Главы 1-4
.pdf1.Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и парал-
лельные горизонтальной плоскости проекций (h α (m, n) h h ОХ,h ОY)
(рис.4.3, а). Построение горизонтали начинается с фронтальной проекции h2. Все горизонтали одной плоскости между собой параллельны. Горизонталь есть геометрическое место точек плоскости, удаленных от плоскости П1 на одно и то же расстояние.
Рис. 4.1. Принадлежность прямой |
Рис. 4.2. Принадлежность прямой плоско- |
плоскости по двум точкам |
сти по точке и признаку |
пересечения |
параллельности |
2.Фронтали f – прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f α(m, n) f f ОХ, f ОZ) (рис.4.3, б). Построение фронтали начинается с горизонтальной проек-
ции f1 . Все фронтали одной плоскости параллельны между собой. Фронталь плоскости – это геометрическое место точек, удаленных от плоскости П2 на одно и то же расстояние.
3.Профильные прямые q – прямые, которые находятся в данной
плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р α (m, n) q q 1 ОХ q ОХ) (рис.4.3, в). Построение профильной прямой начинается с фронтальной проекции q2 . Все профильные прямые одной плоскости параллельны между собой. Профильная прямая плоскости – это геометрическое место точек, удаленных от плоскости П3 на одно и то же расстояние.
Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след – это горизонталь плоскости, фронтальный – фронталь и профильный – профильная линия плоскости.
51
а) |
б) |
в) |
Рис. 4.3. Особые прямые плоскости: а) горизонталь; б) фронталь; в) профильная прямая
Линия наибольшего наклона и еѐ проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол между данной плоскостью и плоскостью проекций.
Линия наибольшего наклона к П1 – прямая перпендикулярная к горизонтали плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П1 (α (h, A) p h) (рис.4.4, а).
Линия наибольшего наклона к П2 – прямая перпендикулярная к фронтали плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П2 (α (f, A) p f ) (рис.4.4, б).
а) |
б) |
в) |
Рис. 4.4. Линии наибольшего наклона плоскости: а) к плоскости П1; б) к плоскости П2; в) к плоскости П3
52
Линия наибольшего наклона к П3 – прямая перпендикулярная к профильной прямой плоскости, определяет угол наклона плоскости к плоскости проекций П3 (α (q, A) p q ) (рис.4.4, в).
4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
Рассмотрим различные положения плоскости относительно плоскостей проекций П1, П2 и П3 (рис. 4.5).
ПЛОСКОСТИ
Плоскости |
Плоскости |
общего положения |
частного положения |
Плоскости |
Плоскости |
уровня |
проецирующие |
Горизонтальная |
Фронтальная |
Профильная |
Горизонтальнопроецирующая |
Фронтальнопроецирующая |
Профильнопроецирующая |
Рис. 4.5. Классификация плоскостей по положению относительно плоскостей проекций
Плоскости в пространстве могут занимать общее (табл. 4.2) и частное положение (табл. 4.3, 4.4).
53
Таблица 4.2. Плоскости общего положения
Определение |
Модель |
и |
комплексный чертеж |
Плоскость общего положения –
плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций
Таблица 4.3. Плоскости уровня
Определение |
Модель |
и |
комплексный чертеж |
||
|
|
|
|
|
|
Фронтальная |
|
|
|
|
|
плоскость |
– |
это |
|
|
|
плоскость, |
парал- |
|
|
|
|
лельная плоскости |
|
|
|
||
проекций П2: |
|
|
|
|
|
•плоскость |
пересе- |
|
|
|
|
кает плоскость |
П1 |
|
|
|
|
параллельно |
оси |
|
|
|
|
ОХ, а плоскость П3 |
|
|
|
||
– по линии, парал- |
|
|
|
||
лельной оси OZ; |
|
|
|
||
плоскость П3 – па- |
|
|
|
||
раллельно оси ОY; |
|
|
|
||
• на плоскость П2 |
|
|
|
||
проецируется в н.в. |
|
|
|
||
Горизонтальная |
|
|
|
||
плоскость |
– |
это |
|
|
|
плоскость, |
парал- |
|
|
|
|
лельная плоскости |
|
|
|
||
проекции П1: |
|
|
|
|
|
•плоскость |
пересе- |
|
|
|
|
кает плоскость |
П2 |
|
|
|
|
параллельно |
оси |
|
|
|
|
ОХ, плоскость П3 – |
|
|
|
||
параллельно |
оси |
|
|
|
|
ОY; |
|
|
|
|
|
• на плоскость П1 |
|
|
|
||
проецируется в н.в. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
54
|
|
|
Окончание табл. 4.3 |
Определение |
Модель |
и |
комплексный чертеж |
Профильная плос-
кость – это плоскость, параллельная плоскости П3:
•плоскость пересекает плоскость проек-
ций П2 по линии, параллельно оси ОZ,
плоскость П1 – параллельно оси ОY;
•на плоскость П3 проецируется в н.в.
Плоскостью частного положения называют плоскость, которая либо перпендикулярна, либо параллельна одной из плоскостей проекций. Плоскости частного положения могут быть проецирующими (табл. 4.3) и плоскостями уровня (табл. 4.4).
Таблица 4.4. Проецирующие плоскости
Определение |
|
Модель |
и |
комплексный чертеж |
||
|
|
|
|
|
|
|
Горизонтально- |
|
|
|
|
|
|
проецирующая |
плос- |
|
|
|
||
кость – |
плоскость, |
|
|
|
||
перпендикулярная |
к |
|
|
|
||
плоскости |
проекций |
|
|
|
||
П1. Любой элемент, |
|
|
|
|||
лежащий в этой плос- |
|
|
|
|||
кости, проецируется на |
|
|
|
|||
плоскость П1 в прямую |
|
|
|
|||
линию: |
|
|
|
|
|
|
• горизонтальная |
про- |
|
|
|
||
екция |
плоскости |
|
|
|
||
A1B1C1 – прямая линия |
|
|
|
|||
(вырожденная |
проек- |
|
|
|
||
ция); |
|
|
|
|
|
|
• – угол наклона плос- |
|
|
|
|||
кости к П2; |
|
|
|
|
|
|
• – угол наклона плос- |
|
|
|
|||
кости к П3. |
|
|
|
|
|
|
55
|
|
|
Окончание табл. 4.4 |
Определение |
Модель |
и |
комплексный чертеж |
Фронтальнопроецирующая плоскость
– плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций П2. Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на плоскость П2 в прямую линию:
•фронтальная проекция
плоскости A2B2C2 – прямая линия (вырожденная проекция);
•α – угол наклона плоскости к плоскости П1;
•– угол наклона плоскости к плоскости П3.
Профильно-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная к плоскости проекций П3. Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на профильную плоскость проекций в прямую линию:
•профильная проекция
плоскости A3B3C3 – прямая линия (вырожденная проекция);
•α – угол наклона плоскости к плоскости П1;
•– угол наклона плоскости к плоскости П2.
Данные сравнительного анализа изображений плоскостей на комплексном чертеже (табл. 4.2 – 4.4) приведены в табл. 4.5.
56
Таблица 4.5. Анализ изображений плоскостей на комплексном чертеже
|
|
Расположение |
|
Наличие |
Наличие |
Наличие н.в. |
|
Плоскости |
в пространстве |
Расположение |
вырожденной |
углов |
|
|
относительно |
на чертеже |
проекции |
н.в. |
наклона к |
|
|
|
фигуры |
||||
|
|
П1 / П2 / П3 |
|
(прямой) |
П1/ П2/ П3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Общего |
|
Все проекции |
|
|
|
|
Произвольно |
фигуры с иска- |
Нет |
Нет |
Нет |
|
|
положения |
|||||
|
|
жением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одна проекция – |
|
|
|
|
Уровня |
Параллельно |
н.в., две проек- |
Есть |
Есть |
Есть |
|
ции–прямые па- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллельные оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две проекции – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с искажением, |
|
|
|
|
Проецирующие |
Перпендикулярно |
одна проекция – |
Есть |
Нет |
Есть |
|
|
|
прямая под углом |
|
|
|
|
|
|
к осям |
|
|
|
4.3.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:
прямая принадлежит плоскости;
прямая параллельна плоскости;
прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости.
Рассмотрим каждый случай.
1. Прямая принадлежит плоскости. Данный вариант описан в
п.4.1;
2. Прямая линия, параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости (рис.4.6).
3.Прямая линия, пересекает плоскость, если они имеют одну об-
щую точку. Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – одна из основных задач начертательной геометрии.
Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости со-
стоит из следующих этапов (рис. 4.7, а, б):
1. Построение вспомогательной секущей плоскости (чаще всего – проецирующей плоскости), которую проводят через заданную прямую l; 2. Построение линии пересечения t вспомогательной плоскости
изаданной плоскости (АВС);
57
а) б)
Рис. 4.6. Прямая р, проходящая через точку F параллельна плоскости: а – общего положения ( АВС); б – проецирующей α
а)
б) |
в) |
Рис. 4.7. Прямая l пересекается с плоскостью: а – модель; |
|
б – с плоскостью общего положения ( АВС); в – с |
плоскостью частного положения α |
58 |
|
3.Определение искомой точки F, как точки пересечения двух прямых – заданной l и полученной в результате пересечения плоскостей
–t;
4.Определение видимости прямой l относительно плоскости методом конкурирующих точек
Рассмотрим более подробно этапы этого алгоритма на примере построения точки пересечения прямой l и плоскости α (m, n), приведенном в табл. 4.6.
Точка пересечения прямой с плоскостью частного положения определяется точкой пересечения вырожденной проекции плоскости и проекции данной прямой (рис. 4.7, в).
Таблица 4.6. Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости
Этап построения точки пересечения |
Эпюр |
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью α (m, n), необходимо заключить прямую l во вспомогательную фронтально-проецирую- щую плоскость ( 2):
l2= 2
2. Строим линию пересечения t заданной плоскости α и вспомогательной плоскости :
l2= 2=t2
t2 – фронтальная проекция линии пересечения t. Строим точки 1 и 2 в двух проекциях и проводим горизонтальную проекцию линии пересечения t1 через точки 11 и 21
59
|
Окончание табл. 4.6 |
Этап построения точки пересечения |
Эпюр |
3. Отмечаем точку F (F1, F2) пересечения прямой l с линией пересечения плоскостей t:
t1∩l1 = F1; F2 l2
4. Определяем видимость прямой l относительно плоскости α (m, n) при помощи фронтально-конкурирующих точек 2, 3 и горизонтально-конкурирую- щих точек 4, 5.
Частный случай пересечения прямой и плоскости – перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендику-
лярна двум пересекающимся прямым уровня этой плоскости:
р α, если р h, p f, p q, т. е. р1 h1, p2 f2, p3 q3.
Прямая линия, перпендикулярная к плоскости общего положения – прямая общего положения (рис. 4.8, а). Через точку А проведена прямая р, перпендикулярная к плоскости α (m, n) . Для этого в плоскости α (m, n) определены горизонталь h и фронталь f , и горизонтальная проекция перпендикуляра р1 проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1, а фронтальная проекция p2 — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали f2 .
Прямая линия, перпендикулярная к плоскости частного положения
– прямая частного положения (рис. 4.8, б).
60