книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ
.pdfЛ.Т. ТАРУШКИНА
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ ЦВМ
т ? О Л Ь Н Ь ! И
З Е М П Л Я Р - |
• ЛЕНИНГРАД |
|
|
« М А Ш И Н О С Т Р О Е Н И Е » |
1973
Г19 |
Г»о.публичная |
|
иаучно - техни*в~нля |
|
библией-:»** -СССР |
У Д К 62—50 |
Ч И Т А / E ' o H O I ' O З А Л А |
Т а р у ш к и н а |
Л. Т. |
Статистическая оценка |
параметров |
управляемых систем |
с помощью ЦВМ. «Машиностроение», 1973, |
||
176 с. |
|
|
|
Книга содержит |
решение |
проблем статистического |
оценивания |
и идентификации параметров динамических систем автоматического управления. Приведены методы и алгоритмы, реализуемые с по мощью ЦВМ, для оценки параметров распределения входных, выходных координат динамических систем, а также параметров, входящих в закон управления. Рассматриваются методы реализа ции предлагаемых алгоритмов с помощью ЦВМ.
Книга рассчитана на широкий круг инженерно-технических работников, занимающихся прикладными методами статистической динамики систем автоматического управления, методами прибли женных вычислений, а также вопросами технической диагностики ЦВМ.
Табл. 3. Ил. 12. Список лит. 36 назв.
3 1 3 6 - 3 2 2 |
|
1 038 (01)—73 6 1 1 |
' Л |
Рецензент д-р физ.-матем. наук В. И. Зубов Редактор д-р техн. наук Р. И. Трухаев
|
|
Люция |
Тимофеевна |
ТАРУШКИНА |
|
|
|
|
||||||
|
СТАТИСТИЧЕСКАЯ |
ОЦЕНКА |
|
ПАРАМЕТРОВ |
|
|
||||||||
У П Р А В Л Я Е М Ы Х СИСТЕМ |
С |
ПОМОЩЬЮ |
ЦВМ |
|
|
|||||||||
|
Редактор |
издательства |
И. |
А. |
|
Денина |
|
Ф. Костина |
||||||
Переплет художника |
Ю. |
Н. |
Давыдова. |
Технический редактор В. |
||||||||||
|
|
|
Корректор И. |
И. Романова |
|
|
|
|
||||||
Сдано в производство 19/1 |
1973 г. |
Подписано |
к печати |
2/Х |
1973 |
г. |
М-36872 |
Формат |
||||||
бумаги бОХЭО'/ю- |
Бумала |
типографская |
№ 3 |
Цена |
Печ. |
л. 11,0 |
Уч.-изд. |
л. 10,7 |
||||||
|
Тираж |
6000 экз. |
Зак. |
№ |
42 |
68 коп. |
|
|
|
|||||
Ленинградское |
отделение |
издательства |
«МАШИНОСТРОЕНИЕ» |
|
||||||||||
|
191065, |
Ленинград, ул. Дзержинского, |
10 |
|
|
|
||||||||
Ленинградская типография № 6 Согазполпграфпрома |
|
|
||||||||||||
при |
Государственном комитете |
Совета |
Министров |
СССР |
|
|||||||||
по делам |
издательств, |
полиграфии |
и книжной торговли |
|
||||||||||
|
193144, Ленинград, |
ул. Монсеенко, |
10 |
|
|
|
© Издательство «Машиностроение», 1973 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
X X I V съезд КПСС сформулировал задачи по дальнейшему развитию народного хозяйства на основе научно-технического прогресса. В директивах съезда, в частности, указывается на необходимость обеспечить в новом пятилетии «дальнейшую раз работку проблем теоретической и прикладной математики и кибернетики для более широкого применения в народном хозяй стве математических методов и электронно-вычислительной тех ники, автоматизации процессов производства и совершенство вания управления». Только в Ленинграде и Ленинградской об ласти за пятилетие предусматривается создать свыше 120 вычис лительных центров по организации комплексных систем управ ления производством.
Повышенные требования, предъявляемые к точности автома тических систем управления, приводят к необходимости исполь зовать ЦВМ для обработки информации, содержащей данные об объекте управления. Для решения ряда практических задач статистической динамики систем управления необходимо развить
машинные методы и алгоритмы корреляционного |
анализа теории |
||||
случайных |
функций- В |
настоящее |
время, |
за |
исключением |
работы [ 4 ] , отсутствуют |
книги, в которых давались бы методы |
||||
обработки |
статистической |
информации |
об объекте |
управления |
с помощью ЦВМ в процессе работы системы управления. Основ ная цель написания книги состоит в разработке методов и алго ритмов статистического оценивания неизвестных параметров, входящих в моменты распределения входных и выходных сигналов управления, параметров динамической системы управления с по мощью ЦВМ с учетом ограничений, наложенных на память ма шины.
Специфика построения самой машины, ограничения ее памяти и быстродействия, накладывают на алгоритмы решения дополни тельные "требования, такие, как получение решения за заданный
промежуток времени и оценка точности решения. |
Указанные |
||
особенности выдвигают ряд |
новых |
проблем как в |
постановке, |
так и в методах решения |
задач |
стохастического |
управления. |
Так, например, задача определения параметров корреляционной функции стационарного эргодического процесса является далеко не простой в том случае, когда в память ЦВМ для получения тре буемой точности нельзя одновременно ввести нужное количество значений реализации исследуемого процесса.
Специфической особенностью методов, предлагаемых в данной книге, является использование для случайных процессов только одной реализации процесса, для случайного поля — отдельных выборочных значений поля, когда осреднение по ансамблю
1* |
3 |
невозможно. Рассматриваются не только стационарные процессы, но и процессы, имеющие монотонно возрастающую дисперсию. В рамках корреляционной теории процессы, имеющие монотонно возрастающую дисперсию, трактуются как процессы с незави симыми приращениями. Приводятся методы оценивания как однородных и изотропных полей, так и полей, корреляционные ядра которых зависят от параметров, характеризующих условия работы системы управления. При оценивании моментов распре деления выходных координат линейных динамических систем дается построение процесса, эквивалентного выходу системы управления. Выбор управляющего воздействия проводится в усло виях, когда на вход системы управления поступает случайное воздействие, моменты распределения которого содержат неиз вестные параметры. Разработаны вероятностные процедуры по проверке работы ЦВМ в процессе решения задач управления.
При рассмотрении алгоритмов используется управляющая
ЦВМ «Днепр» [ 7 |
] , быстродействие |
которой с фиксированной* |
запятой составляет |
16,6 тыс. сложений |
в секунду, 4 тыс. умноже |
ний в секунду. Различные технические задачи трактуются в книге с единой позиции как задачи статистического оценивания и иден тификации неизвестных параметров управляемых систем.
Единство методов исследования, простота и законченность результатов делают книгу доступной для широкого круга спе циалистов, занимающихся как проектированием, так и эксплуа тацией управляемых систем с использованием средств цифровой вычислительной техники.
Автор будет благодарен читателям, высказавшим свои заме чания и пожелания по содержанию книги.
Глава I
О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ И АЛГОРИТМАХ РЕШЕНИЯ, РЕАЛИЗУЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ ЦВМ
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ
Статистические особенности систем управления. Рассмотрим работу систем управления при случайных воздействиях, влияние которых отражается не только на входных- и выходных коорди натах системы, но и на параметрах динамической системы объекта управления. Координаты системы являются случайными .функ циями, параметры системы — детерминированными величинами.
Для систем управления, работающих в сложных условиях изменения среды, невозможно точно задать чмоменты распределе ния как внешних воздействий, так и воздействий в отдельных звеньях системы управления. Определенные трудности связаны с учетом возможных изменений параметров объекта управления. Вместе с тем, статистические критерии качества и прежде всего критерий точности приводят к необходимости наиболее полного учета как вероятностных характеристик координат системы управления, так .и значений параметров динамической системы. Для достижения заданного критерия качества требуется построить закон управления системой в случае, когда моменты распределе ния координат и параметры динамической системы известны неточно. Дополнительными сведениями при уточнении оптималь ного закона управления являются статистические данные об объекте /управления в процессе работы системы в реальных условиях.
В начальный момент управления зададим априорные, данные, к числу которых в общем случае отнесем все те моменты распре деления входных, выходных координат отдельных звеньев и всей системы в целом, а также параметры динамической системы объекта управления, которые будем уточнять по результатам обработки статистических данных об объекте управления. Статистические данные поступают с измерительных устройств, расположенных как на объекте управления, так и вне его. В общем случае изме ряются отдельные • координаты системы управления, физические величины, отражающие влияние внешней среды и состояние внутри объекта, с помощью которых осуществляется контроль за работой системы управления. Измеряемыми координатами автоматиче-
,5
ской системы управления являются механические величины, на пример, перемещение, скорость, ускорение, физические вели чины, например, давление, температура.
Основная задача стохастического управления, использующего результаты обработки статистических данных об объекте управ ления, формулируется следующим образом: по результатам об работки статистических данных уточнить априорные данные об объекте управления; по уточненным априорным данным по строить закон управления, оптимизирующий процесс работы системы при заданном критерии качества.
Ограниченность массива статистических данных (данные могут поступать лишь с начала работы системы), невозможность про изводить осреднение по множеству реализаций статистических данных (как правило, массив содержит лишь одну реализацию данной случайной функции), ограниченность времени обработки не позволяют в условиях реальной работы системы управления получить более, чем первых два момента распределения стати стических данных. Поэтому под обработкой статистических дан ных будем понимать реализацию алгоритмов с целью получения математического ожидания и корреляционной функции массива статистических данных.
В рамках корреляционной теории случайных функций в си стеме управления реализуются такие критерии качества, как критерий точности [16, 23, 31], инвариантности относительно случайных входных воздействий [27]; строятся сложные ста тистические критерии, являющиеся заданными функциями от более простых критериев [ 2 ] ; определяются законы управления, оптимальные в смысле квадратичного функционала качества [16, 23, 31], оптимальные по вероятности [13]. Заметим, что реализация указанных критериев качества разработана доста точно хорошо для случая, когда полностью известен объект управления и заданы статистические характеристики входных воздействий. Задача стохастического управления, использующего результаты обработки статистических данных об объекте управ ления, вносит в выполнение критериев качества свою специфику. Например, точность выработки закона управления зависит от величины массива статистических данных, начиная с которого уточняются априорные данные, от частоты обращения к новым массивам статистических данных, от точности, с которой про изводится уточнение априорных данных.
Массивы статистических |
данных. |
Обработку |
статистических |
данных будем производить с помощью ЦВМ. |
|
||
Обозначим через R x = |
(г (tu), |
. . ., г (t^m)) |
дискретный |
массив статистических данных об объекте управления, поступив
ший в ЦВМ за время, равное |
Тх = |
[7\ _ 1 ( |
Тх]. |
Здесь г {tXp) (р = |
||
= 1, пг)—/-мерный |
вектор, |
i-я |
координата |
которого |
соответ |
|
ствует измерению, |
поступившему |
в ЦВМ |
с /-го канала |
измери- |
6
тельной аппаратуры в момент времени, равный tXp; |
X—номер |
массива. |
|
Для формирования массива статистических данных требуется: 1) определить каналы, измерения которых служат для уточ нения априорных данных об объекте управления; задать общее
число таких каналов;
2) |
определить частоту ввода статистических данных в ЦВМ; |
3) |
задать точность, с которой измеряются и вводятся в ЦВМ |
статистические данные. |
|
В задаче стохастического управления, использующего резуль |
|
таты |
обработки статистических данных с помощью ЦВМ, наряду |
с априорными данными об объекте управления необходимо ука зать требования, предъявляемые к формированию массива ста тистических данных. В начальный момент работы системы управ ления формирование массива статистических данных может про изводиться, например, исходя из требований, заложенных при
проектировании |
систем |
управления. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Статистические данные г (tXp) |
могут зависеть только от |
вре |
||||||||||||||
мени |
измерения |
tXp, |
тогда |
г (tXp) |
является |
значением |
реализации |
|||||||||
/-мерного |
векторного случайного процесса |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Х ( ^ ) |
= ( Х 1 ( ^ Р ) , |
ХМ»)), |
|
|
||||||
т. е. г (tXp) |
= |
X |
|
(tXp). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть 9 = |
(0Х , |
. . ., |
e^-J — |
точка |
(k—1)-мерного |
аргумента |
||||||||||
и Э £ 0 — заданное |
множество. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если статистические данные г (tXp) |
зависят |
не только от |
вре |
|||||||||||||
мени |
tXp, |
но |
и от |
аргумента |
0, |
то г (tXp) |
является |
выборочным |
||||||||
значением /-мерной случайной величины, зависящей от ^-мерного |
||||||||||||||||
аргумента |
|
0) |
= |
|
0 l t |
. . ., |
6 ^ ) , |
т. |
е. |
г (tXp) |
= X (tXp, |
0). |
||||
Отметим, что Xt (t) соответствует |
данным |
t'-ro канала изме |
||||||||||||||
рений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
процесса |
X (/) |
определим .математическое ожидание |
|
||||||||||||
|
|
|
|
тЛ .(/) |
= |
/ИХ(/) |
= |
К ( 0 , |
|
m,(t)y |
. |
(1.1.) |
||||
и корреляционную |
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
M |
' |
i . |
t*) = |
\Ku(ti, |
Щ |
(i, |
/ = |
Т77), |
|
( i - 2 ) ' |
||
где |
mi |
(t) |
— |
математическое |
ожидание |
процесса, |
соответству |
|||||||||
ющего |
t-му |
каналу |
измерений |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ml(t) |
= |
MXl(t); |
|
|
|
|
(1.3) |
Кц (^I> ^г) — корреляционная или автокорреляционная функция процесса, соответствующая t-му каналу измерений; Кц {tlt t2) — взаимная корреляционная функция между процессами, соответ ствующими t-му и у'-му каналам измерений, т. е. для любых двух каналов
*г) = MVCdtd-mdWlXM-mjiti)]. |
(1.4) |
- |
7
• Корреляционная |
матрица |
является |
положительно |
опреде |
|||
ленной, ее элементы |
для |
любых |
i, |
j |
удовлетворяют |
условиям |
|
Ка 0\. tx) |
о, |
к и |
(tlt |
/ 2 ) |
= |
кн (и, * л ) ; .1 |
|
Для случайных функций нескольких переменных математиче ское ожидание и корреляционная матрица определяются соот ношениями, аналогичными (1.1), (1.2), причем корреляционная матрица является положительно определенной, элементы которой
обладают |
свойством |
(1.5). |
|
|
|
|
|
Для обработки статистических данных необходимо следующее. |
|||||||
1. |
Упорядочить статистические данные внутри массива. Мас |
||||||
сив R, |
упорядочим, |
положив |
tXp < tls |
при р < s. |
|
||
2. |
Произвести упорядочение массивов. Любых два массива |
Rx , |
|||||
Ryl упорядочим, положив tXp < |
/ц5 при |
Я < |
ц и при любых р |
и s. |
|||
3. |
Указать, являются ли данные г (t^p) |
значениями случайной |
|||||
функции |
от одной или многих |
переменных, причем следует |
фик |
сировать в момент времени tKp значения этих переменных. Процесс обработки данных включает в себя организацию и
хранение массивов данных, считывание данных с внешних и внутренних накопителей, реализацию алгоритмов обработки, организацию вычислительного процесса.
Основное внимание будет уделено методам обработки стати стических данных и построению алгоритмов, реализуемых с по мощью ЦВМ.
Аналитическая структура функций. С целью упрощения мето дов обработки статистических данных рассмотрим аналитическую структуру функций, входящих ..в априорные данные задачи сто
хастического |
управления. |
|
|
|
Введем следующее определение. Будем говорить, что для |
||||
функции Ф (g) |
(g £ G — множество |
значений одномерного |
или |
|
многомерного аргумента) задана |
аналитическая структура, |
если |
||
|
<3>(g) = |
F(g, |
q), |
(1-6) |
где F — функция известного аналитического вида; q — неиз-v вестный многомерный параметр конечной размерности
q = (qlt . . ., qk). |
(1.7) |
Частным случаем аналитической структуры функции является представление вида
k
Ф'(8) = 2 <7v<Pv(2). v=i
где % (g) — известные функции; qv (v. — 1, k) — неизвестные коэффициенты; k — конечное число.
8
Заметим, что если известны аналитические структуры мате матических ожиданий и корреляционных матриц, определяющих моменты распределения массивов статистических данных, тогда обработка массивов статистических данных сводится к опреде лению неизвестных многомерных параметров, входящих в ана литические структуры математических ожиданий и корреляцион ных матриц. В этом случае априорные данные задачи стохасти ческого управления будут уточнены, если по массивам статисти ческих данных об объекте управления определим как неизвестные многомерные параметры, входящие в аналитические структуры математических ожиданий и корреляционных матриц, так и неизвестные параметры динамической системы объекта управле ния, в том числе и параметры закона управления.
Отметим, что определение аналитической структуры моментов распределения статистических данных является задачей аппрок симации моментов распределения определенным классом функ ций. Этот класс зависит, прежде всего, от вероятностных свойств массивов статистических данных..
Статистическое оценивание и идентификация параметров си стем управления. Пусть q — неизвестный многомерный пара метр системы управления, определяемый соотношением (1.7). Рассмотрим функции, зависящие от результатов наблюдений над массивами статистических данных Rx (к = 1, Л). Такие функ ции принято называть статистиками. Статистическое оценивание состоит в получении таких статистик, с помощью которых можно
оценить значение параметра q. Если q* — статистическая |
оценка |
|||||||
параметра q, тогда q* = |
(qi, . . ., q*k) |
и для функции Ф (g), опре |
||||||
деляемой соотношением |
(1.6), статистическая оценка есть |
|||||||
|
|
|
Ф* |
(g) = F (g, |
q*), |
|
|
|
где <7v — |
статистическая |
оценка |
параметра |
qv, |
т. е. q? = |
|||
— 4v (Ri> |
• |
• •> R A)- |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, детерминированный параметр |
qv |
системы |
|||||
управления |
оценивается |
случайной |
величиной |
qv, |
зависящей |
от результатов измерений случайных функций, входящих в мас сивы Rx (к = I , А).
Для простоты будем считать, что с каждого канала измери тельных устройств поступает одно и тоже число измерений и за
время |
Т каждый канал выдает |
N измерений, причем |
|
|
|
Т = £ Т Ъ |
|
T \ = [ 7 \ _ l f 7\), |
|
|
т х < . . . |
< Т Л = т, |
|
|
где Тх |
— время поступления |
всего массива Rx. |
' |
Будем использовать следующие свойства оценок qv (v = 1, k).. 1. Оценка qv является несмещенной, если Mql = qv.