Лекция по теории систем 9
.docЛекция № 9. Решение уравнений состояния в частотной области
Решение уравнений состояния в частотной области основывается на применении преобразования Лапласа к обеим частям уравнений динамики и выхода и разрешения получившихся матричных уравнений относительно преобразования Лапласа вектора переменных состояния и выходной переменной системы.
Обозначим - оператор преобразования Лапласа. Он действует так:
(обозначения:
- преобразование Лапласа от ;
- преобразование Лапласа от ;
- преобразование Лапласа от ).
Применим этот оператор к обеим частям уравнения динамики . Получим:
. (1)
Применим оператор преобразования Лапласа к уравнению выхода .
Получим:
(2)
Разрешим уравнение (1) относительно :
или
Найденное решение подставим в уравнение выхода (2):
(3)
Легко заметить, что первое слагаемое в найденном решении соответствует переходному процессу в системе и связано только с начальными условиями, а второе слагаемое соответствует вынужденному движению системы (частному решению неоднородного уравнения).
Задача1. Записать решение (3) для физически осуществимых систем
Задача2. Связать решение (3) с преобразованием Лапласа от полного решения линейного дифференциального уравнения n- порядка и найти связь между весовой функцией и и преобразованием Лапласа от фундаментальной матрицы
Пример решения уравнений состояния в частотной области.
Рассмотрим модель линейной системы, заданную дифференциальным уравнением 2-го порядка
Для нее основные матрицы:
Матрица
Обратную к ней матрицу определим как решение следующей системы уравнений:
.
Обозначим элементы искомой матрицы:
Тогда
.
Имеем две СЛАУ:
.
В скалярной форме для первой системы уравнений:
.
; ;
; .
В скалярной форме для второй системы уравнений:
;
.
Получаем элементы обратной матрицы:
- есть изображение по Лапласу переходного процесса в системе. Установим связь между вектором начальными условиями задачи. Заметим, что .
С учетом результата предыдущей лекции:
В итоге получаем следующую систему уравнений:
.