книги / Сборник задач по общей физике
..pdfтакой системы относительно |
оси, перпендикулярной |
стержню |
и проходящей через точку О, |
лежащую на оси стержня. |
Принять |
m = 0,1 кг.
2. Тонкий однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. С каким угловым ускорением вращается стержень, если на него действует вращающий момент М = 98,1 мН·м?
3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающей с одной из его образующих (рисунок).
4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей че-
рез центр платформы, делая 0,5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.
5.Диск катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия диска равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию поступательного и вращательного движения диска.
6.Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона
α= 25°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения стала 4,6 м/с.
7.Зависимость потенциальной энергии тела в центральном
поле от расстояния r до центра поля задается функцией WÏ (r) rA2 Br (А = 6 мкДж·м2, В = 0,3 мДж·м). Определите,
при каком значении r потенциальная энергия тела принимает максимальное значение.
8. В узкую пробирку налита вода до уровня 10 см. Когда пробирку отклонили на некоторый угол от вертикали, давление
221
воды на ее дно уменьшилось в 2 раза. При этом из пробирки не вылилось ни капли воды. Определите угол, на который отклонили пробирку от вертикали.
9.На тело, погруженное в воду, действует сила Архимеда, составляющая шестую часть его веса в воде. Определите плотность тела.
10.На конце нити, перекинутой через блок, подвешено тело массой 30 г. Другой конец нити соединен с легкой пружиной, к которой прикреплено тело массой 50 г. Длина пружины в нерастянутом состоянии 10 см. Под действием силы 0,1 Н пружина удлиняется на 2 см. Найдите длину пружины во время движения грузов.
Модуль 2. Динамика вращательного движения
Вариант 23
1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m относи-
тельно оси ОО′ (рисунок). Груз принять за материальную точку.
2.Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его
плоскости. Зависимость угловой скорости от времени дается уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найдите касательную силу, приложенную к ободу диска.
3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг его оси симметрии.
4.Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим
мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м2?
222
5.К ободу сплошного однородного диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила F = 20 Н. Определите кинетическую энергию диска через 5 с после начала действия силы.
6.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, уменьшил частоту своего вращения с 240 до 120 об/мин. Определите работу сил торможения.
7.Какова первая космическая скорость для планеты, масса
ирадиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?
8.Аквариум прямоугольной формы на 2/3 объема заполнен водой. Определите величину силы давления воды на стенку аквариума длиной 40 см и высотой 30 см.
9.Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уров-
нем воды на высоту 2 см. Найдите массу льдины, если площадь ее основания 200 см2. Плотность льда 900 кг/м3.
10.На горизонтальном диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит шайба массой 150 г. Шайба соединена с осью диска легкой пружиной длиной в недеформированном состоянии 20 см. Определите жесткость пружины, если при угловой скорости диска 4 рад/с пружина растягивается на 2 см. Коэффициент трения между шайбой и поверхностью диска 0,2.
Модуль 2. Динамика вращательного движения
Вариант 24
1. На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инерции та-
кой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси, стержня (рисунок). Принять m = 0,1 кг.
223
2.На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой 10 кг. Определите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2 м/с2.
3.Два однородных тонких стержня: АВ
длиной l1 = 40 см и массой m1 = 900 г и CD длиной l2 = 40 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рисунок). Определите момент импульса системы стерж-
ней, вращающейся с частотой ν относительно оси ОО′, проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.
4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит в центре платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние от человека до центра станет равным R/4? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.
5.Шар массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 5 об/с. Найдите полную кинетическую энергию шара.
6.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит на расстоянии 3 м от центра платформы. Когда человек переместился на расстояние 1 м от центра платформы, частота вращения стала равной 22 об/с. Платформа – однородный диск, человек – точечная масса. Найдите работу, совершаемую человеком.
7.Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определите его скорость и период вращения.
8.В U-образную трубку налита ртуть. Сверху в одно колено заливают 68 г воды. Площадь сечения трубки 1 см2, плотность
ртути 13,6·103 кг/м3. Определите, на сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом.
224
9.При взвешивании в воздухе тело объемом 1000 см3 было уравновешено медными гирями общей массой 890 г. Какой массы
гири необходимо добавить при взвешивании этого тела в вакууме? Плотность меди 8,9·103 кг/м3, воздуха – 1,2 кг/м3.
10.Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.
Модуль 2. Динамика вращательного движения
Вариант 25
1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m отно-
сительно оси ОО′ (рисунок). Груз принять за материальную точку.
2.На барабан массой m1 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m2 = 2 кг. Определите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
3.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как показано на рисунке. Определите момент импульса системы, вращающейся с частотой ν относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.
4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 0,5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние от человека до центра станет рав-
225
ным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.
5.Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 20 об/с, равна 20 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.
6.Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 об., остановился. Определите момент М силы торможения.
7.Вычислите первую космическую скорость у поверхности Луны, если ее радиус 1760 км, а ускорение свободного падения
уповерхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
8.На какой глубине в озере давление в 3 раза больше атмосферного давления р0 = 100 кПа?
9.Железобетонная плита размером 4 0,3 0,25 м погружена в воду на половину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на плиту?
10.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью 50 Н/м. К свободному концу пружины приложили горизонтальную силу, растягивающую пружину. Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,4.
Модуль 3. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Вариант 1
1. Уравнение |
гармонических колебаний имеет вид |
x 4,2sin(πt 2 |
π 8) см. Чему равны период, амплитуда и на- |
чальная фаза этих колебаний?
226
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колеба-
ний в виде x Asin t 0 .
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимостьпроекции скорости vx от времени.
4. Уравнение движения точки дано в виде x sin(πt6), см.
Найдите моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.
5.К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1 Дж, найдите коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5 см.
6.Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Сначала ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний дисков.
7.Постройте векторную диаграмму сложения амплитуд и напишите уравнение результирующего гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, задан-
ных уравнениями х1 = 4sin t, см, и x2 = 3sin( t + /2), см.
8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями х = 2sin( 0t+ /2), см, и у = 2sin 0t, см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.
9.Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определите логарифмический декремент затухания.
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси х. Уравнение незатухающих колебаний источника дано в виде
227
у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 c после начала колебаний.
11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 20 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 2
1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением х =
=5cos2π(t 1/8), см.
2.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармони-
ческих колебаний в виде x Asin t 0 .
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
5.Материальная точка массой 20 г колеблется по уравнению
x5sin πt5 π4 см. Найдите период колебаний, максималь-
ную силу, действующую на точку, и ее полную энергию.
228
6.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.
7.Точка участвует в двух одинаково направленных коле-
баниях: х1 = А1sin t и х2 = А2соs t, где А1 = 1 см, А2 = 2 см,= 1 рад/с. Определите амплитуду результирующих колебаний и их частоту.
8.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: х = 2sin t и у = 2cos t. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.
9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 5 мин?
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х.
Уравнение незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение колебаний для точки, отстоящей на расстояние 600 м от источника колебаний, если скорость волны 300 м/с.
11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна /3, а частота колебаний 25 Гц.
Модуль 3. Колебания и волны
Вариант 3
1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x 0,1sin π(t8 14), м. Чему равны амплитуда, частота и началь-
ная фаза колебаний?
2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена
графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний
в виде x Asin t 0 .
229
3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Постройте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.
4.Амплитуда гармонических колебаний 5 см, период 4 с. Найдите максимальную скорость колеблющейся точки и максимальное ускорение.
5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки
А= 0,3 см, полная энергия колебаний W = 3 · 10–7 Дж. При каком
смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 10–5 Н?
6.Как соотносятся частоты колебаний математических маятников, если длины соотносятся как 1:4?
7. Найдите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями х1 = 3sin t см, и x2 = 4sin( t + /2), см. Напишите уравнение результирующего колебания и постройте векторную диаграмму сложения амплитуд.
8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями х = sin t/2 и у = cos t (длина – в см, время – в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте
еес соблюдением масштаба и укажитенаправлениедвижения.
9.За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в3 раза. Определите коэффициент затухания.
10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-
ние колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение волны, если скорость распространения колебаний
300м/с.
11.Волны распространяются со скоростью 75 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 2 м. Найдите период колебаний.
230