Типовик / Типовик, 2 модуль

e) lim			ctg2x
			sinx cosx
x
4

arccos 0,52x 6 arcsin 0,5 x

g)* lim	5 2x 5 1
x 2

6n2 7

2

7. a)

lim

5 8 ... 3n 2 n

n

x 3

x 2

c)

lim

2x 4

x

2cosx

e) lim

2

arcsin x 4

x

4

g)*

lim

1

5x 2

x

5x 2

arctg

5x 2

4

8.a) lim 34n6 3n5 1 34n6 2

n

7n 2

c)

lim

5x 3 1 3x

x

x 11

e) lim

sin 0,2 3x

1 2cosx

x

3

3x 2

1

1 x

2

g)*lim

arcsin

0,5

tg

x 1

2x 1

1

1

1 n 1

9. a)

lim

...

2

n

n

2 3

6

3

2x 1 x 1 c) lim

x 3x 17

	e) lim	25 5 x 2 5
		ln 2 cosx
	x

23

xsin2x 2tg

x

f) lim

2

x 0 3 1 x 4 1 x

1

2

1

3ctg

x

h)* lim

cos

sin

x

x

x

b)

lim

x4 4x3 7x2 12x 12

5x3 16x2 4x 16

x 2

x

5

sin 3 x

d)

lim

2

x 3

3

1 4

f)

lim

1 x2

3ln 1 2x2

x 0

ln 1 5

2 10

h)* lim

x4

3x3

x

ln 1 x 10 5x

b)

lim

x3 x2

16x 20

x 2 4 2x4 8x3 7x2 4x

x

arctg x 5

d)

lim

x 5 2

x 5

5

e

1

x 2

f)

lim

x 2

x 2

5 22 5x (x2 2)

h)* lim x 1 101 101x 201

x 2

3x3 12x2 12x

b)

lim

4x4 4x3 5x2 4x 1

4x3 4x2 7x 2

x

1

2

4x

1 tgx

d) lim

1 tgx

x

4

3 1

x

4

1

x

f)

lim

3

4

tg( (2 x))

x 0

arctg

x2 13

arctg

x 7

g)* lim

3

3

3x2 11x 4

x 4

1 7 ... 6n 5

10.

a)

lim

5n2

n

3n 2

c)

lim

7x 19 x 5

2x 1

x

e) lim

e2 x 1 e3 x 1

sin x

x 1

arcsin

2 x

2

g)* lim

3

sin x 1

x 1

3

3

3

11.

a)

lim

...

n

4 10

10 16

6n 2 6n

4

c)

lim

2x 5

5x 1

9x 12

x

x

tg4x x

ln

e)

lim

1 cos5x

x

g)* lim

ln x 4

3

1

x -3

arcsin

arccos

10 2x

x 7

12.

a)

lim

0,5 n 2 0,3 n

n 0,5 n 3 2 0,3 n 1

c)

lim

x 5

2x

x

3x 14

e)

lim

ln x 4

x 3 7x2 8 7

2 7x

g)* lim

3 8x3 1 arctg

x

2 7x

4

24

cos x 2x cos x 2 x

h)*

lim

ln 1 x

3

x 0

b)

lim

x3 6x2 12x 8

x 2 x3 x2 16x 20

2x

1

ln 2 x

d) lim

1

x 1 x

7

(1 x2)

1 7x

f)

lim

2x arctg x

x 0

x 7ctg 2x

h)* lim tg

x

2

2

b)

lim

x3 9x2 27x 27

x 3 2x3 12x2 24x 18

x

3x 6

sin2 2 x

d)

lim 2

x 2

2

3

3

x 27

27 x

f) lim

62x 65x

x 0

2 x

sin

x 2

sin

h)* lim

5

4

x 2

ln 5 30 x 0,5x

b)

lim

x3 6x2 12x 8

x 2 x4 4x3 7x2 12x 12

4x (2tgx 2) 1

d)lim

x

4
4
		1 x2		(1 x)
f) lim
x 0 arcsin2(					x 1 1)

cos2 ln x 3 h)* lim

1

x 2 cosx

5 9 ... 4n 1

2n 1

13.

a)

lim

3n 1

3

n

9x 13 4x 1

c) lim

5x 3

x

e)

lim

tgx tg1

x 1

sin x

2

1

x2 9

g)*

lim

sin

arcsin

x 3

x2 5

2

3

14.

a)

lim

27n3 2n2

1 3n

n

c)

lim

x 7

3x 7

5x 1

x

e)

lim

2cosx 1

tgx 1

x

4

1

1

g)*

lim

x 3

1

x 3 arctg 9 x2 1 arctg

9 x2

b)	lim					x4 6x3 8x2 6x 9
							2x3 13x2 24x 9
	x 3
		x tg						x
d)	lim							18
	x 9			9
			7
f)	lim				1 2x x2 (1 x2)
							e3x e0,25x2
	x 0

h)* lim

x7 37 7 36 x 3

x 3 2

x 3

b)

lim

x3 3x2 9x 27

4 12x3 19x2 6x 9

x 3 2x

x

tg

x

8

d)

lim

2

x 4

4

3

1

f)

lim

1 x3

x 0 ln 1 x 1 x x2

x

3

cosx

h)* lim

tg

x

8

4

2

		1		1		1	n 1
15. a) lim					...			n
n	12			48		3 4

2x 3 6x 1 c) lim

x x 11

e)

lim

3 1 0,3x 1

x 0

cos x

cos x

4

4

arcsin

x

6

g)*

lim

4

x 4

3 2x 7 1

16. a) lim		2 7 ... 5n 3
				3 8n6 n 3
n 3			n 1
c) lim	x 13					1 2x
x 4x 1

b) lim	x3		9x2	27x 27
		4 3x3 2x2 6x
x 3 x

2

2x sinx 1

d)lim

x

2

f)	lim			10 3x 2
				e0,5x e
	x 2
h)*	lim		5x 1 20 20x 1 5
	x 0				5 1 20x2 1
b)	lim			x4 4x3 6x2 4x 1
	x 1 x5 2x4 x3 x2 2x 1
d)	lim				2		(ln (1 x)) 1
					2
	x 0		x

25

sin x

sin x

sin4x

4

e) lim

4

lncos 0,5x

x 0

x2 3

2 x

arccos

arcsin

4

2

g)*

lim

x3 1

x 1

5

5

5

17.

a)

lim

...

n

9 16

2 9

7n 5 7n 2

c) lim

6x 5 5x 2

x x 10

e) lim

2sin2 x sinx 1

ln 1 cos3x

x

6

3 2x

1 x

x4

g)* lim

1 arctg

4

x

3 2x

18.

a)

lim

10 5n 1 4n 2

n 13 4n 1 6 5n 1

c)

lim

7x 3 4x 3

x 4

x

e)

lim

cos2 x cos2 2x

3x 1 3

x 0

arccos 0,5

0,25

g)* lim

x2 2

2x 2 x 3

x 2

2n2 5

5

19.

a)

lim

n

n

1 5 ... 4n 3

c)

lim

x 1

1 3x

x 14x 5

e)

lim

1

1

x

cos2x

ctg2x

4

26

4 x2 5

1

f)

lim

5 2x

ex2 4

ex 2 sin 2 x

x 2

1 1

2

5

3sin

x

h)* lim

cos

sin

x

x

x

b)

lim

x4 8x3 19x2 24x 48

x3 7x2 104x 240

x 4

d)

lim

2

4x 1 sin2x 1

x

4

3 4

f)

lim

81 5x

x 0

tg

x

tg x

4

4

ln 1 3

2 7

x5

h)* lim

x

x ln 1 4 7x 2 11 x

b)

lim

x3 7x2 8x 16

x 4 x4 8x3 20x2 32x 64

2

1 1

d)

x 2

1 3x

lim

4

x 0

f)

x2 9 arctg x 3

lim

ex e3 2

x 3

h)* lim

x 3 99

99x 197

x3 2x2 x 2

x 2

b)

lim

x4 2x3 4x2 6x 3

x3 3x2 9x 5

x 1

5

1 2

d)

lim

1 sin

7x

1 9x x2

x 0

x ln 1 4x2

f)

lim

x 0 1 2x3 8 1

g)*

lim

sin x 1

x

2

x 1arctg

arctg

3x 6

3

3n2 1

2

3n2 1

2

20. a)

lim 3 n2

3

3

n

6x 11 2 3x

c)

lim

x

x 6

1

e)

lim

cos2x

x sin2 x tg2 x

1

x

g)* lim x2 9

arcsin

3

x 1

x 3

21.

a)

lim

5

5

...

5

2

n

2

n

2

c)

lim

3 4x 6x 1

2 x

x

e)

lim

cos2x cos3 2x

lncos4x

x

2

g)* lim

x2 1

x 1

arcsin

1

arccos

3x 1

2

x2 1

22.

a)

lim

5 n 3n2

n 2 6 ... 4n 2

c)

lim

2x 1 1 x

x 3

x

e)

lim

1 sin3 x

3cos2 x

x

2

1

x2

6 x

g)*

lim

1

arctg

x2

6 x

x

4

4

27

h)* lim

cos x2 5x cos x2 5 x

x 0

3 1 2x5 1

b)

lim

x4 2x3 3x2 4x 2

x 1 x5 2x4 x3 x2 2x 1

d)

lim

2x tgx

x

2

f)

lim

9 0,2x2

3

x 0 e e7x 1 ln 1 0,2x

1 sinx

3x 1 cos2x

1

h)* lim

1 tgx

x 0

b)

lim

x3 5x2 x 3

x 1 x4 2x3 4x2 6x 3

2x

tgx

d)

lim

2

cosx

x

2

5

1

f)

lim

cosx

32x 1 arctg 0,3x

x 0

ln

x

h)* lim

4x 1

x 2

x

x 2 sin

sin

3

2

b)

lim

x3 x2

16x 20

x 2 x3 9x2 24x 20

x 0

2

1

xarctgx

d)

lim

1 sin

3x

f)

lim

25 x2

5

x 0 5x 32x ln 1 tgx

h)* lim

cosx sin x 4 1

x 4 cos4

4

4

4

23.

a)

lim

...

1 9

9 17

n

8n 7 8n 1

c)

lim

4 3x 7x 2

x

5 x

e)

lim

cos2x sinx

2sin2 x 3sinx 1

x

6

arcsin x

2 3 0,5

g)* lim

x 2

4 x2

24.

a)

lim

8n 2 7 n 1

n 5 8n 7 n

c)

lim

3x 1

1 3x

2x 11

x

e) lim

1

x ex 0,5 1 tgx

2

	arctg	x 2		arctg					1
g)*lim	3								2x 1
						2
x 1			2x 1 x				1

3 8 ... 5n 2

25.a) lim

n 4 7 ... 3n 1

c) lim		1 x	5x 3
x		2 10x

e) lim

1 cos4x

x 0 53x2 1 5

arcsin

x

4

g)* lim

6 x

2x2 5x 2

x 2

3

3

n5 5n 3

5n6 2

26. a) lim

n

9n2 2n 3

x3 1

x3 3

c) lim

3

3x

1

x

28

b)

lim

x3 9x2 27x 27

x 3 x3 10x2 33x 36

3x 2

5x

arctg x2

d)

lim 2

x 0

2

x3

2x e

1

f )

lim

x 0 ln 1 2x 7 1 3x 1

h)* lim

x6 46 6 45 x 4

x 4 2

x 4

b)

lim

x4

6x3 13x2 24x 36

x4 6x3 x2 48x 72

x 3

tg2x

d)

lim

1 sin x

4

x

4

f)

lim ln(1 x) ln(1 x) ln 1 3x

x 0

1 x2 5 1

1

sin 14x

8

h)* lim tg4x

x

16

b)

lim

x4 2x3 4x2 6x 3

x3 3x2 9x 5

x 1

d) lim

1 ln 1 5x

ln 1 3x 1

x 0

f)

lim

ex e2

x 2

x 1 1

h)* lim 10x 1 7

7x 1 10

x 0

7 1 10x2 1

b) lim

x4 13x2

48

x 4 x 1 2x 7 x 3 5

3 1

ln 1

2 x

x

d)

lim

1

x 1

x

e)

lim

ln 1 sin4x

4x 1 4

x 0

4

2

g)*

lim

5x 1

x 3

1

x

arccos

arcsin

2

x 1

3

3

... 3 1

n

27.

a)

lim

n

5

25

5

n

1 x2

x 13

c)

lim

x

2 7x

2

e)

lim

1 tgx

1 sinx

ln 1 2x3

x 0

x2

2

8x4

g)*

lim

2x 3 arctg

2

x

x

2

4

28.

a)

lim

9n4 1 3n2 1

n 7 9 ... 2n 5

c)

lim

2x 3 4x2 11

3x 8

x

3

cosx

e)

lim

1 sin2x

72x 1 7

x 0

1

x

2

6

lim 5

1 arccos

g)*

x 4

x 3

x 5

6

1

1

1

29.

a)

lim

...

n

3 7

7 11

4n 1 4n 3

c)

lim

13x 8 x3 1

x 10x 1

cos

4x

cos

4x

4

4

e)

lim

x 0

25 3x 5

29

f) lim	arctg x2		4
x 2 2x 5 9 1
	1 tgx			5x cosx 1			1
h)* lim
x 0	1 sinx

b)

lim

x 2 2x 1 3x 1 12

x 1

x3 3x2 x 5

x 4

arcsin x2 x 1

d)

lim

3

2

x 0

f)

lim

5

x2 9

5

2x 6

x 3

4 sin2 x 3 2

ln 1 9

8x3

h)* lim

4x

x ln 1 2 15

x

3 25x2

b)

lim

x3 4x2 3x 10

x 1 x 4 3x 14 6

x 5

x 0

3x

2

arctg x2 1

d) lim

1 tg

f)

lim

ln x 3 lnx

x

x2 9 x2 9

h)* lim

x 2 200

200x 599

2x3 9x2 27

x 3

b)

lim

11 x 0,1x 1 2x 19 2

x 10

x3 10x2 2x 20

1

2x

1 cos4x

d) lim

1

x 1

x 0

f)

lim

24 2x 2x2 4

x 2 ln x ln x 4

cos

3x cos

3 x

x2 1 arctg

arctg

x

x

g)*

lim

2x 1

h)* lim

ln 3 x

sin

3x

2

x 2

x

0

30. a) lim

5n 1

3

n 1

b)

lim

3x

3

17x

2

27x 7

n 5n 2 3 n

x 7 2x 13 x 9 2 4

lim

5 3x 0,3x 3

x2 ln 1 3x2 1

c)

d)

lim 1 arcsin

x 0

3

x

1 2x

ln

2

e)

lim

tg2x sin2x

f)

lim

3x

x 0

5x3 1 5

x 3

4 13 4x 1

arcsin

x 5

ln 5

2x

x

3

2

g)* lim

4

h)* lim

x 3

2 x 3 1

x ln 72 x x3

2

Исследовать функцию f (x)

1.

а)

	2 1,			x 1,
x
	3	1,		x		1,
f (x) x

на непрерывность и построить её график:

б)			x 2			в)*
f (x)							3
						f (x) 3x2 4
	x	2	3x 2

x 1.

x,

2.

а)

б)

2

x 3

в)*

1

x3, x 1,

1 x2 1

f (x) x

3

x, 1 x 0,

x 3

f (x)

2

f (x)

2x 3,

x 0.

3.

а)

б)

2

в)*

x

1

,

x 2,

f (x)

x

2x 8

f (x) arctg

x 1

x 2

2 x

2 x, 2 x 5,

f (x)

2ex,

x 5.

30

4.
а)		б)		2
	2 4x 1, x 0,	f (x)	x		5x 6
x
					x 6
	x3, 0 x 1,
f (x)

1

, x 1.

x 1

5.

а)

б)

2x, x 1,

f (x) 2x

1 x

x 1

x 3,

x

1,

f (x)

1

,

x 1.

x 3

6.

а)

б)

0, x 4,

f (x)

x 3

x2 x 6

f (x) lg(x 4), 4 x 2,

x 4,

x 2.

7.
а)	б)

2x 2, x 0

f (x) 2x 5, 0 x 3,

	2 x2,	x 3.

f(x) x2 3x 2 x 2

8.
а)	б)

sin0,5x, x 0,

f (x) cos0,5x, 0 x 0,5 ,

1

, x 0,5 .

x 0,5

2 x 1

f (x) 3x

x 1

9.
а)					б)
			2 x, x 2,		f (x)			x 4
						x2 3x 4
		x2, 2 x 1,
f	(x)
		1
				, x 1.
			x 1
					31

в)*

f (x) sin x x 2

в)*

f (x) cos x x 1

в)*

1

1 x2 9 f (x)

3

в)*

1

f (x) 24 x2

в)*

f(x) arctg x 1 x 2

в)*

f (x) sin x 2 x

10.

а)

б)

1

,

x 2,

x 2

f

x 1,

x

2,

(x)

2,

x 2.

x2

11.

а)

б)

x 0,5 ,

x 0,5 ,

f

tgx,

x

0,5 ,

(x)

x 0,5 .

x 0,5 ,

12.

а)

б)

x2 1,

x 0,

f

0 x 3,

(x) lg 3x 1

10 x2, x 3.

13.

а)

б)

x2 2x 3, x 1,

f

3 x, 1 x 0,

(x)

x 1,

x 0.

14.

а)

б)

1,

x 1,

x 1,

x

1,

f (x)

x

2

1,

x 1.

15.

а)

x

1, x 0,

f

x2 2x 4, 0 x 1,

(x)

1

, x 1.

1 x

f(x) 2x2 x 3 x 1

3 x 2

f (x) x

x 2

x 2

f (x) 2x2 3x 2

f(x) 3x2 2x 5 x 1

x 3

f (x) 2x

x 3

б)

1 x

f (x)

3x x2 2

32

в)*

f (x) cos x 1 x

в)*

1

1 x2 1 f (x)

4

в)*

2

f (x) 21 x2

в)*

f (x) arcctg x x 2

в)*

f (x) sin x x 1

в)*

f (x) cos x x 2