Скачиваний:
4
Добавлен:
25.12.2022
Размер:
286.25 Кб
Скачать

6.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ САУ

6.1.Математические модели «вход-выход» многомерных САУ

Многомерными системами или системами многосвязного управления называют автоматические системы управления, в которых имеется несколько (больше одной) управляемых величин. Соответственно объекты, имеющие несколько управляемых величин, называют многомерными объектами или объектами многосвязного управления.

Примерами многомерных объектов могут быть: синхронный генератор, у которого регулируются напряжение и частота выходного сигнала; самолет, у которого управляемыми величинами являются курс, углы тангажа и крена, высота, скорость, боковое отклонение.

Обычно управляемые величины называют выходами или выходными величинами. Поэтому многомерные системы еще

определяют

как

автоматические системы с

многомерным

(векторным) выходом.

 

 

 

 

 

 

Многомерные

системы

и

объекты

называют

линейными

и стационарными,

если

они

описываются

системой

линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Математическая модель

«вход-выход»

это

описание связи

входных и выходных сигналов динамической системы. Необходимость в таком описании появляется при рассмотрении поведения как отдельных блоков и, в частности, объекта управления, так и всей системы управления в целом.

6.1.1. Уравнения многомерных звеньев и систем управления.

Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления (рис. 6.1), который характеризуется наличием нескольких входов различных управляющих, возмущающих воздействий и нескольких выходов, определяемых регулируемыми величинами.

118

Рис. 6.1

Пусть y1, , ym обозначают выходные величины, u1, ,uk – сигналы управления или задающие воздействия и f1, , f l – возмущающие воздействия. Тогда уравнения многомерных стационарных линейных систем и объектов в общем случае можно записать в виде следующей системы:

m

k

l

 

 

aij(p)yj(t) bij(p)uj(t) cij(p) fj(t),

i 1, , m.

(6.1)

j 1

j 1

j 1

 

 

Здесь aij(p), bij(p), cij(p) обозначают стационарные линейные

операторы, т.

е. полиномы от оператора дифференцирования

с постоянными

коэффициентами.

Переходя в

обеих частях

(6.1)

к изображениям Лапласа, при нулевых начальных условиях получим систему алгебраических уравнений

m

k

l

 

aij(p)Yj(p) bij(p)U j(p) cij(p)Fj(p),

i 1, , m,

j 1

j 1

j 1

 

(6.2)

где Yj(p) L[yj(t)],U j(p) L[uj(t)], Fj(p) L[fj(t)].

Для многомерных систем удобна матричная форма записи уравнений. Введем в рассмотрение матрицы

 

y1(t)

y(t)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

y

m

(t)

 

 

 

 

 

u1(t)

u(t)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

u

k

(t)

 

 

 

 

 

 

a11(p)

A(p)

 

 

 

 

 

 

(p)

 

a

m1

 

 

 

 

b11(p)

B(p)

 

 

 

 

 

(p)

 

b

 

 

m1

 

 

a1m(p)

,

amm(p)

b1k (p)

,

bmk (p)

119

 

f1(t)

f(t)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

f

l

(t)

 

 

 

 

 

c11(p)

c1l(p)

C(p)

 

 

 

 

.

 

 

 

(p)

c

 

 

 

 

c

m1

ml

(p)

 

 

 

 

 

 

С их помощью (6.1) в матричной форме будет:

A(p)y(t) B(p)u(t) C(p)f(t).

(6.3)

Точно так же можно записать (6.2) в изображениях

Лапласа

в матричной форме

 

A(p)Y(p)

Здесь

 

Y1(p)

Y(p)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

(p)

 

m

 

 

 

 

U1(p)

U(p)

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

U

k

(p)

 

 

 

 

 

F1(p)

F(p)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

F (p)

 

 

l

 

 

B(p)U(p) C(p)F(p).

 

 

 

(6.4)

 

a11(p)

a1m(p)

A(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(p)

a

 

 

 

 

 

 

a

m1

mm

(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

b11(p)

b1k (p)

B(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(p)

b

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

(p)

 

 

 

m1

 

 

mk

 

 

 

c11(p)

c1l(p)

C(s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(p)

c

 

 

 

 

 

 

 

c

m1

ml

(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

В (6.3) после умножения и сложения матриц в правой и левой частях получатся матрицы – столбцы. Приравняв их соответственные элементы, получим систему уравнений (6.1). Аналогично, выполнив указанные операции над матрицами и приравняв соответственные элементы матриц левой и правой частях матричного уравнения (6.4), получим систему (6.2).

Запись дифференциальных уравнений обьекта управления или системы управления в виде (6.3) или (6.4) называется уравнениями «вход-выход». Эти уравнения позволяют полностью описать статические и динамические свойства обьекта управления или системы управления.

Пример 6.1. Пусть исходная система дифференциальных уравнений имеет вид

120

(a0 p a1)y1 a2y2 b0 pu1 b1u2,

a3y1 (a4 p a5)y2 b2u2 .

В матричной форме, как нетрудно проверить, эта система записывается в виде

A(p)y(t) B(p)u(t),

где

a0 p a1

 

 

a2

 

b0 p

b1

A(p)

a

a

4

p a

 

; B(p)

0

b

.

 

3

 

 

5

 

 

2

 

6.1.2. Передаточные матрицы. Для описания многомерных систем и объектов, как и в случае одномерных систем, можно использовать передаточные функции. Передаточной функцией

Wiju(p) (в изображениях Лапласа) по j-му параметру управления и i-му выходу называют отношение изображения Лапласа выходной

величины yi к изображению входной величины uj

при нулевых

начальных условиях. По определению

 

Wu

(p)

Yi(p)

.

(6.5)

 

ij

U j(p)

 

 

 

Эту передаточную функцию можно вычислить следующим образом. В системе (6.2) приравниваем нулю изображения всех возмущающих воздействий и параметров управления, кроме U j(p).

Из полученной системы алгебраических уравнений находим решение Yi(p), а затем, разделив его на U j(p), получим искомую

передаточную функцию.

Аналогично определяют передаточную функцию Wijf (p) по j-му возмущающему воздействию и i-му выходу

W f

(p)

Yi(p)

.

(6.6)

 

ij

 

Fj(p)

 

 

 

 

В случае многомерных систем (объектов) для ее полного описания необходимо иметь m k передаточных функций по управлению и m l передаточных функций по возмущению. Эти передаточные функции записывают в виде матриц:

121

 

Wu

(p)

Wu

(p)

 

 

Wu

 

11

 

 

 

 

 

1k

 

 

 

 

 

(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(6.7)

 

 

 

u

 

(p)

 

W

 

u

 

(p)

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

(p)

 

W

f

 

(p)

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

W f

 

11

 

 

 

 

 

1l

 

 

 

 

(p)

 

 

 

 

 

 

.

(6.8)

 

 

 

f

 

 

(p)

 

W

f

 

(p)

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

ml

 

 

 

 

Матрицы (6.7) и (6.8) называют матрицами передаточных функций или передаточными матрицами: матрица (6.7) – по управлению, а матрица (6.8) – по возмущению.

Передаточные матрицы дают полное описание многомерных систем (объектов) при нулевых начальных условиях. С их помощью (6.2) или (6.4) многомерной системы в изображениях Лапласа можно записать в следующем виде:

Y(p) Wu(p)U(p) W f (p)F(p).

(6.9)

Для получения передаточных матриц умножим слева обе части матричного уравнения

A(p)Y(p) B(p)U(p) C(p)F(p).

на обратную матрицу A 1(p). Тогда получим

Y(p) A 1(p)B(p)U(p) A 1(p)C(p)F(p).

Приравнивая правую часть полученного уравнения к правой части равносильного ему уравнения (6.9), получим следующие соотношения

 

 

Wu(p) A 1(p)B(p),

 

 

 

 

W f (p) A 1(p)C(p).

 

(6.10)

Как известно из курса высшей алгебры, обратная матрица

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (p)

A

(p) т

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

11

 

1m

 

 

 

 

 

 

A

1

(p)

 

 

A(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(p)

 

 

 

 

A(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

(p)

A

 

 

(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

mm

 

 

 

 

Здесь

 

присоединенная

матрица;

Aij(p)

алгебраическое

A(p)

 

дополнение элемента aij(p); знак «т» обозначает операцию транспонирования матрицы.

122

Пример 6.2. Пусть система (объект) описывается уравнениями

 

y1 y1 y2 u1 f1,

y1 y1 y2 u2 f2.

 

Перейдем к изображениям Лапласа (при нулевых начальных

условиях)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p2 p)Y (p) Y (p) U

1

(p) F (p);

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(p 1)Y1(p) pY2(p) U2(p) F(p)

 

В матричной форме эта система записывается так:

 

 

A(p)Y(p) B(p)U(p) C(p)F(p),

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

p

 

 

B(p)

1

 

 

0

 

1

0

A(p) p

 

1 ;

 

 

 

 

 

;

C(p)

.

 

p 1

 

p

 

 

 

0

 

 

1

 

0

1

Найдем обратную матрицу A 1(p):

 

 

 

 

 

 

 

|A(p)| (p 1)(p2 1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A p,

 

A

(p 1),

A

 

 

1,

A

p2 p,

11

 

12

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

22

 

A 1(p)

 

1

 

p

 

(p 1) т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(p 1)(p2

 

 

 

 

p

p

 

 

 

 

1) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p 1)(p2 1) (p 1)

 

p

 

 

 

Так как B(p)

и C(p) являются единичными матрицами, то

Wu(p) Wf (p) A 1(p).

6.1.3. Весовые или импульсные переходные матрицы. Пусть управляющий сигнал uj δ(t), а остальные управляющие сигналы и

возмущающие воздействия равны нулю. При этом решение (6.7) многомерной системы при нулевых начальных условиях обозначим

w1uj(t), w2uj(t), , wmju (t). Эти функции называют весовыми или импульсными переходными функциями. Функция wij(t) описывает

реакцию системы на i-м выходе при действии в точке приложения j-го параметра управления единичного импульса и называется импульсной переходной или весовой функцией по j-му параметру управления и i-му выходу.

123

Матрицу

 

wu

(t)

wu

(t)

 

 

wu

 

11

 

 

 

1k

 

 

 

(t)

 

 

 

 

 

 

,

(6.11)

 

wu

 

(t)

wu

(t)

 

 

 

 

m1

 

 

mk

 

 

 

составленную из весовых функций по управлению, называют импульсной переходной или весовой матрицей по управлению. Аналогично определяют импульсную переходную или весовую матрицу по возмущению

 

 

wf

(t)

wf

(t)

 

 

w f

 

11

 

 

 

 

1l

 

 

 

(t)

 

 

 

 

 

 

.

(6.12)

 

 

wf

 

(t)

wf

(t)

 

 

 

 

m1

 

 

 

ml

 

 

Здесь wf

(t), wf

(t), , wf

 

 

(t)

решение (6.1)

многомерной

1j

2 j

 

mj

 

 

 

 

 

системы, когда

fj δ(t), а все остальные возмущающие воздействия

и параметры управления равны нулю.

Весовые матрицы, как и передаточные матрицы, дают полное описание многомерной системы (объекта) при нулевых начальных условиях.

Соотношение между весовыми и передаточными матрицами:

Wu(p) L{wu(t)} wu(t)e stdt,

0

W f (p) L{w f (t)} wf (t)e stdt.

0

Связь между выходными и входными величинами с помощью весовых матриц записывается так же, как и в одномерном случае:

y(t) wu (t τ)u(τ)dτ w f (t τ)f(τ)dτ.

0 0

6.1.4. Уравнения замкнутых многомерных систем управления. На рис. 6.2 изображена структурная схема замкнутой многомерной системы регулирования. На схеме все указанные символы соответствуют матрицам: g(t) – задающих воздействий, y(t) – регулируемых величин, x(t) – ошибок для каждой регулируе-

124

мой величины, u(t) – управляющих воздействий, f(t) – возмущений, Wоу(p) – передаточных функций объекта управления, Wf (p) –

передаточных функций для возмущений. Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций регулирующего устройства Wр(p), которая определяет используемые законы

регулирования. Она дает связь между изображениями управляющих величин и ошибок:

U(p) Wр(p)X(p).

Уравнения многомерной системы (рис. 6.2) могут быть получены действиями, аналогичными одномерному случаю.

 

 

Рис. 6.2

 

 

 

 

В общем случае замкнутая многомерная

система, содержащая

произвольное число m выходных величин, k

входных воздействий

и l возмущений, описывается следующим уравнением

 

Y(p) Фg (p)G(p) Фf (p)F(p),

(6.13)

где

Фg (p)

Фg

 

 

 

 

 

 

(p)

 

Фg

 

11

 

 

1k

 

 

 

(p)

 

 

 

 

 

,

(6.14)

 

Фg

(p)

Фg

 

(p)

 

 

 

m1

 

 

mk

 

 

 

 

Фf

(p)

Фf

 

(p)

 

Фf

 

11

 

 

1l

 

 

 

(p)

 

 

 

 

.

(6.15)

 

Фf

 

(p)

Фf

 

(p)

 

 

 

m1

 

ml

 

 

 

Матрицы (6.14) и (6.15) называют матрицами передаточных

функций или передаточными матрицами

 

замкнутой

системы

125

управления: матрица (6.14) – по управлению, а матрица (6.15) – по возмущению.

Передаточная матрица замкнутой системы Фi(p) определяется по формулам, аналогичным формулам, выражающим передаточную функцию замкнутой одномерной системы по структурной схеме, и передаточным функциям звеньев, с той только разницей, что вместо

передаточных функций в

данном

случае

фигурируют матрицы.

В частности, аналогично формуле для одномерной системы

Фg (p) [E W(p)] 1Wyg (p);

 

(6.16)

Фf (p) [E W(p)] 1Wy f (p),

 

(6.17)

где E – единичная матрица;

 

W11(p)

W1m(p)

 

 

W(p) W (p)W (p)

 

 

 

 

 

оу

р

 

 

(p)

W

 

 

 

W

(p)

 

 

 

m1

 

 

mm

 

– передаточная матрица разомкнутой системы;

Wyg (p) Wоу(p)Wр(p), Wyf (p) Wf (p)

передаточные матрицы прямых каналов.

6.2.Уравнения состояния

6.2.1.Запись дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. При рассмотрении многих вопросов удобно, если уравнения одномерных и многомерных систем записаны в виде

нормальной системы. Нормальной системой или системой в нормальной форме Коши называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. В частности, нормальной системой линейных дифференциальных уравнений называют систему

n

k

xi aijxj bijuj;

j 1

j 1

m

(6.18)

y cijxj,

i 1, , n.

j 1

 

126

В матричной форме она записывается как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Ax Bu;

 

 

 

 

(6.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

y Cx,

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

x1

 

a11

a1n

u1

 

 

 

x

 

,

x

 

,

A

 

 

 

 

,

u

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

u

 

 

 

x

 

n1

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

nn

 

 

k

 

b11

b1k

y1

c11

c1n

B

 

 

 

 

 

,

y

 

,

C

 

 

 

 

.

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

b

 

 

y

 

 

c

m1

 

 

 

 

 

n1

 

nk

 

 

m

 

 

mn

Матрицы-столбцы x, u и y также называют векторами. Вектор

x называют

фазовым

 

вектором

или

вектором

состояния, а его

координаты x1, , xn – фазовыми координатами. Вектор u называют вектором управления или просто управлением, а его координаты u1, ,uk – управляющими воздействиями. Вектор y называют вектором выхода, а его координаты y1, , ym– выходными координатами.

Под состоянием объекта (или динамической системы) понимается совокупность величин, полностью определяющих его динамику в данный момент времени. Обычно под состоянием объекта понимается совокупность значений выходных координат и их производных.

Будем определять состояние объекта (динамической системы) вектором x с компонентами x1, x2, , xn. Множество этих векторов составляет n мерное пространство состояний (фазовое пространство), которое может рассматриваться как абстрактное n-мерное пространство. Совокупность n линейно независимых векторов в этом пространстве образует базис. Каждая компонента xi является проекцией вектора состояния x на соответствующий вектор базиса.

Уравнения движения объекта можно привести к такому виду, в котором каждое из уравнений имеет первый порядок:

x Ax Bu;

y Cx,

где вход u и выход y представляют собой соответственно k-мерные

127

Соседние файлы в папке Лекции