книги / Гидравлика
..pdfПроисходит конденсация, сопровождающаяся смыканием пузырьков и полостей с паром. В точках смыкания давление достигает десятков мегапаскалей (сотен атмосфер), а температура 1000…1500 °C. Если точки смыкания пузырьков и полостей с паром лежат на внутренней поверхности трубы, канала, проточной части, то происходит выкрашивание материала. Это явление называется кавитационной эрозией. Высокая температура способствует окислительным процессам. В этом случае говорят
окавитационной коррозии.
Вгидравлических системах кавитация вредна. Нарушается сплошность потока жидкости, уменьшается плотность, увеличивается сжимаемость, разрушаются внутренние поверхности гидроэлементов, ускоряется старение рабочих жидкостей.
Наиболее эффективный способ борьбы с кавитацией – исключение парообразования в гидросистеме. Поэтому давление в системе всегда должно быть больше давления насыщенных паров.
Известны полезные применения кавитации. Это кавитационные нагреватели, смесители жидкостей, диспергаторы, эмульгаторы, устройства для очистки внутренних поверхностей труб и т.п.
Выше была рассмотрена паровая гидродинамическая кави-
тация. Если необходимое изменение давления в жидкости достигается прохождением акустических волн, то кавитация называется паровой акустической. Существуют и другие виды кавитации. Кавитационные пузырьки и полости могут образовываться при снижении давления за счет выделения из жидкости растворенных газов. Это газовая кавитация. На практике чаще встречается парогазовая кавитация.
Вдействительности кавитация (рождение и захлопывание газовых пузырьков в жидкости) является более сложным физи- ко-химическим процессом, который кроме ударных волн (местного повышения давления и температуры) может сопровождаться ультразвуковым и ультрафиолетовым излучениями, активизацией химических реакций [27].
21
2. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ
Гидростатика – это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкости.
Под равновесием понимается состояние покоя (неподвижности) жидкости по отношению к выбранному телу отсчета. Покой жидкости относительно Земли называется абсолютным. Покой жидкости по отношению к равноускоренно или равнозамедленно движущемуся сосуду, в котором она находится, име-
нуется относительным.
2.1. Гидростатическое давление и его свойства
Вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, выделим малый объем ∆V (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Разобьем этот объем на две части плоскостью, проходящей через точку А. В пространстве секущая плоскость может располагаться произвольно. Отбросим верхнюю часть объема, а ее действие на площадку ∆s заменим соответствующими поверхностными силами, применив принцип освобождения от связей.
Предположим, что равнодействующая поверхностных сил ∆R приложена в точке А.
22
Разложим ее на две составляющие ∆T и ∆F. Составляющая ∆T находится в плоскости сечения, а составляющая ∆F направлена по нормали к плоскости. Для покоящейся ньютоновской жидкости ∆T = 0, так как скорость во всех ее точках равна нулю.
В результате на площадку ∆s действует только нормальная составляющая ∆F. Она является сжимающей силой, действие которой уравновешивается со стороны оставшейся части объема силой ∆F , равной по величине, но противоположной по направлению. Благодаря этому равновесие жидкости не нарушается.
Если взять отношение ∆F к площади ∆s и рассмотреть его предел при ∆s → 0, то получим физическую величину, называемую давлением в жидкости в точке, к которой стягивается площадка ∆s:
p = lim |
∆F |
= dF . |
(2.1) |
∆s→0 |
∆s |
ds |
|
Давление – это мера интенсивности поверхностных сил внутри жидкости, возникающих под действием внешних поверхностных и массовых сил.
Давление в покоящейся жидкости называется гидростати-
ческим.
Единица давления в СИ [ p] = 1 Па (паскаль), названная
в честь французского физика и математика Блеза Паскаля (1623–1662). На практике используются и другие системные и внесистемные единицы давления: мм рт. ст.; м вод. ст.; бар; техническая атмосфера (ат); физическая атмосфера (атм). Они связаны с паскалем следующими соотношениями:
1 мм рт. ст. = 133,3 Па; 1 м вод. ст. = 9808,65 Па; 1 бар = 1 105 Па;
1 ат = 0,981 105 Па;
23
1 атм = 1,013 105 Па.
При измерении давления в жидкости используют понятия абсолютного, атмосферного, избыточного давления и давления вакуума.
Абсолютное давление pабс – давление в жидкости, отсчитываемое от нуля.
Атмосферное давление pа – давление, создаваемое окру-
жающей воздушной средой. Отсчитывается от нуля. Измеряется барометрами.
Если абсолютное давление в жидкости больше атмосферного pабс > pа, то имеет место избыточное давление.
Избыточное давление – это превышение абсолютного давления над атмосферным:
pизб = pабс − pа.
Отсчитывается от атмосферного давления. Измеряется манометрами.
Если абсолютное давление в жидкости меньше атмосферного давления pабс < pа, то говорят о разрежении, или вакууме.
Давление вакуума – это недостаток абсолютного давления до атмосферного:
pвак = pа − pабс.
Абсолютное давление в жидкости может уменьшаться до давле-
ния насыщенных паров |
pн.п, |
при котором начинается кипение. |
||||||
Поэтому существует |
предельное значение давления вакуума |
|||||||
в жидкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pпр |
= p |
− p |
. |
|
|
|
|
|
вак |
а |
н.п |
|
|
|
|
Для воды при |
Θ = 20 °C |
давление насыщенных |
паров |
||||
p |
= 2,4 103 Па. Тогда |
pпр |
= p |
− p |
|
= (101,3 – 2,4) 103 |
Па = |
|
н.п |
|
|
вак |
а |
н.п |
|
|
= 98,9 кПа.
24
Давление вакуума в жидкости отсчитывается от атмосферного давления. Изменяется от нуля до предельного значения. Измеряется вакуумметрами.
Соотношения между указанными давлениями можно проиллюстрировать графически (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Атмосферное и избыточное давления, давление вакуума по типу измерительного прибора называются соответственно ба-
рометрическим, манометрическим и вакуумметрическим.
Гидростатическое давление обладает двумя свойствами. 1. На внешней поверхности жидкости оно направлено по
нормали внутрь объема жидкости. Следует из определения
(см. формулу (2.1)): так как ∆s – скаляр, то направление давления совпадает с направлением сжимающей силы, нормальной
кповерхности.
2.В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от на-
клона площадки ∆s, по которой оно определяется. Это свойство
было установлено Б. Паскалем. Является одним из основных положений гидростатики. Физически свойство обусловлено тем,
25
что покоящаяся жидкость не передает касательные и растягивающие силы, а воспринимает только всестороннее сжатие. Любая жидкая частица сжата со всех сторон одинаково.
2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Рассмотрим покоящуюся однородную несжимаемую жидкость. С пространством, которое она занимает, свяжем неподвижную относительно земли прямоугольную систему координат 0xyz. Внутри жидкости произвольно выделим жидкую частицу в виде элементарного прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис. 2.3).
Рис. 2.3
В центре параллелепипеда выберем точку А с координатами x, y, z. Гидростатическое давление в этой точке является непрерывной функцией ее координат:
p = p(x, y, z).
26
Уравнения равновесия жидкости могут быть получены из условия равенства нулю суммы всех сил, действующих на элементарный параллелепипед (жидкую частицу).
Рассмотрим условие равновесия сил в проекции на ось x. Полученные результаты могут быть обобщены на оставшиеся координаты y и z.
Левая и правая грани параллелепипеда (см. рис. 2.3) отсто-
ят от точки А по оси x на расстоянии ± dx2 . Выразим давление в центрах этих граней через давление в точке А:
|
|
|
|
p |
л |
= p − ∂p dx |
, |
p = p + ∂p dx |
, |
||
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
п |
∂x 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
∂p |
= |
∂ |
p(x, y, z) – частная производная, |
характеризующая |
||||||
∂x |
∂x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интенсивность изменения давления вдоль оси x при неизменных значениях y и z, соответствующих центрам рассматриваемых граней;
∂∂px dx2
чину dx2 относительно точки А.
Принимая давления pл и pп в качестве средних значений
на гранях, можно определить элементарные силы давления на левую и правую грани:
dF |
= p |
ds |
л |
= |
p − |
∂p dx dydz, |
||
лх |
л |
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
dF |
= p ds |
= |
p + |
∂p dx dydz. |
||||
пх |
п |
п |
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
На выделенный объем кроме элементарных поверхностных сил (2.2) действуют массовые силы, равнодействующая которых приложена в точке А:
dM =ρdVj,
где ρ – плотность жидкости;
dV = dxdydz – объем элементарного параллелепипеда;
j – единичная массовая сила с проекциями на соответствующие оси координат jx = X , jy =Y , jz = Z.
Проекция элементарной массовой силы на ось x
dM х = ρXdxdydz. |
(2.3) |
Запишем уравнение равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x:
dFлх −dFпх +dM х = 0 .
Учитывая соотношения (2.2) и (2.3), находим
|
∂p dx |
|
∂p dx |
||
p − |
∂x 2 |
dydz − p + |
∂x 2 |
dydz +ρXdxdydz = 0. |
|
|
|
|
|
После несложных преобразований получаем
∂∂px =ρX .
Рассуждая подобным образом, можно прийти к аналогичным уравнениям для оставшихся пространственных координат и окончательно записать:
∂p |
=ρX , |
(2.4) |
∂x |
|
|
∂p |
=ρY , |
(2.5) |
∂y |
|
|
28
∂p |
=ρZ. |
(2.6) |
∂z |
|
|
Уравнения (2.4)–(2.6) – это уравнения равновесия жидкости. Они были получены в 1755 г. Леонардом Эйлером (1707– 1783).
Из уравнений Эйлера следует, что в однородной несжимаемой покоящейся жидкости изменение давления вдоль координат x, y, z происходит за счет соответствующих проекций X, Y, Z единичной массовой силы j.
2.3. Давление в произвольной точке жидкости
Умножим уравнения (2.4)–(2.6) соответственно на dx, dy и dz. Далее почленно сложим их. В результате получим
∂∂px dx + ∂∂py dy + ∂∂pz ∂z =ρ(Xdx +Ydy + Zdz).
Левая часть этого соотношения представляет собой полный дифференциал давления
dp = dp(x, y, z) = ∂∂px dx + dp∂y dy + ∂∂pz dz ,
который характеризует полное приращение давления при изменении координат x, y, z на dx, dy, dz. Поэтому можно записать
dp =ρ(Xdx +Ydy + Zdz). |
(2.7) |
Выражение (2.7) позволяет определить давление в любой точке покоящейся жидкости при произвольно направленной массовой силе.
29
2.3.1. Гидростатический закон распределения давления
Рассмотрим однородную жидкость, находящуюся в поле сил тяжести. Это означает, что на жидкость действует только одна массовая сила – сила тяжести, а жидкие частицы испытывают только ускорение свободного падения. В этом случае для проекций единичной массовой силы имеем:
X = 0, Y = 0, Z = −g,
где g – ускорение свободного падения.
Подставляя эти значения в уравнение (2.7), находим dp = −ρgdz.
В силу того, что ρ = const, g = const |
можно записать |
d( p +ρgz) = 0. |
|
Отсюда следует |
|
p +ρgz = const. |
(2.8) |
Соотношение (2.8) выражает гидростатический закон рас-
пределения давления в жидкости. Согласно этому закону для любой точки покоящейся однородной жидкости в пределах занимаемого объема сумма p +ρgz есть величина постоянная
(имеет одно и то же численное значение).
Вжидкости выберем точку А (рис. 2.4). Пусть давление
вэтой точке равно p.
Рис. 2.4
30