабая; при rxy = = (0,3–0,7) – средняя; при rxy ≥ 0,7 – сильная или тесная.

По формулам (7.7), (7.8) находим коэффициенты а и b.

42

Найденные значения подставляются в уравнение (7.6), определяются теоретические значения у, по которым строится теоретическая линия регрессии.

Для оценки влияния факторного признака на результативный рассчитывается коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности:

Kе b(x / y).

(7.9)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1 %.

Статистическая значимость линейного коэффициента корреляции rxy и параметра b в уравнении у = а + bх оценивается посред-

ством t-критерия Стьюдента как

t1

R

(n 2) /(1

R	2	)

.

(7.10)

Статистическая значимость параметра а определяется из уравнения

	t			a
		0
				y

(n 2) /(1

R	2	)

.

(7.11)

Расчетное значение t-критерия Стьюдента сравнивается по абсолютной величине с табличным значением при (n – ν) степенях свободы и заданном уровне значимости (чаще всего принимают: α = 0,01 или 0,05). Если фактическое значение t-критерия больше табличного, то данный параметр считается значимым. Для выборки объемом в 24 члена tтабл 2,08 при уровне значимо-

сти α = 0,05 и (n – ν) = 22 (табл. 7.3).

Для оценки значимости уравнения регрессии в целом используют F-критерий Фишера (7.2):

	(Y y)	2	(n 2)
F				,	(7.12)
	( y Y )
			2

где Y – теоретические значения y, которые рассчитываются подстановкой в уравнение у = а + bх полученных расчетами коэффициентов а, b и исходных значений х.

Для расчета F-критерия Фишера производятся вспомогательные расчеты в форме табл. 7.4.

43

														Таблица 7.3
	Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99
	n		Р					n					P
		0,95			0,99						0,95			0,99
	2	12,71			63,66			18			2,11			2,90
	3	4,30			9,93			19			2,10			2,88
	4	3,18			5,84			20			2,093			2,861
	5	2,78			4,60			25			2,064			2,797
	6	2,57			4,03			30			2,045			2,756
	7	2,45			3,71			35			2,032			2,720
	8	2,37			3,50			40			2,022			2,708
	9	2,31			3,36			45			2,016			2,692
	10	2,26			3,25			50			2,009			2,679
	11	2,23			3,17			60			2,001			2,662
	12	2,20			3,11			70			1,996			2,649
	13	2,18			3,06			80			1,991			2,640
	14	2,16			3,01			90			1,987			2,633
	15	2,15			2,98			100			1,984			2,627
	16	2,13			2,95			120			1,980			2,617
	17	2,12			2,92			200			1,960			2,576
														Таблица 7.4
	Вспомогательная таблица для расчета F-критерия Фишера
	х		у			Y = а + bх				Y y		2		(y – Y)2
	1		2				3			4			5
											∑			∑

Аналогично сравнивается с табличным значением расчетное значение F-критерия Фишера при заданном уровне значимости α и k1 = ν – 1, k2 = n – ν степенях свободы. Для выборки объемом в 24 члена и линейного уравнения табличное значение F = 4,30 при уровне значимости α = 0,05 и k1 = 1, k2 = 22 (табл. 7.5).

Далее произведем расчет линейного коэффициента корреляции для математической модели коэффициента готовности Кг (данные второго столбца табл. 7.1) по форме табл. 7.2, результаты заносим в табл. 7.6.

44

										Таблица 7.5
	Значения критерия Фишера для уровня значимости α = 0,05
к2					к1
	1	2	3	4	5		6	8	12	24
1	161,45	199,50	215,72	224,57	230,17	233,97		238,89	243,91	249,04	234,52
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30		19,33	19,37	19,41	19,45		19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01		8,94	8,84	8,74	8,64		8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26		6,16	6,04	5,91	5,77		5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05		4,95	4,82	4,68	4,53		4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39		4,28	4,15	4,00	3,84		3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97		3,87	3,73	3,57	3,41		3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69		3,58	3,44	3,28	3,12		2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48		3,37	3,23	3,07	2,90		2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33		3,22	3,07	2,91	2,74		2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20		3,09	2,95	2,79	2,61		2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11		3,00	2,85	2,69	2,50		2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02		2,92	2,77	2,60	2,42		2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96		2,85	2,70	2,53	2,35		2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90		2,79	2,64	2,48	2,29		2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85		2,74	2,59	2,42	2,24		2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81		2,70	2,55	2,38	2,19		1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77		2,66	2,51	2,34	2,15		1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74		2,63	2,48	2,31	2,11		1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71		2,60	2,45	2,28	2,08		1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68		2,57	2,42	2,25	2,05		1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66		2,55	2,40	2,23	2,03		1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64		2,53	2,38	2,20	2,00		1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62		2,51	2,36	2,18	1,98		1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60		2,49	2,34	2,16	1,96		1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59		2,47	2,32	2,15	1,95		1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57		2,46	2,30	2,13	1,93		1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56		2,44	2,29	2,12	1,91		1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54		2,43	2,28	2,10	1,90		1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53		2,42	2,27	2,09	1,89		1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48		2,37	2,22	2,04	1,83		1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45		2,34	2,18	2,00	1,79		1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42		2,31	2,15	1,97	1,76		1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40		2,29	2,13	1,95	1,74		1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37		2,25	2,10	1,92	1,70		1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35		2,23	2,07	1,89	1,67		1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33		2,21	2,06	1,88	1,65		1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32		2,20	2,04	1,86	1,65		1,31
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30		2,19	2,03	1,85	1,63		1,26

45

Окончание табл. 7.5

к2					к1
	1	2	3	4	5		6	8	12	24
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29		2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27		2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26		2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25		2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24		2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23		2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22		2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21		2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Расчет среднеквадратических отклонений по данным табл. 7.6:

		x2
	x			0,000860 0,0293,
		n

			y
			2
	y		n		0,000443 0,02105.

Расчет коэффициента корреляции:

rxy		A				0,000617		0,999689.
						0,02105	0,02933
		y		x

Расчет коэффициентов уравнения регрессии по данным в последней строке табл. 7.6:

b	A		0,000617	0,7174,			0,8351 0,7174 0,7363 0,3069.
	x		0,000860		a y	bx

Расчет коэффициентов уравнения регрессии по формулам

(7.5) и (7.6):

							0,6157 0,73629 0,83508
b	xy xy								0,7128,
		2		2			0,5433 0,73629	2
	x
			x
						0,8351 0,7128 0,7363 0,3102.
a y				bx

Расчет коэффициентов уравнения регрессии по формулам

(7.7) и (7.8):

b r xy

y x

	0,999689	0,02105	0,7172.
		0,02933

				y						0,02105
	a y r xy						x = 0,835075		0,999689			0,736292	0,3068.
					x					0,02933

46

Факторный	Результативный
признак х	признак у
1	2
0,665	0,7832
0,666	0,7846
0,706	0,8128
0,714	0,8198
0,714	0,8198
0,717	0,8217
0,718	0,8228
0,725	0,8267
0,725	0,8267
0,725	0,8273
0,727	0,8288
0,733	0,8328
0,734	0,8336
0,735	0,8338
0,739	0,8371
0,740	0,8387
0,746	0,8422
0,757	0,8502
0,759	0,852
0,764	0,8556
0,772	0,8606

Расчет линейного коэффициента корреляции

Отклонения

х х х	у у у
3	4
–0,0713	–0,0519
–0,0703	–0,0505
–0,0303	–0,0223
–0,0223	–0,0153
–0,0223	–0,0153
–0,0193	–0,0134
–0,0183	–0,0123
–0,0113	–0,0084
–0,0113	–0,0084
–0,0113	–0,0078
–0,0093	–0,0063
–0,0033	–0,0023
–0,0023	–0,0015
–0,0013	–0,0013
0,0027	0,0020
0,0037	0,0036
0,0097	0,0071
0,0207	0,0151
0,0227	0,0169
0,0277	0,0205
0,0357	0,0255

x y

5

0,003698

0,003548

0,000675

0,000341

0,000341

0,000258

0,000225

0,000095

0,000095

0,000088

0,000058

0,000007

0,000003

0,000002

0,000005

0,000013

0,000069

0,000313

0,000384

0,000569

0,000539

х	2	у	2
6		8
0,005083		0,002691
0,004941		0,002548
0,000918		0,000496
0,000497		0,000233
0,000497		0,000233
0,000372		0,000179
0,000335		0,000151
0,000128		0,000070
0,000128		0,000070
0,000128		0,000060
0,000086		0,000039
0,000011		0,000005
0,000005		0,000002
0,000002		0,000002
0,000007		0,000004
0,000014		0,000013
0,000094		0,000051
0,000429		0,000229
0,000516		0,000286
0,000768		0,000421
0,000748		0,000389

		Таблица 7.6
xy		x2
7		8
0,5208		0,4422
0,5225		0,4436
0,5738		0,4984
0,5853		0,5098
0,5853		0,5098
0,5892		0,5141
0,5908		0,5155
0,5994		0,5256
0,5994		0,5256
0,5998		0,5256
0,6025		0,5285
0,6104		0,5373
0,6119		0,5388
0,6128		0,5402
0,6186		0,5461
0,6206		0,5476
0,6283		0,5565
0,6436		0,5730
0,6467		0,5761
0,6537		0,5837
0,6008		0,5960

47

47

48

	Факторный		Результативный
	признак х		признак у
		1		2
	0,780		0,8659
	0,787		0,8707
	0,823		0,8944
	x	x	y	y
		n		n
	0,73629		0,83508

Отклонения

х х х
	у у у
3	4
0,0437	0,0308
0,0507	0,0356
0,0867	0,0593
–	–
–	–

x y

5

0,001347

0,001806

0,000328

			y
			2
K	xy	A	n

0,000617

х2

6

0,001910

0,002571

0,000462

	x
	2
x	n

0,000860

у2

8

0,000950

0,001269

0,000233

	y
	2
y	n

0,000443

Окончание табл. 7.6

xy					x2
	7					8
0,6754			0,6084
0,6852			0,6194
0,7361			0,6773
xy		xy		2			x	2
			x
	n					n
0,6157				0,5433

48

Расчет коэффициента эластичности в среднем для всей совокупности:

K	е	b(x / y) 0,71717(0,835075 /0,736292) 0,63232.

Расчет параметров t-критерия Стьюдента:

	t	R			(n 2) /(1 R		2		) 0,999689				2	) 188,11,
												(24 2) /(1 0,99968
	1
t			a		(n 2)	/(1 R		2		)	0,307033	(24 2) /(1 0,99968	2	) 2744,87.
	0										0,02105
				y

Далее вычисляем значение критерия Фишера по форме табл. 7.4, результаты сводим в табл. 7.7.

					Таблица 7.7
	Расчет F-критерия Фишера
х	у	Y = а + bх	Y y	2	(y – Y)2
1	2	3	4		5
0,665	0,7832	0,7839	0,00261406		5,5821E-07
0,666	0,7846	0,7847	0,00254124		4,1346E-09
0,706	0,8128	0,8134	0,00047194		3,0348E-07
0,714	0,8198	0,8191	0,00025558		5,0665E-07
0,714	0,8198	0,8191	0,00025558		5,0665E-07
0,717	0,8217	0,8212	0,00019142		2,1188E-07
0,718	0,8228	0,8220	0,00017209		7,1088E-07
0,725	0,8267	0,8270	6,5577E-05		7,6738E-08
0,725	0,8267	0,8270	6,5577E-05		7,6738E-08
0,725	0,8273	0,8270	6,5577E-05		1,0432E-07
0,727	0,8288	0,8284	4,4404E-05		1,5105E-07
0,733	0,8328	0,8327	5,5727E-06		7,3388E-09
0,734	0,8336	0,8334	2,7011E-06		2,8393E-08
0,735	0,8338	0,8341	8,581E-07		1,2157E-07
0,739	0,8371	0,8370	3,7726E-06		6,8358E-09
0,74	0,8387	0,8377	7,0729E-06		9,3222E-07
0,746	0,8422	0,8420	4,8476E-05		2,6415E-08
0,757	0,8502	0,8499	0,00022056		7,492E-08
0,759	0,852	0,8514	0,00026522		4,0881E-07
0,764	0,8556	0,8549	0,00039487		4,2714E-07
0,772	0,8606	0,8607	0,00065581		7,0148E-09
0,78	0,8659	0,8664	0,00098258		2,7152E-07
0,787	0,8707	0,8714	0,0013225		5,4941E-07
0,823	0,8944	0,8973	0,00386687		8,1747E-06
–	–	–	∑ =		∑ =
			= 0,01451989		= 1,4247E-05

49

Определим значение F-критерия Фишера:

		(Y y)	2	(n	2)		0,01451989 (24 2)
	F							20382,98.
		( y Y )			2		1,4247E-05

Сопоставляя расчетные значения критериев Стьюдента, определяющие статистическую значимость коэффициентов модели линейной регрессии, и расчетное значение критерия Фишера, определяющее статистическую значимость всей модели, видим, что расчетные значения критериев значительно превышают табличные для заданного уровня значимости α = 0,05. Это позволяет сделать вывод, что модель является статистически значимой и уравнение регрессии с вероятностью, равной 0,95, имеет вид:

Kг = 0,3069 + 0,7174 Kв. (7.13)

Основные характеристики модели коэффициента готовности приведены в табл. 7.8.

Таблица 7.8

Основные характеристики модели коэффициента готовности машины

Показатель	Kг = 0,3069 + 0,7174Kв
Коэффициент корреляции	0,99969
Средний отклик	0,83508
Общий F-критерий регрессии	20382,98
Табличное значение общего F-критерия	4,30

8. Построение доверительных интервалов для уравнения регрессии

Рассмотрим проблему построения доверительных интервалов для уравнения регрессии на простейшей задаче. Пусть у нас имеется большой парк однотипных строительных машин с нормальным распределением некоторых характеристик (например, коэффициента готовности машин по времени за месяц). Требуется знать средние характеристики коэффициента готовности по времени всех машин за последний месяц. Возникает вопрос: сколько машин надо взять на выборочную проверку для того, чтобы получить значения средних характеристик всех машин с заданной достоверностью?

Если промерить коэффициент готовности по времени всех машин (это множество машин называется генеральной совокуп-

50