книги из ГПНТБ / Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения
.pdfМИНИСТЕРСТВО ВЫСИТГС И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Калининский политехнический институт
Кафедра высшей иатеиатики
ст . преподаватель СМИРНОВА Т.А.
О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й |
И Н Т Е Г Р А Л |
|
И Е Г О |
П Р И Л О І Е Н И Я . |
Калинин, 1973г.
Too. публичная
в * у ч к о - т в х н и , б ' к а к |
|
|
|
|
|
|
|
|
і и б л й о т в к а С О С Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Э Н . З Е И * П Л Я Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч И Т А Л Ь Н О Г О , З А Л А |
, |
|
|
СОДЕРЖАНИЕ, |
|
|
||
Ъ |
' |
О П Р Е Д Е Л Е Н И Й И Н Т Е Г Р А Л |
|
|
||||
|
§ |
I . Некоторые |
задачи, |
приводящие к формированию |
|
|||
^/^"У |
|
понятия определенного интеграла |
|
I |
||||
|
§ |
2. Определение |
|
понятия определенного |
интеграла . . |
. H |
||
|
§ |
3. Геометрический смысл определенного |
интеграла. . |
. Ѳ |
||||
|
§ Ч. Свойства определенного интеграла |
|
9 |
|||||
|
§ |
5. О вычислении |
определенного интеграла |
13 |
||||
|
§ |
б . Определенный |
интеграл с переменным |
верхним |
|
|||
|
|
пределом |
, |
|
|
|
|
14 |
|
§ 7. Формула Ньютона - Лейбница |
|
16 |
|||||
|
§ |
8. Замена переменной |
в определенном интеграле . . . |
17 |
||||
|
§ |
9. Интегрирование по |
частям |
|
19 |
|||
|
|
И^ГЕОиЕТРИЧИСК".1! И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОІЕНИЯ |
|
|||||
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. |
|
|
|||
|
I |
I . Вычисление площадей плоских фигур в прямоуголь |
|
|||||
|
|
ных координатах |
|
|
21 |
|||
|
§ |
2. Вычисление |
площади фигуры, криволинейная грани |
|
||||
|
|
ца которой |
задана |
параметрическими |
уравнениями. |
25 |
||
|
§ |
3. Вычисление |
площади в полярных координатах . . . |
26 |
||||
|
§ 4 , Вычисление |
объема |
тела по площадям параллель |
|
||||
|
|
ных оечений |
|
|
|
|
29 |
|
|
§ |
5. Вычисление объема тела вращения |
|
32 |
||||
|
5 |
б . Вычисление работы переменной силы |
|
33 |
||||
|
§ 7. Вычисление |
давления жидкости на вертикальную |
|
|||||
|
|
пластину |
|
|
|
|
• . . j |
36 |
§ |
8. |
Нахождение |
центра тяжести плоской фигуры . . . . |
|
39 |
|||
§ |
9. Вычисление ноиента инерции |
|
. |
44 |
||||
§ |
10. Вычисление |
длины дуги плоской |
кривой |
|
47 |
|||
§ |
I I . Вычисление |
площади поверхности |
вращения . . . . |
|
52 |
|||
|
|
I I I . ПРИБЛИШІНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ИНТЕГРАЛОВ. |
|
|
|
§ |
I . Формула |
прямоугольников . |
|
|
58 |
|||
§ |
2. |
Формула |
трапеций |
• |
, |
60 |
||
§ |
3. Формула |
параболических трапеций |
(формула |
|
|
|||
|
|
Сиипсона) |
|
|
|
|
61 |
|
|
|
ІУ . НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
|||
§ |
I . Интегралы |
с |
бесконечными пределами |
|
66 |
|||
§ |
2. |
Интегралы |
от |
неограниченных фупкций |
|
69 |
I . О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й |
И Н Т Е Г Р А Л . |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - одно из основных понятий матеиатического анализа, он находит широкое прщіенение в ре шении большого числа задач естествознания и техники.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ,ПРИВОДЯЩИЕ К ФОРМИРОВАНИЮ
|
|
ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача |
I . Тело |
движется |
прямолинейно с |
переменной |
ско |
||||||||||||
|
|
р о с т и |
|
|
|
. Какой |
путь О |
пройдет |
оно |
||||||||
|
|
за время |
от |
момента |
І = |
Ь |
до |
иоиента |
t a |
T . |
|||||||
|
|
( |
T > t D |
) |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
числовуи ось |
Ot |
|
и отложим |
значения t |
~ |
|
tc |
|||||||||
о |
|
|
еЛ^ |
&ta |
|
|
|
|
|
|
аі„ |
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
* 4 |
4 |
|
% |
|
|
|
|
— ' |
|
^ |
|
|
|
~ |
и І- = |
Т |
. Разделил |
интервал |
f |
t |
T J |
на |
И, |
частей |
точ |
|||||||
ками |
с |
абсциссами |
t< |
, |
t t |
|
, |
t , |
|
|
tn t |
|
и |
обоз |
|||
начим |
|
Т= |
Ьл |
. Длину |
каждого |
из |
полученных элементарных |
||||||||||
интервалов |
обозначим |
через |
& tK |
( |
К= |
-/, 2,... |
іг |
) , |
т . е . |
VW*.
t - t = à t -
д.n-t tl
Предположим теперь, |
что |
в |
пределах |
каждого |
элементарного |
|
|||||
интервала |
времени |
Л t,,. |
|
тело |
движется равномерно |
с пос |
|
||||
тоянной |
cKopocTbD |
lfK |
~ |
Ii itj) |
, |
соответствующей |
его |
|
|||
правому |
концу |
"t^ |
, т . е . предположим, что в пределах |
|
|||||||
интервала |
A t , |
тело движется |
со |
скоростью |
Ѵ^- |
V(tJ |
, |
- 2
в |
пределах |
интервала |
à t% |
- с о |
скоростью 1ft |
- V |
ІІг) |
|||
и |
т . д . |
В таком |
случае |
путь |
S п |
, |
пройденный |
телои |
за |
|
время |
от |
t 0 |
до Т |
представится |
формулой: |
|
|
или в более краткой форме
Подсчитанный по этой формуле путь, |
понятно |
не отвечает на |
|||||||
вопрос поставленный в задаче, т . к . |
скорость |
Vit} |
- |
||||||
непрерывная |
функция времени |
t |
, |
а мы считали, |
что ско |
||||
рость изменяется |
скачкаыи» |
Однако, |
при |
неограниченной |
|||||
уменьшении |
длин |
всех элементарных |
|
интервалов |
и, |
следова |
|||
тельно, при |
неограниченной |
увеличении |
П. |
, |
скачкообраз |
ное изменение скорости-будет приближаться к непрерывному.
Тогда |
естественно |
за |
величину истинного пути $ |
принять |
|
предел |
3l t |
при |
неограниченной уменьшении длин |
всех эле - |
|
иентарных |
интервалов, |
т . е . считать, что |
|
|
|
S-Üm |
|
T.f(tM |
|
||
|
|
max |
i |
t |
0 |
|
|
где |
maxùt„- |
длина наибольшего из |
элементарных ин- |
||||
|
Итак, решение поставленной задачи свелось к вычисле |
||||||
нию полученногоA t / |
предела. Если |
функция |
V(iJ |
известна, |
|||
то можно попытаться этот предел найти |
непосредственно, |
||||||
но |
атс не всегда |
легко сделать. |
|
|
|
||
|
В дальнейшем |
»ы увидка, |
что |
можно |
найти |
другой прин |
|
|
- |
3 |
- |
|
|
ципиадьно новый путь вычисления пределов такого вида. |
|
|||||
Задача 2. |
Найти |
площадь фигуры, |
ограниченной графикой |
функ- |
||
^ |
ции |
, |
осьс |
ОХ , и пряиыии Х=0. |
и |
|
|
х-Ь |
с а< 5 |
). |
|
|
Разделим |
интервал |
jf Q, 6 ] |
на M |
частей |
точками |
с |
а б |
|
сциссами |
Xt , Хг |
|
Х п і |
и положим |
Q - |
CtD |
, |
|
Ь - ЗГ^ |
. Проведем через |
точки |
деления |
соответствушцие |
||||
ординаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Длины элементарных |
интервалов обозначим через |
А ОС |
, т . е . |
Заменим теперь каждуи из элементарных полосок |
с |
основани |
|||||
ем. Л J,, |
прямоугольником с теи |
же |
основанием |
и высотой |
|||
равной значении |
функции j~ (0Сп) |
в |
правой |
граничной |
|||
точке. Площадь |
$ п |
полученной |
ступенчатой |
фигурь пред |
|||
ставится |
формулой: |
|
|
|
|
|
- ч - |
|
или |
|
Sn=tf(xJäX„ |
. |
Естественно считать, что искомая площадь есть предел при стремлении к нуле длины каждого из элементарных ин
тервалов и, |
следовательно, |
при |
h.—- о<э . |
|
mo.1 Л: - • О |
|
|
Снова решение задачи свелось к |
вычислению предела ухе зна |
||
комого нам |
вида. |
|
|
Ножно еще рассмотреть |
иного |
геометрических, физичес |
ких, технических задач, решение которых сводится к вычис лении предела такого же вида.
Общность схемы решения различных задач наводит на
мысль остановить свое внимание на изучении, метода, как
такового, не связывая его с какой-либо конкретной задачей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
|
|||||
Пусть задана функция f(JC) |
, |
непрерывная |
в замкну |
|||
том интервале |
[0.,Ь] |
конечной |
длины |
и пусть |
й< |
^ |
Разделим этот |
интервал |
произвольным |
способом |
на |
I t эле |
ментарных интервалов, длину каждого из которых обозначим
&ХЙ |
( K " H , 2 , . . . , f t |
) . |
|
|
|
|||
щ |
л х , |
л х г |
д х |
3 |
а—I—в |
ДТСП |
|
|
1 о-ч ѳ—I—« |
1 |
м9 fc |
|
|
||||
Выберем теперь внутри или на границе |
каждого |
элементарно |
||||||
го гнтепвала |
точку |
с абсциссой |
X f |
( К - іг |
2 , . . . И |
), |
|
|
- |
5 |
- |
|
|
|
вычислим |
значения функции |
f |
(X) |
в |
этих точках, |
т . е . най |
|
дем / ( X j |
. f(X2) |
>•••> |
|
|
и составим |
сумму |
|
произведений этих значений на длины |
соответствующих эле |
||||||
ментарных |
интервалов: |
|
|
|
|
|
|
или
П.
Эта |
сумма |
навивается |
и н т е г р а л ь |
н о |
й |
с у м |
|
||
м о й , составленной |
для функции |
f(^) |
в |
интервале |
. |
||||
|
Рассмотрим теперь предел интегральной суммы при неог- |
|
|||||||
раниченвон |
увеличении |
чиола |
IX |
элементарных |
интерва |
|
|||
лов |
и'при |
стремлении |
к нулп |
наибольшего |
из |
них, |
т . е . |
|
тахьх~0
где tnax АЭСц - наибольший из элементарных интерва
лов . Этот предел и называется определенным интегралом от
функции |
^ (х) |
в интервале |
[о.,Ь] , |
|
|
||
ОПРіДВіШЕ. |
О п р е д е л е н н ы м |
|
и н т е г |
||||
р а л о м |
о т |
ф у н к ц и и |
f |
(%] |
в |
и н т е р |
|
в а л е |
jTci.SJ |
н а з ы |
в а е |
т с |
я |
п р е д е л |
|
и н т е г р а л ь н о й |
с у м м ы . с о с т а в л е н - |
||||||
н о і |
д л я f f l ) |
в |
и н т е р в а л е |
||||
п р и |
н е о г р а н и ч е н н о м |
у в е л и ч е |
|||||
н и и |
ч и с л а |
э л е м е н т а р н ы х |
и н т е р - |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
б |
- |
|
|
|
|
в a і о в |
|
и |
|
п р и |
|
с т р е м л е н и и |
к |
н у |
||||||
л и |
|
н а и б о л ь ш е г о |
|
и з |
н и х . |
|
|
|
||||||
|
Определенный |
интеграл |
от |
функции |
f($) |
в |
|
интерва- |
||||||
ле |
[а,Ь] |
|
обозначается |
символом |
|
|
|
|
||||||
т . е . |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$(з)~ |
|
подинтегральная |
функция, |
|
|
|
|
||||||
|
|
Х- |
|
подинтегральное |
выражение, |
|
|
|
||||||
|
|
Cl |
- |
нижний |
предел, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ь |
- |
верхний предел, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
JC |
- |
переменная |
интегрирования. |
|
|
|
||||||
|
Заметим, что |
для данной |
функции |
|
на |
данной |
||||||||
интервале |
|
[ & , |
|
можно |
составить бесчисленное |
множест |
||||||||
во |
интегральных |
сумм, т . к . |
способ разбиения |
интервала |
||||||||||
f Q , ß J |
на |
|
элементарные |
интервалы |
и |
выбор |
в них |
|||||||
точек |
JC^ |
- |
произвольны. |
|
|
|
|
|
|
Атогда возникает следующие вопросы:
1). Всегда ли существует предел интегральной суммы при
и<СЦс Д Х~>-0 |
? |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
2) . Не |
будет ли этот предел (если |
он существует) |
зависеть |
||
от |
способа разбиения |
интервала |
f o . , 6 ] на элементар |
||
ные |
интервалы |
Л' ЗС |
" и от выбора в них точек |
JC,«с |
|
На поставленные вопросы |
отвечает ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ |
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА :