254

О механизмах возбуждения автоколебаний в потоке газа подводом теплоты

Рис. 6. Затухающие колебания давления в сечениях ri = i∆ (i =1;4) при мощности

4 кВт электронагревателя, расположенного непосредственно на входе в трубу диаметром d = 4,5 см и длиной =1,25 м, когда ξ = 2,5 м с< υкр ≈ 4 м с

Заключение

Уравнения гидрогазодинамики, описывающие движение сплошной среды с сосредоточенным теплоподводом, дополнены обобщенной функцией (тензором диссипации тепловой энергии), ассоциированной с поверхностью теплоподвода и характеризующей наличие теплового сопротивления.

Использование уравнения энергии для потока в форме 1-го закона термодинамики позволило определить тепловое сопротивление для политропных процессов. Это дает возможность установить образова-

21

Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко

ние отрицательного теплового сопротивления при различных показателях политропы n , что составляет новый механизм возбуждения автоколебаний при теплоподводе.

Также установлено, что причиной возбуждения автоколебаний при подводе теплоты к вязкому газу является реализация положительной обратной связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций, существенно определяемая зависимостью молекулярной вязкости газа от его температуры.

Библиографический список

1.Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. – М.: Физматгиз, 1961. – 500 с.

2.Гладышев В.Н. Автоколебания при горении и термоядерных взаимодействиях. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. – 135 с.

3.Гоцуленко В.В., Басок Б.И. Контроль и управление автоколебаниями в теплоэнергетических системах // Промышленная теплотех-

ника. – 2011. – Т. 33, № 7. – С. 40–41.

4.Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. – М.: ЛИБРО-

КОМ, 2010. – 552 с.

5.Basok B.I., Gotsulenko V.V., Gotsulenko V.N. Control vibration combustion and thermoacoustic oscillations in potentially unstable elements heat and power equipment // XIV Minsk International Heat and Mass Transfer Forum. – Minsk, 2012. – Р. 22–30.

6.Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. – М.: Научный мир, 2007. – 350 с.

7.Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. − М.: Наука, 1969. − 824 с.

8.Гоцуленко В.В., Гоцуленко В.Н. Тепловое сопротивление как механизм возбуждения автоколебаний // Сб. науч. тр. Днепродзержин-

ского гос. техн. ун-та. – 2009. – Вып. 1 (11). – С. 95–100.

9.Беляев Н.М., Белик Н.П., Польшин А.В. Термоакустические колебания газожидкостных потоков в сложных трубопроводах энергетических установок. – Киев: Высшая школа, 1985. – 160 с.

10.Басок Б. И., Гоцуленко В.В. Теория феномена Рийке в системе

ссосредоточенными параметрами // Акустический вестник. – 2010. –

Т. 13, № 3. – C. 3−8.

22

О механизмах возбуждения автоколебаний в потоке газа подводом теплоты

11.Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Автоколебания в распределенной модели трубы Рийке // Сибирский журнал индустриальной математи-

ки. – 2011. – Т. XIV, № 4 (48). – С. 3−13.

12.Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости

втрубах. – М.-Л.: Гостехиздат, 1951. – 225 с.

References

1.Raushenbah B.V. Vibratsionnoe gorenie [Vibrating combustion]. Moscow: Fizmatgiz, 1961. 500 p.

2.Gladyshev V.N. Avtokolebaniya pri gorenii i termoyadernyih vzaimodeystviyah [Self-oscillations in combustion and fusion interactions]. Novosibirsk: Sibirskoe otdeleniye Rossiyskoy akademii nauk, 1999, 135 p.

3.Gotsulenko V.V., Basok B.I. Kontrol i upravlenie avtokolebaniyami

vteploenergeticheskih sistemah [Control and management of self-excited oscillations in the heating system]. Promyishlennaya teplotehnika, 2011, vol. 33, no. 7, pp. 40-41.

4.Landa P.S. Nelineynyie kolebaniya i volnyi [Nonlinear Waves]. Moscow: LIBROKOM, 2010, 552 p.

5.Basok B.I., Gotsulenko V.V., Gotsulenko V.N. Control vibration combustion and thermoacoustic oscillations in potentially unstable elements heat and power equipment. XIV Minsk International Heat and Mass Transfer Forum. Minsk, 2012, pp. 22-30.

6.Elizarova T.G. Kvazigazodinamicheskie uravneniya i metodyi rascheta vyazkih techeniy [Quasi-gasdynamic equations and methods for calculating viscous flows]. Moscow: Nauchnyiy mir, 2007, 350 p.

7.Abramovich G.N. Prikladnaya gazovaya dinamika [Applied Gas Dynamics]. Moscow: Nauka, 1969. 824 p.

8.Gotsulenko V.V., Gotsulenko V.N. Teplovoe soprotivlenie kak mehanizm vozbuzhdeniya avtokolebaniy [Thermal resistance as a mechanism of excitation of oscillations]. Sbornik nauchnyih trudov Dneprodzerzhinskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2009, no. 1 (11), pp. 95-100.

9.Belyaev N.M., Belik N.P., Polshin A.V. Termoakusticheskie kolebaniya gazozhidkostnyih potokov v slozhnyih truboprovodah energeticcheskih ustanovok [Thermoacoustic oscillations of gas-liquid flows in complex pipelines of power plants]. Kiev: Vyisshaya shkola, 1985. 160 p.

23

Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко

10.Basok B.I., Gotsulenko V.V. Teoriya fenomena Riyke v sisteme s sosredotochennyimi parametrami [Theory Rijke phenomenon in a system with lumped parameters]. Akusticheskiy vestnik, 2010, vol. 13, no. 3, pp. 3-8.

11.Basok B.I., Gotsulenko V.V. Avtokolebaniya v raspredelennoy modeli trubyi Riyke [Oscillations in a distributed model Rijke tube]. Sibirskiy zhurnal industrialnoy matematiki, 2011, vol. XIV, no. 4 (48), pp. 3−13.

12.Charny I.A. Neustanovivsheesya dvizhenie realnoy zhidkosti v trubah [Unsteady motion of a real fluid in pipes]. Moscow: Nedra, 1975. 296 p.

Об авторах

Басок Борис Иванович (Киев, Украина) – член-корреспондент Национальной академии наук Украины, замдиректора по научным вопросам Института технической теплофизики НАН Украины (03057,

Украина, г. Киев, ул. Желябова, 2а, e-mail: [e-mail]).

Гоцуленко Владимир Владимирович (Киев, Украина) – канди-

дат технических наук, старший научный сотрудник отдела теплофизических основ энергосберегающих теплотехнологий Института технической теплофизики НАН Украины (03057, Украина, г. Киев, ул. Же-

лябова, 2а, e-mail: [e-mail]).

About the authors

Basok Boris Ivanovich (Kiev, Ukraine) – Corresponding Member of the NAS of Ukraine, Vice-Director in Science of the Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine (2a, Zhelyabov str., 03057, Kiev, Ukraine, e-mail: [e-mail])

Gotsulenko Vladimir Vladimirovich (Kiev, Ukraine) – Ph D. of Technical Sciences, Senior research fellow of the Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine (2a, Zhelyabov str., 03057, Kiev, Ukraine, e-mail: [e-mail]).

Получено 15.02.2013

24

В Е С Т Н И К П Н И П У

2013 Механика № 1

УДК 621.982:539.319

М.Г. Бояршинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

ОЦЕНКА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДЛИННОГО ЦИЛИНДРА

Объект исследования – длинный полый цилиндр, находящийся в сложных условиях деформирования под действием собственного веса и вращения крутящим моментом. Исследуется напряженное состояние по сечению цилиндра и кривизна его продольной оси. В качестве основных допущений, принимаемых для решения рассматриваемой задачи, рассматриваются обычные для механики материалов и инженерных приближений гипотеза о линейности физических соотношений между напряжениями и деформациями (линейная теория упругости) и предположение о малых деформациях. Решение задачи строится на основе дифференциального уравнения упругого изгиба центральной оси цилиндра и основных соотношений между кривизной этой оси, приложенными нагрузками, деформациями и напряжениями по сечению цилиндра. Граничная задача для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с соответствующими граничными условиями решается с помощью метода вариаций произвольных постоянных. Это позволило получить точное решение задачи изгиба длинного цилиндра, вращающегося вокруг продольной оси. Это позволило определить зависимость кривизны центральной оси цилиндра от продольной координаты и найти характер распределения напряжения по сечению цилиндра. Выполнена оценка вклада в напряженное состояние от каждого из факторов, действующих на рассмотренное изделие. Решение поставленной задачи позволило определить эквивалентное напряжение в периферийных слоях цилиндра как результат воздействия всех рассмотренных силовых факторов.

Ключевые слова: изгиб, деформации, напряжения, прогиб, вращение.

M.G. Boyarshinov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

ESTIMATION OF THE STRESS-STRAIN STATE

OF THE REVOLVING LONG CYLINDER

Subject of a study is a difficult stress state of long hollow cylinder which is being bended by its own weight and rotated by turning moment. The stressed state over the cylinder section and the curvature of its longitudinal axis are investigated. The basic assumptions taken in the attention to solve the problem in question are usual common for the mechanics of materials and engineering approximations the hypothesis about the linearity of the physical relationships between the stresses and strains (linear theory of elasticity) and assumption about the small strains. Solution of problem is built on the basis of the differential equation of the elastic flexure of the central axis of cylinder and fundamental relationships between the curvature of this axis, applied loads, strains and stresses in the region of cylinder

25

М.Г. Бояршинов

section. Boundary-value problem for the ordinary differential equation of the fourth order with the appropriate boundary conditions is solved using the method of variations of the arbitrary constants. This made it possible to obtain the exact solution of the task of the long cylinder bending which rotates around the longitudinal axis. This, as a result, made possible to determine the dependence of the curvature of cylinder central axis on the longitudinal coordinate and to find the stress distribution in the of cylinder section. The estimation of the contribution from each of the factors, which act on the subject of study, to the stressed state is executed. Solution of the presented problem made it possible to define equivalent stress in the outlying layers of cylinder as the result of the action of all power factors examined.

Keywords: bend, deformation, stress, sagging, the rotation.

Тяжелый длинный полый цилиндр защемлен на конце и вращается вокруг продольной оси. Напряженно-деформированное состояние такого объекта в общем случае можно описать с применением современной высокопроизводительной вычислительной техники на основе трехмерной математической модели, включающей полную систему уравнений равновесия, определяющих соотношений упругопластического деформирования, учитывающих эффекты циклического нагружения материала, с соответствующими начальными и граничными условиями.

В первом приближении решение этой задачи может быть получено с использованием инженерных подходов на основе простейших соотношений теории упругости, сопротивления материалов и механики материалов [1–4].

1. Изгиб длинного полого цилиндра под действием силы тяжести

Изгиб длинного полого цилиндра под действием силы тяжести (рис. 1) описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка [1, 2]

EI

d4u(x)

= q(x)

(1)

dx4

с граничными условиями

u(x)

x=0 = 0 ,

(2)

du(x)

= 0 ,

(3)

dx

x=0

d2u(x)

=

M (x)

= 0

,

(4)

dx2

EI

x=l

x=l

26

Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра

d3u(x)			=	Q(x)				(5)
							= 0 .
dx3				EI
		x=l					x=l

В формулах (1)–(5) обозначено: u(x) – функция прогиба цилиндра; x – продольная координата; ξ – ось изогнутой балки; M(x) – внешний изгибающий момент; Q(x) – внешняя перерезывающая сила; q(x) – распределенная массовая нагрузка, причем q(x)= m0 g =const, где m0 –

погонная масса цилиндра; g – ускорение свободного падения (9,81 м/с2). Для вычислений принято, что длина цилиндра l =10 м, его масса m =1200 кг, внешний и внутренний диаметры de = 0,176 м и di = 0,128 м

соответственно. Модуль упругости материала E = 2 105 МПа.

Рис. 1. Расчетная схема изгиба длинного полого цилиндра под действием силы тяжести

Решение дифференциального уравнения (1) записывается в виде

[5, 6]

u(x)= C	+C x +C		x2 +C x3	+	m0 g	x4 ,	(6)
0	1	2	3		24EI

причем постоянные C0 ,C1,C2 ,C3 определяются с учетом граничных условий (2)–(5):

27

М.Г. Бояршинов

u(x)

=C

+C

0 +C

02 +C 03 +

m0 g

04 = 0,

x=0

0

1

2

3

24EI

du(x)

=

C + 2C

x

+3C x2

+

m0 g

x3

=

2

dx

1

3

6EI

x=0

x=0

m0 g

= C

+ 2C

0

+3C

02 +

03 = 0,

(7)

1

2

3

6EI

d2u(x)

m g

x2

m g

l2

=

2C

2

+6C x

+

0

= 2C

2

+

3C l +

0

= 0,

2

dx

3

2EI

3

2EI

x=l

x=l

d3u(x)

m g

m g

=

6C3

+

0

x

=

6C3 +

0

l

= 0.

dx

3

EI

EI

x=l

x=l

Решение системы линейных алгебраических уравнений (7) позволяет определить постоянные интегрирования:

m gl2

m gl

C =

0, C = 0, C

2

=

0

, C = −

0

.

0

1

4EI

3

6EI

Решение (6) принимает вид

u(x)=

m g

4

m gl

3

m gl2

2

m g

2

(x

2

2

).

0

x

−

0

x

+

0

x

=

0

x

−4lx + 6l

(8)

24EI

6EI

4EI

24EI

Кривизна осевой линии цилиндра определяется выражением

d2u(x)

m g

x2

m gl

m gl

2

m g

(x2 − 2lx +l2 ).

κ =

=

0

−

0

x

+

0

=

0

(9)

dx

2

2EI

EI

2EI

2EI

На рис. 2, а приведена форма, на рис. 2, б – кривизна прогиба

центральной линии длинномерного цилиндра. Наибольшая кривизна, м–1, (см. рис. 2, б) имеет место в точке x = 0,

κ x=0 = m2EI0 g 02 − mEI0 gl 0 + m20EIgl2 = m20EIgl2 = −0,008229 ,

а значит, наибольшие растягивающие (сжимающие) напряжения, МПа,

вдлинномерном цилиндре достигаются именно в этом сечении,

σmax = −Eκmax d2e =144,84 .

28

Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра

а

б

Рис. 2. Действие силы тяжести на ось длинномерного цилиндра: а – зависимость от продольной координаты х (м) прогиба u (м); б – зависимость от продольной координаты х (м) и кривизны κ (м–1)

2. Изгиб вращающегося длинного цилиндра

Изгиб вращающегося длинного цилиндра обусловлен одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента Mкр внешних сил (рис. 3).

Наложение дополнительных факторов (продольное перемещение, вращение и проч.) при изгибе длинномерных изделий приводит к формированию сложного напряженного и деформированного состояния [7–10]. Моделирование таких процессов требует применения эйлероволагранжева подхода, прослеживания истории деформирования материальных частиц, в том числе процессов нагружения, упругой разгрузки и, возможно, упругопластического нагружения противоположного зна-

29

М.Г. Бояршинов

ка, в том числе с появлением вторичных пластических деформаций и изменением предела текучести материала (эффект Баушингера), учета прочих особенностей знакопеременного деформирования.

Очевидно, что при упругом изгибе наложение вращения не приводит к изменению упругой линии длинномерного изделия, поскольку для его вращения практически не требуются дополнительные энергетические затраты (кроме возможных затрат на трение): при повороте круглого сечения энергия, затрачиваемая на нагружение частиц материала, равна упругой энергии разгрузки симметрично расположенных частиц того же сечения.

Рис. 3. Расчетная схема изгиба и вращения длинного полого цилиндра

При наличии зоны пластических деформаций в области высоких значений кривизны продольной оси цилиндра (например, область защемления левого конца длинного цилиндра на рис. 2) ситуация меняется существенно, поскольку в результате пластического нагружения формируется остаточная кривизна цилиндра. Вращение цилиндра вокруг продольной оси ξ (см. рис. 3) требует значительных затрат на преодоление остаточной кривизны, и энергетически более выгодным становится вращение цилиндра с искривленной осью вокруг оси x.

Оценка напряженно-деформированного состояния длинного цилиндра, изогнутого под действием собственного веса и поворачивающегося вокруг оси x, может быть выполнена приближенно с привлечением уравнений механики материалов. Для учета динамической нагрузки, возникающей при вращении объекта, может быть применен

30