книги / Функции комплексного переменного и операционное исчисление
..pdff (t) |
|
2 p 3 |
|
|
|
|
e |
t |
|
1 |
|
|
|
|
2 p |
3 |
|
|
p |
3 |
e |
pt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( p |
4 |
p |
3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
3 |
( p |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
2! p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 p 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
t |
|
lim |
e |
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 p |
3 |
3 p |
2 |
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
2 p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
e |
t |
|
1 |
|
|
|
|
2t |
2 |
e |
pt |
|
|
|
2 |
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
2 |
|
te |
pt |
1 |
|
t |
2 |
e |
pt |
|
|||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( p |
1) |
3 |
|
|
( p 1) |
2 |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et 32 t2 t 1 .
2.3.Решение линейных дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами и их систем операционным методом
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами решаются по следующей схеме:
1. Пользуясь свойствами линейности и дифференцирования оригинала, переходим от данного дифференциального уравнения относительно искомой функции x(t) к операторному
уравнению относительно функции X ( p) .
2.Решая полученноеоператорноеуравнение, находим X ( p) .
3.Понайденномуизображению X ( p) находиморигинал x(t) .
При решении систем линейных дифференциальных уравнений каждое уравнение сводим к операторному и приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций. По найденным изображениям находим оригиналы.
Пример 2.17. Решить дифференциальное уравнение x x 2x e t при условиях x(0) 0 , x (0) 1.
41
Решение. Переходим к изображеням:
|
|
|
|
|
x(t) X ( p) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) pX ( p) x(0) |
pX ( p) , |
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
X ( p) px(0) |
|
|
|
|
2 |
|
X ( p) 1 , |
||||||||
x (t) p |
|
|
x (0) p |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Операторное уравнение имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p2 X ( p) pX ( p) 2X ( p) 1 |
|
1 |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
p 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X ( p)( p2 p 2) |
|
p 2 |
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
p 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X ( p) |
|
|
p 2 |
|
|
|
|
, |
|
||||||||
|
( p 1)( p 1)( p 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
X ( p) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По таблице оригиналов и изображений находим оригинал: x(t) sh t .
Пример 2.18. Решить систему уравнений
dx x y z,
dt
dy x y z,dt
dz x y z
dt
при начальных условиях: x(0) 0, |
y(0) 1, |
z(0) 0 . |
42
Решение.
Пусть x(t)
X ( p) , |
y(t) Y ( p) , |
z(t) Z ( p) , тогда |
|
|
|
|
|
|
(t) pX ( p) x(0) |
pX ( p) , |
|
x |
|||
|
|
|
|
y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 1,
z (t) pZ ( p) z(0) pZ ( p) .
Операторная система после преобразований примет вид:
X ( p)( p 1) Y ( p) Z ( p) 0,X ( p) Y ( p)( p 1) Z ( p) 1,
X ( p) Y ( p) Z ( p)( p 1) 0.
Решаем операторную систему по формулам Крамера:
|
p 1 |
1 |
|
1 |
|
p3 p2 p2 ( p 1), |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
1 |
p 1 |
1 |
|
|||||||||||
|
1 |
1 |
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X |
|
1 |
|
p 1 |
|
1 |
|
|
p 2, |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 0 |
|
1 |
|
p2 2, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Y |
|
1 1 |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
p 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p 1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Z |
1 |
p 1 |
1 |
|
p, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
X ( p) |
p 2 |
, Y ( p) |
p2 |
2 |
, |
Z ( p) |
1 |
|
. |
|
p2 ( p 1) |
p2 ( p 1) |
p( p |
1) |
|||||||
|
|
|
|
|
43
Для нахождения оригиналов разложим каждую дробь на простейшие:
X ( p) |
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
, x(t) 2t 1 et ; |
||||
p2 |
|
p |
p 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Y ( p) |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
, y(t) 2t 2 et ; |
||||
|
p2 |
p |
|
p |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z ( p) |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
, z(t) 1 et . |
|||||||
|
p |
|
p |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Решение интегродифференциальных уравнений
При анализе нестационарных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами активного сопротивления R, индуктивности L и емкости C, соединенными последовательно (рис. 4), на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений тока будем иметь интегродифференциальное уравнение
|
di(t) |
|
1 |
t |
L |
dt |
Ri(t) |
|
i(t)dt UC (0) U (t) , |
|
||||
|
|
C 0 |
где i(t) – ток в электрической цепи; U (t) – напряжение на входе; UC (0) – начальное напряжение на емкости.
R
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(t) |
|
C |
||
|
L
Рис. 2.4
Интегродифференциальное уравнение решается операционным методом.
44
Пример 2.19. Для цепи (рис. 2.4) определить ток нестационарного режима при следующих параметрах: UC 0 ,
i(0) 0, R 2, L 1, C 12 . Функция U (t) напряжения на входе задана графиком (рис. 2.5).
U(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
t |
||
|
|
Рис. 2.5. |
|
|
Решение. |
|
|
U (t) имеет вид: |
|
Аналитическое выражение функции |
U (t) 1(t) 1(t 1) .
При заданных параметрах задача сводится к решению уравнения
di(t) 2i(t) 2 t i(t)dt 1(t) 1(t dt 0
Перейдем к изображениям:
i(t) I ( p) ,
di(t) pI ( p) i(0) pI ( p) dt
t |
i(t)dt |
I ( p) |
, |
|
|||
0 |
|
p |
|
1(t) 1(t 1) 1p 1p e p .
1) .
,
45
Решаем операторное уравнение
pI ( p) 2I ( p) 2p I ( p) 1p 1p e p ,
находим:
I ( p) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e p |
|
p2 2 p 2 |
|
|
p2 |
2 p |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
e p , |
||
|
( p 1)2 1 |
p |
2 |
|
2 p 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
i(t) e t sin t e (t 1) |
sin(t 1) 1(t 1) . |
46
Глава 3 ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ
3.1. Функции комплексного переменного
Задача 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1.1. 1 2i5 2 i10 . 3 2i
1.2. |
|
|
2 i5 |
|
1 i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
19 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.3. |
|
3 5i7 |
2 3i |
|
1 |
2i |
. |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.4. |
|
1 i 2 |
|
3 4i8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
4i |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3i |
|
|
|
|
|
|||||||||
1.5. |
|
1 2i3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
3 4i9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.6. |
|
4 i12 |
|
|
|
|
4 i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 i5 |
1 4i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.7. |
1 i40 |
|
2 i20 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 i |
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.8. |
|
2 i3 |
|
|
4 |
3 2i |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 2i5 |
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.9. |
|
2 3i3 |
|
|
3 4i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 4i5 |
|
2 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.10. |
1 i5 |
|
|
i(2 3i |
3 ) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 3i |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.11. |
(3 2i7 ) (3 2i) i10 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1.12. |
1 2i7 |
|
|
i13 (2 i) |
. |
|
||||||||||||||||
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2i |
|
|
|
|
|
|
||||
1.13. |
|
4 i11 |
|
|
1 3i7 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 i |
|
|
|
|
|
|
||||
1.14. |
|
3 i |
|
|
i15 ( 3 2i) |
|
||||||||||||||||
|
2 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i40 |
|
|
|
||||||
1.15. |
|
2 i16 |
|
|
|
3 2i7 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
||||
1.16. |
|
5 i |
|
|
i31 ( 1 i) |
. |
|
|||||||||||||||
1 2i |
|
|
|
|
|
|
5 i6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.17. |
|
4i20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5i |
21 |
|
. |
|
|
|
||||
|
3 4i7 |
|
|
|
3 |
|
4i5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.18. |
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
i15 |
. |
|
|
|
||||||||
1 2i3 |
|
|
|
4 3i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.19. |
|
8 i3 |
|
3( 1 i11 ) . |
||||||||||||||||||
|
2 3i |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|||
1.20. |
|
3 5i7 |
|
|
|
|
i40 ( 1 i) |
|||||||||||||||
|
1 2i |
|
|
|
|
|
|
|
7 i4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.21. |
|
6i16 |
|
|
|
|
|
|
2 3i |
. |
|
|
|
|||||||||
|
2 3i |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.22. |
|
2 3i |
3 |
|
|
|
3 4i5 |
|
. |
|
||||||||||||
|
3 4i |
|
|
|
|
|
2 3i |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.23. |
|
2 5i9 |
|
|
|
|
|
5 2i |
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
5 2i |
|
|
|
|
2 |
|
5i5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.
47
1.24. |
2 3i8 |
|
|
4 i5 |
. |
1.28. |
i12 (1 i) |
|
1 2i . |
|||||
4 i |
|
2 3i |
2 i |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2i |
||||||
1.25. |
2 5i3 |
5 2i15 . |
1.29. |
i7 (1 i) |
|
2 i10 . |
||||||||
|
5 2i |
|
|
2 5i |
|
2 i |
|
|
3 2i |
|||||
|
4 i9 |
|
1 3i7 |
|
2 2i |
|
i23 |
. |
||||||
1.26. |
|
|
|
|
|
. |
1.30. |
i17 |
|
|
||||
3 i |
|
4 i |
2 2i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.27. |
7i28 |
|
|
|
2 i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
2 i7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа, изобразить число на плоскости. Записать число в тригонометрической и показательной формах.
2.1. |
а) |
Z 3 3i ; |
|
б) |
Z 3 |
|
3i . |
|
2.2. |
а) |
Z 5 5i ; |
|
б) |
Z |
2 |
6i . |
|
2.3. |
а) |
Z 4 4i ; |
|
б) |
Z 3 |
|
3i . |
|
2.4. |
а) |
Z 3 3i ; |
|
б) Z |
6 |
2i . |
||
2.5. |
а) |
Z 7 7i ; |
|
б) |
Z |
3 i . |
||
2.6. |
а) |
Z 5 5 3i |
; |
б) |
Z |
7 |
7i . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2.7. |
а) |
Z 6 6i ; |
|
б) Z |
3 |
i . |
||
2.8. |
а) |
Z 5 5 3i |
; |
б) |
Z |
8 |
|
8i . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2.9. |
а) |
Z 2 2i ; |
|
б) Z |
54 18i . |
|||
2.10. а) |
Z 5 ( 1 |
3i) ; |
б) |
Z |
7 |
7i . |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2.11. а) |
Z 8 8i ; |
|
б) Z |
6 |
|
2i . |
||
2.12. а) |
Z 5 5 3i ; |
б) Z |
7 |
|
7i . |
|||
2.13. а) |
Z 9 9i ; |
|
б) |
Z |
2 |
6i . |
||
2.14. а) |
Z 7 3 7i ; |
б) Z |
5 |
5i . |
48
2.15. а) Z 5 5i ; |
б) Z |
|
6 |
2i . |
|||||
2.16. а) Z 7 |
3 7i ; |
б) Z 4 4i . |
|
||||||
2.17. а) Z 7 |
3 7i ; |
б) Z |
2 2i . |
|
|||||
2.18. а) |
Z 3 3i ; |
б) |
Z |
|
2 |
6i . |
|||
2.19. а) |
Z 7 |
3 7i ; |
б) |
Z |
|
2 |
2i . |
||
2.20. а) |
Z 4 4 |
3i ; |
б) Z |
8 |
|
8i . |
|||
2.21. а) Z 3 3 |
3i ; |
б) Z |
|
3 |
3i . |
||||
2.22. а) Z 4 4 |
3i ; |
б) Z |
|
2 |
2i . |
||||
2.23. а) Z 3 3 |
3i ; |
б) Z |
5 |
|
5i . |
||||
2.24. а) Z 4 4 |
3i ; |
б) Z |
|
5 |
5i . |
||||
2.25. а) |
Z 3 |
3 3i ; |
б) Z |
1 |
6 |
|
6i . |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2.26. а) |
Z 4 4 |
3i ; |
б) |
Z 2 2i . |
|
||||
2.27. а) |
Z 3 |
3 3i ; |
б) |
Z 8 8i . |
|
|
|||
2.28. а) |
Z 3 3 |
3i ; |
б) |
Z 2 2i . |
|
||||
2.29. а) |
Z 3 |
3 3i ; |
б) Z |
6 |
|
6i . |
|||
2.30. а) |
Z 3 3i ; |
б) |
Z 4 4i . |
|
Задача 3. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
3.1. |
(1 i)12 ( 3 i)5 . |
|
3.5. |
(1 i)12 |
(1 3i)5 . |
|||||||
|
(1 i)9 |
|
|
|
|
|
32( |
3 i)5 |
|
|||
3.2. |
( 1 i)9 (1 |
3i)3 . |
3.6. |
(1 i)15 |
( 1 |
3i)9 . |
||||||
|
|
2(1 i)10 |
|
|
|
|
2(1 3i)16 |
|||||
3.3. |
(1 3i)10 |
|
|
|
|
3.7. |
(1 i)20 |
( 1 3i)7 |
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
||
(1 i) |
8 |
(1 |
3i) |
7 |
|
(1 |
14 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3i) |
|
|||||
3.4. |
( 1 i)20 ( 3 i)5 |
. |
3.8. |
( 1 i)8 (1 3i)5 |
||||||||
( 3 i)17 |
|
|
8( 1 3i)4 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
49
3.9. |
|
( 1 3i)7 |
|
|
|
. |
|
|
3.20. |
4( 3 i)5 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
( 1 i)4 |
(1 |
3i)7 |
|
|
|
(1 i)8 |
( |
3 i)4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.10. |
( 1 3i)8 |
. |
|
|
3.21. |
( 2)11 (1 i)11 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
(1 i)4 |
(1 |
3i)4 |
|
|
(1 3i)9 |
( 1 3i)4 |
|||||||||||||||||||||||
3.11. |
( 1 i)8 (1 3i)7 |
. |
3.22. |
4( 3 i)5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(1 |
|
11 |
|
|
|
|
|
(1 i) |
8 |
( |
3 i) |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.12. |
(1 |
3i)6 (1 i)11 |
. |
|
3.23. |
(2i)13 (1 i)7 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
(1 i) |
9 |
|
|
|
|
|
12 |
( 1 i) |
6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 3i) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2( 1 3i)5 |
|
|
|
|
|
3.24. |
( 1 i)4 ( 3 i)7 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
3.13. ( 1 i)4 (1 |
3i)5 . |
( |
3 i)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
13 |
|
|
16( 1 |
3i) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.14. |
( 1 |
3i) |
|
(1 i) . |
3.25. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(1 i)4 |
(1 |
3i)7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4(1 i)15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.15. |
|
4( 3 i)7 |
|
|
. |
|
|
3.26. |
( 3 i)5 (2i)3 |
|
. |
||||||||||||||||||
(1 i)12 |
( |
|
3 i)4 |
|
|
( 3 i)7 ( 1 i)4 |
|||||||||||||||||||||||
3.16. |
|
4( 3 i)7 |
|
|
. |
|
|
3.27. |
( 3 i)7 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 i)8 (1 |
|
3i)5 |
||||||||||||||||||
(1 i)12 |
( |
|
3 i)4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
( |
|
3 i)17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.17. |
(1 i) |
( |
3 i) |
|
|
|
|
. |
3.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
8(1 |
3i)10 |
|
|
|
|
(1 i)20 ( |
3 i)5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.18. |
|
4( 1 i)11 |
|
|
|
|
. |
3.29. |
(1 i)3 |
(1 |
3i)9 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
( 1 |
3i)6 (1 i)3 |
(1 i)21 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.19. |
(2i)10 (1 i)7 |
|
. |
|
3.30. |
(2i)7 (1 |
3i)16 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(1 |
3i)12 (1 i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 3i)23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти все значения корня. Построить их на плоскости.
4.1. а) |
3 |
3 3 3i ; |
б) |
4 1 i 3 . |
|
|
|
|
2 |
4.2. а) |
3 |
7 7i ; |
б) |
3 1 . |
50