2330
.pdfq CU0 0SU0 const . d1
Работа внешних сил приведет к увеличению энергии конденсатора, которую в этом случае удобно рассчитать по формуле
|
q |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
W |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
C |
|||||
C |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
С учетом выражений для заряда и емкости воздушного конденсатора, получим окончательно
A W 0SU2 02 (d2 d1). 2d1
Рассмотрим второй случай.
Конденсатор соединен с источником, поэтому при любых манипуляциях разность потенциалов на его зажимах остается постоянной и равной U0 , при этом заряд может
изменяться. При раздвижении пластин внешняя сила равна и противоположна силе электростатического взаимодействия и ее работа определяется интегралом
2
A Fxdx.
1
Поскольку поле, создаваемое каждой из пластин, на небольших расстояниях однородно, то
|
q1 |
F E1q2 , |
|
где E |
- напряженность поля, создаваемого одной из |
||
|
|||
1 |
2S 0 |
пластин; q1 q2 q- абсолютное значение заряда пластин. Напряженность поля, созданного одной пластиной, вдвое меньше напряженности между обкладками конденсатора и равна
E1 U0 /2x.
171
Подставляя найденные соотношения в выражение для силы, получаем
F 0SU02 . 2x2
При раздвижении обкладок x изменяется в пределах от d1 до d2 , тогда
|
|
0SU |
2 |
d2 |
dx |
|
|
0SU |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
||
A |
0 |
|
|
0 |
|
|
4,2мкДж . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
x2 |
|
2 |
|
d |
d |
|
|||||||
|
|
|
|
d1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Аналогичный результат можно получить при энергетическом подходе.
В соответствии с уравнением энергетического баланса
W A Aист ,
где W - изменение энергии конденсатора; Aист - работа,
совершаемая источником, A - работа внешних сил.
Так как U0 const изменение заряда конденсатора
q С2 С1 U0 ,
отсюда
Aист qU0 U02 С2 С1 .
Изменение энергии конденсатора найдем по формуле
W U02 С2 С1 /2.
где С1 и С2 - соответственно конечная и начальная емкости конденсатора.
Из уравнения энергетического баланса с учетом того,
что С |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
, окончательно получим |
||||||||
2 |
С |
|
S |
|
|
||||||||||||
|
1 |
0 |
d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0SU02 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 |
|
|
172
3.3.4. Задачи для самостоятельного решения |
|
||||
|
|
Первый уровень сложности |
|
||
1. |
Две |
концентрические |
металлические |
сферы |
|
радиусами |
R1 10см и |
R2 10,2см |
образуют сферический |
конденсатор. Промежуток между сферами заполнен парафином ( 2). Внутренней сфере сообщен заряд q 5 мкКл. Определить разность потенциалов между сферами. [4,4 кВ]
2. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U = 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см2, расстояние между пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином (ε = 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу. [7,08 мН]
3. Две пластины площадью 100см2 погружены в масло, диэлектрическая проницаемость которого =2, и подключены к полюсам батареи с ЭДС, равной 300В. Какую работу необходимо совершить, чтобы после отключения батареи
расстояние между пластинами уменьшилось |
от 5 |
до 1см? |
[ 0,127мкДж] |
C1 C2 |
2мкФ, |
4. Конденсаторы электроемкостями |
C3 3мкФ, C4 1мкФ соединены так, как указано на рис.78.
Разность потенциалов на обкладках четвертого конденсатора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U4 100В. Найти |
заряды и |
|||
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
разности |
потенциалов |
на |
||||
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обкладках |
|
|
каждого |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора, а |
также |
общий |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заряд и |
разность |
потенциалов |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
батареи |
конденсаторов. |
[200 |
||
|
|
|
|
|
C4 |
|
|
|
U4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мкКл; |
120 |
мкКл; |
12- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Рис.78 |
|
|
|
|
|
|
|
мкКл; 100мкКл; 110В; 60В; 40В; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220мкКл; 210В] |
|
|
|
|
|
|
5. Определить |
суммарную энергию |
взаимодействия |
точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со
173
стороной a, для случаев: а) q1=q2=q; q3=q4=-q; |
б) q1=q3=q; |
||||
q2=q4=q. Ха) W |
|
q2 /4 0a; б) W |
|
4 q2 |
/4 0a] |
2 |
2 |
6. Точечный заряд q = 3,0 мкКл находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью= 3. Внутренний радиус слоя a=350 мм, внешний b=600 мм. Найти электрическую энергию в данном слое.
[W q2 /8 0 1/a 1/b 27мкДж ] |
|
|
|||||
|
|
Второй уровень сложности |
|
||||
|
1. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы |
||||||
обкладок которого равны a и b |
(b>a), если пространство |
||||||
между обкладками заполнено: а) однородным диэлектриком с |
|||||||
проницаемостью ; б) диэлектриком, проницаемость которого |
|||||||
зависит от расстояния r |
до центра конденсатора как /r, |
||||||
где const. [а) |
С 4 0 ab/ b a ; б) |
С 4 0 /ln b/a ] |
|||||
|
2. Определить электроемкость |
|
A |
||||
схемы, |
представленной |
на рис.79, |
|
||||
где |
C 1пФ, |
C |
2 |
C 2пФ, |
C1 |
C2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
C4 4пФ, C5 3пФ. |
|
|
|
|
|
C5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Указание. Доказать, что если |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
C |
A B |
|
C3 |
|
|
C |
|
|||
|
1 |
|
3 |
, то |
и, |
|
B |
4 |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
C2 |
C4 |
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, |
емкость C5 |
при |
Рис.79 |
|
||||||||
|
|
|
|
определении общей емкости схемы значения не имеет.
3.Энергия заряженного плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, равна W=2∙10-5Дж. После отключения конденсатора от источника напряжения
диэлектрик из конденсатора вынули, совершив при этом работу А=7.10-5Дж. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика. [4,5].
4.Площадь каждой обкладки воздушного конденсатора 314 см2, расстояние между ними 2 мм. Напряженность поля между обкладками 60 кВ/м. Какую работу нужно совершить,
174
чтобы вдвинуть между обкладками конденсатора стеклянную пластинку, если она полностью заполняет конденсатор и конденсатор после зарядки отключен от источника напряжения? [ -086 мкДж].
5. Расстояние между обкладками плоского конденсатора равно 8 мм, площадь обкладок 62,8 см2. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть между обкладками конденсатора стеклянную пластинку той же площади и толщиной 6 мм, если конденсатор присоединен к источнику напряжения 600 В? [2,25 мкДж]
6.Уединенная металлическая сфера электроемкостью
С= 4 пФ заряжена до потенциала φ = 1 кВ. Определите энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы. [1,5 мкДж]
7. |
Сплошной |
эбонитовый |
шар (ε = |
3) радиусом |
R = 5 |
см заряжен |
равномерно |
с объемной |
плотностью |
ρ = 10 нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключенную внутри шара. [0,164 пДж]
8. |
|
Сферическую |
оболочку |
радиусом |
R1 , |
||||
равномерно заряженную зарядом |
q, расширили до радиуса |
||||||||
R2 . Найти |
работу, |
совершенную |
электрическими |
силами. |
|||||
[ A q2 /8 |
0 |
1/ R 1/ R |
2 |
] |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
175
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.1. Некоторые сведения о векторах
Векторной величиной, или
вектором, , направленный отрезок АВ при заданном масштабе, характеризует силу в 4 Н, направление которой совпадает с направлением АВ, указанным стрелкой (рис.П1).
Вектор, началом которого служит точка А, а концом точка В, обозначается
AB . Вектор обозначается также одной буквой. Эту букву печатают жирным шрифтом (а), или ставят над буквой стрелку (a) (рис.П2).
Длина вектора называется также
Рис.П1
Рис.П2
его модулем.
Обозначается: AB или АВ, a или а. Модуль есть скалярная
величина. Если начало и конец вектора совпадают, то отрезок АВ обращается в точку и теряет направление. Этот особый вектор называется нуль-вектором.
Два ненулевых вектора и называются
равными, если они равнонаправлены и имеют
один и тот же модульa=b (рис.П3). Два вектора,
имеющие равные модули и противоположно направленные,
называются противоположнымиa= c (рис.П3).
176
Рис.П4 |
|
|
|
Суммой двух вектров a |
и b называется третий вектор |
||
c =a+b , получаемый следующим |
построением |
(«правило |
|
треугольника»): совмещаем |
начало |
вектора b |
с концом |
вектора a. Вектор, проведенный из начала вектора a в конец
вектора |
b и |
есть искомый вектор |
c (рис.П4). |
Сумма |
|
противоположных векторов равна нуль-вектору. |
|
||||
«Правило |
параллелограмма». |
Суммарный |
вектор |
||
c =a+b |
можно получить следующим построением: совместив |
||||
начала векторов a и b , |
|
|
|||
достраиваем |
|
|
|
|
|
параллелограмм. |
Вектор, |
|
|
||
проведенный |
из |
общего |
|
|
|
начала |
вдоль |
диагонали и |
|
|
|
будет искомым вектором c |
Рис.П5 |
|
(рис.П5).
Суммой нескольких векторов a1,a2,a3...an , называется вектор, получающийся после последовательных сложений.
Вычесть вектор b (вычитаемое) из вектора c (уменьшаемое) значит найти построением новый вектор a (разность), который в сумме с
вектором b дает вектор c . Т.е. вычитание векторов есть действие обратное сложению.
Геометрической проек-цией вектора на
Рис.П6
177
координатную ось называется вектор, полученный с помощью перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на соответствующую координатную ось (рис.П6). В трехмерном пространстве это будут три проекции rx,ry ,rz , причем их
векторная сумма равна самому вектору r rx ry rz .
Через базисные вектора i, j,k , задающих направление
координатных осей:
r rxi ry j rzk ,
где rx,ry ,rz - алгебраические проекции вектора на
координатные оси, или координаты вектора (можно обозначать также через x, y, z).
Координаты вектора можно определить через углы
, , между |
направлением вектора и соответствующими |
осями координат |
|
rx rcos , |
ry rcos , |
rz rcos .
Кроме того всякий вектор можно представить в виде
a aea ,
где а - модуль вектораa, ea -
единичный вектор или орт вектора a. Орты можно сопоставлять любым направлениям в пространстве.
Например, n - орт нормали к кривой или поверхности, - орт касательной к кривой и т.д.
Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца (рис.П7)
r r2 r1 . 178
Если координаты векторов r2 и r1 , соответственно
x2, y2,z2 и x1,y1,z1 , то координаты вектора r находятся как разница между соответствующими координатами конца и
начала
r (x2 x1)i (y2 y1) j (z2 z1)k .
Длина вектора выражается через его координаты формулой
r (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 .
1.2. Скалярное и векторное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a и b называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на
косинус угла между ними
a,b abcos .
Скалярное произведение обращается в нуль, если один из сомножителей есть нуль-вектор, или если векторы a и
b перпендикулярны.
Скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля.
a,a a2 a2 .
Скалярного куба (и тем более высших степеней) в векторной алгебре нет.
Скалярное произведение коммутативно, т.е. не зависит
от порядка сомножителей
a,b b,a ,
и дистрибутивно, т.е. произведение вектора a на сумму нескольких векторов равно сумме произведений вектора a на каждый из складываемых векторов, взятый в отдельности.
В декартовой системе координат выражение скалярного
произведения через координаты сомножителей имеет вид
a,b axbx ayby azbz .
179
Векторным произведением вектора a на не
коллинеарный (не параллельный) ему вектор b называется третий вектор c , который строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b , т.е. он равен c absin ;
2)его направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма;
3)при этом направление вектора c выбирается так, чтобы
векторы a,b,c составляли правовинтовую систему, т.е. его направление связано с направлением вращения от первого сомножителя ко второму
правилом винта (рис.П8) |
Рис.П8 |
Обозначение векторного произведения: |
|
c a,b |
или c a b . |
Векторное произведение дистрибутивно, но не обладает свойством коммутативности. Перестановка сомножителей вызывает изменение направления результирующего вектора на
противоположное
a,b b,a .
В декартовой системе векторное произведение можно представить в виде определителя
ij k
a,b x1 y1 z1 . x2 y2 z2
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторовa,b,c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение
180