книги из ГПНТБ / Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач
.pdfФ . П . Васильев
Лекции
по методам решения экстремальных
задач
Издательство М осковского университета
1 9 7 4
I
ж
' у |
у д к |
Книга написана по материалам лекций, прочи танных автором студентам факультета вычисли тельной математики и кибернетики, и содержит основы наиболее часто используемых на практи ке методов приближенного решении задач мини мизации функций и функционалов, теоретическое исследование и краткую характеристику вычисли тельных аспектов этих методов. В первой части книги рассматриваются методы минимизации функций одной и нескольких переменных, во вто рой — методы минимизации функционалов, опре деленных на решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных урав нений, а также уравнений с частными производ ными. Большая часть материалов ранее в учеб ной литературе не излагалась и встречается лишь в журнальных статьях и монографиях, трудных для восприятия при первом знакомстве с пред метом.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, спе циализирующихся по вычислительной и приклад ной математике, на научных сотрудников и инже неров, которым приходится иметь дело с вопро сами минимизации функций и различными зада чами оптимального управления.
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета
Рецензенты:
Кандидаты физ.-матем. наук В. Г. |
К а р м а н о в , |
М. С. Н и к о л ь с к и й , II. X. |
Р о з о в |
(С) Издательство Московского 7пиверситета, 1974 г.
О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е ................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
Г л а в а |
1. |
Минимизация функций одной переменной |
............................... |
|
|
7 |
|||||
§ |
1. |
Постановка |
з а д а ч и ..................................................................... |
|
|
|
|
7 |
|
||
§ |
2. |
Задачи А и Б. Строго квазивыпуклые функции |
. . |
. . |
8 |
||||||
§ |
3. |
Оптимальный пассивный поиск в задачах А и Б |
. |
.. . |
11 |
||||||
§ |
4. |
Последовательный |
п о и с к ........................................................... |
|
|
|
|
16 |
|
||
§ |
5. Метод деления отрезка пополам................................................ |
|
|
18 |
|
||||||
§ |
6. |
Оптимальный последовательный поиск для задачи А |
|
20 |
|||||||
§ |
7. |
Оптимальный последовательный поиск для задачи Б |
. |
27 |
|||||||
§ |
8. |
Метод золотого . с е ч е н и я ........................................................... |
|
|
|
|
32 |
|
|||
§ |
9. |
Метод л о м а н ы х ...................................................... |
|
|
|
|
|
|
35 |
||
§ |
10. |
Выпуклые функции. Метод к а с а т е л ь н ы х ................................................ |
|
|
|
38 |
|||||
§ |
11. |
М е т о д 'п а р а б о л ...................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
44 |
||
§ |
12. |
О некоторых |
других методах |
м и н и м и зац и и ....................................... |
|
|
47 |
||||
Г л а в а |
2. |
Минимизация |
функций многих |
п е р е м е н н ы х ........................................ |
|
|
51 |
||||
§ |
1. |
Постановка |
задачи. |
Обозначения. Вспомогательные сведения |
51 |
||||||
§ |
2. |
Градиентный |
м е т о д .......................................................................... |
|
|
|
|
65 |
|
||
§ |
3. |
Метод проекции г р а д и е н т а ......................................................... |
|
|
|
|
72 |
|
|||
§ |
4. |
Метод возможных направлений |
....................................... |
|
: • . |
|
77 |
||||
§ |
5. |
Метод проекции опорных ф у н к ц и й .......................................... |
|
|
84 |
|
|||||
§ |
6. |
Метод условного г р а д и е н т а ......................................................... |
|
|
|
|
96 |
101 |
|||
§ |
7. |
Метод сопряженных градиентов |
|
........................................................... |
|
|
|
||||
§ |
8. |
Метод Н ь ю т о н а |
.............................................................................. |
|
|
|
|
107 |
|
||
§ |
9. |
Метод штрафных ф у н к ц и й ......................................................... |
|
|
|
|
117 |
|
|||
§ |
10. Теорема Куна |
— Т а к к е р а ............................................................................. |
|
|
|
|
|
121 |
|||
§ |
11. |
Элементы линейного п р о гр ам м и р о ван и я ............................................. |
|
|
|
131 |
|||||
§ |
12. О методе случайного поиска и некоторых других |
методах . |
148 |
||||||||
Г л а в а |
3. Принцип максимума Л. С. П о н ..............................................т р я г и н а |
|
|
|
155 |
||||||
§ |
1. |
Постановка задачи |
оптимального .................. |
у п р а в л е н и я |
|
155 |
|
||||
§ |
2. |
Формулировка принципа максимума Л. С. Понтрягина |
. . |
159 |
|||||||
§ |
3. |
Приближенное |
решение краевой |
|
задачи принципа |
максимума |
168 |
||||
§ 4. |
Связь между принципом максимума ..и классическим вариаци |
|
|||||||||
|
|
онным и с ч и с л е н и е м .................................................................... |
|
|
|
|
177 |
|
|||
Г л а в а |
4. |
Динамическое |
программирование. |
Проблема |
синтеза . |
|
181 |
||||
§ |
1. Схема Р. Веллмана. Проблема синтеза для дискретных |
систем |
181 |
||||||||
§ |
2. |
Схема Н. Н. |
М о и с е е в а ..................................................................................... |
|
|
|
|
|
191 |
||
§ |
3. |
Дифференциальное |
уравнение Р. |
Веллмана |
. . . |
' . . |
198 |
||||
§ |
4. |
Проблема синтеза для систем с непрерывным временем. Оцен |
|
||||||||
|
|
ка п о г р е ш н о с т и ........................................................................... |
|
|
|
|
203 |
|
|||
Г л а в а |
5. Достаточные |
условия оптимальности ............................................. |
|
|
|
213 |
|||||
§ |
1. |
Достаточные условия оптимальности для задач с закрепленным |
|
||||||||
|
|
временем................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
213 |
|
§ |
2. |
Достаточные условия оптимальности для задач с незакреплен |
222 |
||||||||
|
|
ным в р е м е н е м .............................................................................. |
|
....... |
|
|
|
. |
|||
§ |
3. |
Достаточные условия оптимальности для дискретных управляе |
|
||||||||
|
|
мых систем. Оценка п огр еш н ости ......................................... |
|
|
227 |
|
|||||
Г л а в а |
6. Методы минимизации в функциональных пространствах |
. . |
232 |
||||||||
'§ |
1. |
Вспомогательные с в е д е н и я ............................................................................. |
|
|
|
|
|
233 |
|||
§ |
2. |
Некоторые методы минимизации |
|
функционалов . |
. |
. . |
247 |
||||
§ |
3. |
Задача оптимального управления со свободным правым концом |
257 |
§ |
4. |
Градиент функционала, связанного с |
дискретной |
управляемой |
|
|||||||||
|
|
системой. Условия оп ти м альн ости |
......................................... |
|
|
|
|
273' |
|
|||||
§ |
5. |
Минимизация квадратичного |
функционала. |
Примеры . |
. |
. |
284 |
|||||||
§ |
6. |
Оптимальное управление процессом нагрева |
стержня . |
. |
. |
294 |
||||||||
§ |
7. |
Оптимальное |
управление |
процессом |
колебания струны |
. |
. |
300' |
||||||
Г л а в а |
7. |
Методы решения |
задач |
б ы ст р о д е й ст в и я ................................. |
|
|
308 |
|
||||||
§ |
1. |
Постановка |
з а д а ч и ........................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
308- |
|
||
§ |
2. |
Вспомогательный |
аппарат. |
Критерии |
управляемости и |
опти |
314 |
|||||||
|
|
мальности |
............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
3. |
р-метод.............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321 |
|
§ |
4. |
П р и лож ен и я......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
327' |
|
|
Г л а в а 8. |
Регуляризация некорректно поставленныхэкстремальных |
задач |
337 |
|||||||||||
§ |
1. |
О некорректно |
поставленных задачах минимизации . |
. |
|
337 |
||||||||
§ |
2. |
Метод регуляризации А. Н. Тихонова |
|
............................................. |
|
|
|
339 |
||||||
§ |
3. |
Регуляризация при вычислении с погрешностями |
. . |
. . |
349 |
|||||||||
§ |
4. |
Регуляризация с помощью аппроксимации множества |
|
|
351 |
|||||||||
§ |
5. |
Усиленная регуляризация |
|
. ' .................................................. |
|
|
|
|
|
353- |
|
|||
Г л а в а |
|
9. Разностные |
аппроксимации |
задачоптимального управления |
35S |
|||||||||
§ |
1. |
Разностная |
аппроксимация |
для одной |
задачи |
минимизации |
|
|||||||
|
|
квадратичного |
ф у н к ц и о н а л а .................................................. |
|
|
|
|
|
355- |
|
||||
§ |
2. |
Разностная |
аппроксимация |
задачи |
об |
оптимальном нагреве |
|
|||||||
|
|
с т е р ж н я .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
361 |
|
Л и т е р а т у р а ........................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
364 |
|
П р е д и с л о в а е
В |
последние |
десятилетия весьма актуальными стали |
вопросы нанлучшего |
(в |
т.ом или |
ином смысле) управления различными |
процессами физики, |
техники, экономики и др. Сюда относится, например, задача опранизации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных
•затратах ресурсов; задача управления системой гидростанций и водо хранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии; задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима и многие другие задачи. К таким проблемам приводят также многие задачи вычис лительной математики, как, например, задача наилучшего приближения функций, задача минимизации невязки уравнения и др.
В математической постановке задачи сводятся к отысканию экстре мума (максимума или минимума) некоторой функции или функционала J(u ), выражающего собой качество (цену) управления и из заданного множества U некоторого пространства. Требование принадлежности управления и некоторому множеству U выражает собой ограничения, обычно вытекающие из ограниченности наличных ресурсов, возможностей технической реализации управления, нежелательности каких-либо запре щенных (аварийных) состояний и т. п. Задачи отыскания экстремума функционала J (и) на множестве U принято называть экстремальными за дачами. Заметим, что задача максимизации функционала J(u) на множе стве U эквивалентна задаче минимизации функционала —J (и) на том же множестве U, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач мини мизации.
С 50-х годов теория экстремальных задач обогатилась фундамен тальными результатами, потребности практики способствовали бурному развитию методов приближенного решения экстремальных задач.
В основу настоящей книги положен курс лекций по численным мето дам решения экстремальных задач, который автор в течение ряда лет чи тает студентам 3—4-го курса факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В книге изложены основы наи более часто используемых на практике методов’ приближенного решения экстремальных задач, теоретическое обоснование и краткая характеристи ка этих методов. Содержание книги можно разделить на две части. К первой относятся две первые главы, где рассматриваются методы мини-, мизации функций конечного числа переменных, во второй части — методы минимизации функционалов, заданных на множествах из функциональных (в основном гильбертовых) пространств н связанных с процессами, опи сываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнениями с частными производными.
Заманчиво было изложить методы минимизации в общем виде на языке функционального анализа в первой же части лекций, охватив при этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных и различных других классов функционалов. Однако
такой способ изложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-знатока, видимо, все же труден для первого знакомства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач.
Таким образом, принятое в книге расположение материала объяс няется стремлением автора, с одной стороны, сделать книгу доступной читателям, владеющим математикой в объеме программ технических вузов п желающим впервые ознакомиться с теорией и методами решения экстре мальных задач, с другой стороны, сохранить математическую строгость изложения. По этой причине материал, требующий для своего полного усвоения знаний элементов функционального анализа, излагается в более поздних главах книги. Заметим, впрочем, что отсутствие знаний по функ циональному анализу не будет мешать пониманию и усвоению излагае мых в этих главах основ методов и иллюстрирующих их конкретных при меров экстремальных задач, если только читатель будет готов некоторые утверждения принять не в их максимально общей форме.
Многие параграфы завершаются упражнениями, помогающими усво ить содержание основного текста и дополняющими его. Объем книги заставил автора ограничиться лишь небольшим количеством примеров экстремальных задач, иллюстрирующих описываемые в книге методы. Список литературы, приводимый в конце книги, никак не может претен довать на библиографическую полноту и не имеет целью отразить исто рические аспекты и чей-либо приоритет в рассматриваемых вопросах, а содержит лишь те работы, которые были непосредственно использованы в книге или близко примыкают к ней, дополняя ее содержание.
Нумерация формул, теорем, лемм, определений, упражнений в каж дом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в
пределах данного |
параграфа, |
имеют |
вид (А), вне |
данного |
параграфа, |
но |
в пределах данной |
главы — |
(В, А) |
вне данной |
главы — |
(С. В. А), |
где |
С — номер главы, В — номер параграфа, в котором находится упоми наемая формула, теорема или другой материал с номером А. Так, напри мер, теорема 3 из § 1 главы 2 в пределах данного § 1 именуется просто теоремой 3, в других параграфах 2-й главы — теоремой 1.3, в других главах — теоремой 2.1.3. Аналогично, при. ссылках на § В главы С в пределах главы С этот параграф будет именоваться просто § В, вне гла вы С — § С. А. Значок А в тексте означает окончание доказательства теорем, лемм.
Автор выражает глубокую благодарность академику А. Н. Тихонову
за внимание |
и поддержку при |
написании книги, |
В. Г. Карманову, |
М. С. Никольскому, Н. X. Розову, прочитавшим книгу |
в рукописи и сде |
||
лавшим ряд |
ценных замечаний, |
И. С. Березину, взявшему на себя труд |
по научному редактированию книги и своими советами способствовавшему улучшению содержания книги, устранившему многочисленные погрешности изложения. Автор весьма признателен В. Г. Курилову, В. И. Селиверсто
вой, А. С. |
Стрекаловскому за |
большую помощь в подготовке |
рукописи |
к изданию. |
|
|
|
Автор |
будет благодарен |
читателям за все замечания по |
содержа |
нию книги. |
|
|
|
Г л а в а 1
Минимизация функций одной переменной
|
|
§ |
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
||||
Пусть на |
множестве |
U— {и : а ^ .и ^ .Ь } |
числовой оси, |
где а |
и |
|||||||
b — заданные |
числа, |
— о о ^ а < & ^ )-(-о о , |
определена |
|
функция |
|||||||
/(и). Под задачей минимизации функции /(и) |
на |
множестве |
U |
|||||||||
будем понимать следующее: |
1) найти </* = |
inf J |
(и); |
2) |
если на |
U |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u£U |
u *^ U , |
|
|
|
|
нижняя |
грань достигается, |
то |
найти точку |
в |
которой |
|||||||
J ( u * ) = J * ; 3) |
если нижняя грань не достигается на |
U, то указать |
||||||||||
последовательность и0, щ, |
..., |
uk, |
u ^ U |
(k — 0, il, |
...) |
такую, что |
||||||
lim J (uk) = J*. |
Точку |
|
со свойством J (и*) = |
J* |
называют точ- |
|||||||
&—*oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кой минимума J (и) на U, а последовательность |
{uh} ^ U |
со свой |
||||||||||
ством: |
lim J (uk) = J" называют |
минимизирующей последователь- |
||||||||||
k-*oo |
|
|
на U. |
|
|
|
|
|
|
|
||
ностью для функции J (и) |
|
|
|
|
|
|
|
Что нам известно из классического математического анализа о методах решения этой задачи? Допустим, что /(и) кусочно-непре рывная и кусочно-гладкая функция на U. Тогда, как известно [126], минимум J (и) на U может достигаться лишь в тех точках ы е!7, в которых или J ' { u ) = 0, или J'(u) не-существует, или J (и) терпит разрыв, или же, в точках, являющихся граничными для множества U. Такие .точки принято называть точками, подозрительными на минимум. Если точки, подозрительные на минимум, найдены, то среди них нужно выбрать те, в которых в самом деле достигается минимум. Для этого обычно исследуется знак производной J'(u ) в окрестности подозрительной точки или знак второй производной J " (и) в этой точке, если J"(u) существует. В результате такого отбора определяются точки, в которых достигается, вообще говоря, лишь локальный минимум J (и) на U. Чтобы найти абсолютный минимум /(и) на U, остается перебрать все точки локального ми нимума и из них выбрать точку с наименьшим значением функции, если таковая существует.
Описанным способом поиска минимума можно воспользовать ся во всех тех случаях, когда функции и ее производные имеют достаточно простой вид, и без особых трудностей удается реали-
7
8 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ [Гл. I
зовать указанную выше схему отбора точки абсолютного миниму ма. К сожалению, этот подход лишь в редких случаях позволяет решить задачу минимизации функции J (и) на U. Дело в том, что вычисление производной J'(u) в практических задачах зачастую представляет большие трудности и нередко даже неизвестно, су ществует ли производная в интересующей нас точке. Возможно,
например, функция I{и ) |
задана лишь таблично или лишь извест |
но, что в любой точке |
значение /(«) может быть вычислено |
с нужной точностью, а сама функция задана неявно. В тех слу чаях, когда производная все же явно вычислена, решение уравне ния Г (и )— 0 может встретить серьезные трудности.
Поэтому важно иметь методы минимизации, не требующие вы числения производной и основанные лишь на вычислении значений функции в каких-либо специально подбираемых точках. В прак тических задачах вычисление значений функции также может ока заться весьма трудоемким делом, и здесь большую ценность приоб ретают методы, позволяющие решить задачу минимизации с тре буемой точностью на основе вычислений значений функции в воз можно меньшем количестве точек.
§ 2. ЗАДАЧИ А И Б. СТРОГО КВАЗИВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
Прежде чем переходить к изложению методов минимизации
функций |
одной переменной |
уточним |
постановку задачи. |
|||
Пусть функция |
J (и) |
определена |
на отрезке [а, |
Ь]— { и :а ^ . |
||
^ и ^ .Ь } |
и достигает |
на |
[а, |
Ь] своей |
нижней грани, |
и пусть тре |
буется минимизировать ее на [а, Ь]. В зависимости от того, инте ресует ли нас только точка минимума и*, или же наряду с и* мы
интересуемся еще и значением |
/ («*), |
следует |
различать две |
по |
||||
становки задачи минимизации [56]: |
|
|
|
|
||||
Задача А: |
Найти точку w *e[a, |
b] и значение |
|
|
||||
|
J |
(и') = |
inf |
J |
(и) = |
J". |
|
|
Задача Б\ |
Найти |
точку |
и *^ [а , Ь], |
в которой / (ц *)= / * |
(не |
|||
интересуясь самим значением J(u * )). |
|
|
|
|||||
Для приближенного решения |
этих |
задач |
обычно поступают |
|||||
следующим образом: |
1) вычисляют значения функции в каких-либо |
специальным образом подбираемых п точках и{, и2, ..., ип из от
резка |
[а, Ь]\ 2) перебором значений J (Ui) |
среди точек {«i} ( i= |
|||||||
= |
1, |
..., п) выделяют точку йп, в которой J |
(ип) = |
min/ (иг); |
|
||||
|
|
точек а, Ь, ии ..., ип |
|
|
|
|
1< £ <п |
|
|
3) |
из |
определяют точку |
а„, |
ближайшую |
к |
||||
йп слева, и точку Ьп, ближайшую |
к |
ип справа; |
4) |
в качестве |
и* |
||||
принимают какую-либо точку |
ип |
из отрезка [ап, Ьп]. При реше- |
|||||||
нии задачи А часто полагают |
♦ |
— |
(с вычисленным значением |
||||||
ип = |
ип |
§ 2] |
|
Задачи А и Б. |
Строго квазивыпуклые |
функции |
|
|
|
9 |
|||||
/ (« „ )); |
в задаче Б |
можно, например, взять |
и\ |
~ ( ап+Ьп) |
(зна |
||||||||
чение |
J(u*n) |
здесь нас не интересует). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Понятно, что такой порядок действий имеет смысл лишь в тех |
|||||||||||||
случаях, когда у нас есть основание считать, что |
и * е [ а п, |
6„]. |
|
Од |
|||||||||
нако нетрудно подобрать функцию (даже непрерывную), |
для |
ко |
|||||||||||
торой и *ф [ап, Ьп]. |
Укажем один важный класс функций, |
для |
ко |
||||||||||
торых всегда «*<=[«„, Ьп]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
О п р е д е л е н и е |
1. |
Функция / («), определенная на множестве |
|||||||||||
U = { и : а ^ .и ^ .Ь }, |
называется строго |
квазивыпуклой |
на |
U, |
если |
||||||||
существуют |
числа |
а, |
Р, |
а ^ а ^ р ^ б , |
такие, что: 1) |
J (и) |
строго |
||||||
монотонно убывает |
при |
a^ .u<Z а |
(если а < а ^ р ^ & ) ; |
2) J (и) |
|||||||||
строго |
монотонно |
возрастает при |
р < и ^ 6 |
*(если а ^ а ^ р с б ) ; |
|||||||||
3) J (и) = / * = jnf/(u) |
при а < « < р |
(если й ^ а < р ^ й ) ; 4) в точ- |
|||||||||||
|
|
и€(/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ках и = а |
и и = р выполняются у с л о в и я : / ( а ) п р и а = а ^ р ^ 6 |
; |
|||||
J (а — 0) — lim J (и) > J |
(а) > J* |
при |
а С а С Р ^ б ; |
J (b )^ tJ * при |
|||
|
и-за—О |
|
lim J (и) > J |
ф) > J* при |
|
|
|
й ^ а ^ Р = 6 ; / ( Р |
+ 0) = |
а ^ а < р < 6 ; |
и |
||||
наконец, |
в случае |
а < а = р < 6 |
: / * ^ / ( а ) < ;т а х {/ ( а — 0), 7 ( а + 0 |
} |
(эквивалентное и более изящное определение см. ниже в упраж
нении 3) |
[135]. |
|
Множество всех строго |
квазивыпуклых функций на отрезке |
|
а ^ .и ^ .Ь |
обозначим через |
Q[a, Ь]. Вот примеры таких функций: |
h (и) — u2<=Q[a, Ь] при любых a, b\ J 2(u) — |w | + «+ sign (u )eQ [a, 6]
при любых a, b\ |
J 3( u ) = j ^ |
’ |
принадлежит Q[a, 6] при |
|
l |
1» й ^ |
0 1 |
любых a, b. Функция |
|
|
|
/ 4(й) = |
{|“ 1, “ J o } e Q [ o . |
i], но m i - i , 1]. |
|
Очевидно, строго квазивыпуклая |
функция на U локальных ми |
нимумов не имеет, или, точнее говоря, любая точка локального минимума такой функции одновременно является точкой ее (абсо лютного) минимума на U. Если а < Р , то нижняя грань J (и) на U всегда достигается; если а = р , то нижняя грань может и не до стигаться. Множество всех тех функций из Q[a, b], которые до стигают своей нижней грани на [а, Ь], хотя бы в одной точке и*, обозначим через Q*[ct, Ь].
Задачи А и Б мы будем рассматривать на классе функций Q*(a, b], 0 < 6 — а < о о . Для функций этого класса, очевидно, спра
ведливо утверждение: если /(«„) s^m in{/(an), Ц Ь п)}, ап< й п< .Ьп,
то на |
отрезке |
[а„, Ъп] существует хотя бы одна точка минимума |
J (и) |
на [а, Ь]. |
Поэтому намеченная выше схема поиска минимума |
оправдана. |
|