книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

Глава 11. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Сначала рассмотрим движение одной материальной точки мас­ сой т под действием силы/7. По П закону Ньютона

т

Л

Чтобы в левой части уравнения получить изменение кинетиче­ ской энергии, умножим его обе части скалярно на вектор скорости о :

аи _	= _
т-----о	= г -о
Л

и внесем о под знак производной (для сохранения равенства разде­ лим левую часть на 2):

а й )

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, к ней приложенной.

Это теорема о кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.

11.1.Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме

Перейдем к системе п материальных точек. На к-ю точку систе­ мы действует внешняя сила/7*6 и внутренняя/7* . Запишем (11.1) для

всех точек системы:

d_ mkv 2k — (Fk + Fk ^ • и*, к — 1, n, dt

или в обозначениях предыдущей главы:

(	г\
d_	mkv k = N £ + N L k = l,n.
dt

Суммируя по всем точкам системы и вынося d/dt за знак суммы, получим

f = 1 > г + х > 1 ,		( 11-2)
аг к=1	к=1

Z *=1

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальным точкам системы.

Теорему в дифференциальной форме (11.2) применяют обычно для составления дифференциального уравнения движения механи­ ческой системы с 1-й степенью свободы. Для оценки скоростей то­ чек системы применяют теорему в конечной форме.

11.2. Теорема об изменении кипетической энергии системы в конечной форме

Рассмотрим конечное перемещение механической системы. Обозначим перемещение к-й точки по ее траектории через sk. Про­ интегрируем (11.2):

dT = J 2 N kdt‘ + J 2				N kdt,‘
	А=1		*=1
] >	= £	f	dAz + E f M I .
Го	*=«	5*		k=l Sk

По определению интеграл от элементарной работы есть работа на конечном перемещении:

T - T o ^ A l + Y . A l		(11.3)
*=i	*=i

ТЕОРЕМА. Изменение кинетической энергии механической системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на этом пере­ мещении.

11.3. Случай неизменяемой системы

Уравнения (11.2) и (11.3) могут быть существенно упрощены для так называемой неизменяемой системы, для которой сумма мощностей внутренних сил равна О,

х > ; = ° -	(Ц.4)
*=i

Это справедливо для внутренних сил, действующих между точ­ ками абсолютно твердого тела.

Найдем сумму мощностей двух внутренних сил взаимодейст­ вия точек А и В тела (рис. 11.1), совершающего произвольное дви­ жение:

N , + N 2 = F I\)A cosa + F 2u Bcos(l80°—p) =

= Fi(pAc o s a - o fi cos(3).

По известной теореме кинематики проекции скоростей двух то­ чек произвольно движущегося твердого тела на прямую, соединяю­ щую эти точки, равны. Поэтому получим, что N \ + N 2 = 0. Так как внутренние силы входят в систему действующих на тело сил попар­ но, а по Ш закону Ньютона действие равно противодействию, то это ведет к выполнению (11.4) и, сле­ довательно, к равенству нулю сум­ мы работ всех внутренних сил:

£ 4 = 0 .

(11.5)

к= 1

Нетрудно показать, что урав­ нения (11.4) и (11.5) выполняются

для системы твердых тел, соединенных нерастяжимыми связями. Системы с такими связями условно называют неизменяемыми.

Для неизменяемой системы теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии (11.2) и (11.3) приобретают вид

(11.6)

dt к

Т - Т 0 = ^ А ‘к.

(11.7)

к = 1

В уравнения входят мощности и работы только внешних сил. Теоремы упрощаются еще более, если на движущуюся систему

наложены стационарные и идеальные связи, для которых сумма мощностей и сумма работ реакций связей равны 0. Примерами та­ ких связей являются связи без трения (реакция перпендикулярна скорости ее точки приложения) и связи, наложенные на твердое те­ ло, катящееся без скольжения по твердой поверхности (точка при­ ложения реакции является мгновенным центром скоростей, т. е. имеет скорость, равную 0). В случае идеальных связей в уравнения (11.6) и (11.7) войдут только внешние активные силы.

Рассмотренный ниже пример непосредственно отношения к за­ дачам биомеханики не имеет, хотя перекатывание наблюдается при ходьбе человека (перекатывание стопы). Близко к этому примеру качение по футбольному полю неожиданно упавшего и сгруппиро­ вавшегося футболиста и т. п.

11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости

Центру масс С сплошного однородного круглого катка сооб­ щим скорость о о, направленную вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту (рис. 11.2). Определить, какое расстояние пройдет точка С до полной остановки катка, если каток движется без проскальзывания. Составить также дифферен­ циальное уравнение движения центра масс катка.

Решение. Рассмотрим каток как абсолютно твердое тело, на ко­ торое наложены идеальные связи, и применим теорему в конечной форме (11.7), учитывая из внешних сил только активную силу — силу тяжести катка Р :

Т — Т0 ~ Ар.

(11.8)

Каток совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определится по формуле (10.10)

Т = - М ь 2с + - J c(o2.

2 2

Поскольку точка касания Си является мгновенным центром скоростей сечения катка, то

ю= о C/R,

ис учетом формулы осевого момента инерции

J C= - M R 2

2

получим выражение для кинетической энергии катка в произволь­ ный момент времени:

Т = - М и 2с + - - - M R 2^ - = - M U2c.			(11.9)
2	2 2	R 2 4

Работа силы тяжести на перемещении С0С* = 5 (рис. 11.2)

Ар = -Ph — -M gs sin а.

(11.10)

Учитывая, что в начальный момент времени и с = и 0, а в конеч­ ный о с = 0, из (11.8)-(11-10) получим решение задачи:

j2

—Mu о = —Mgs sin a,

4

Для составления дифференциального уравнения движения цен­ тра масс катка удобнее воспользоваться теоремой (11.6), в которой вновь учтем только силу Р,

( 11. 11)

По определению мощность

N р = Р •о с = —Mgoc sin a.

Продифференцируем по времени выражение для кинетической энергии (11.9):

и все это подставим в (11.11):

— дифференциальное уравнение движения центра масс.

11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты

Известно, что специально подготовленные люди (каскадеры, артисты цирка) могут спрыгнуть с большой высоты (10 м и выше) и приземлиться, избежав травм. Оценить, какие перегрузки испы­ тывает человек, прыгнувший с высоты Я (рис. 11.3).

Решение. Сначала уточним условие. Пусть Я — начальная вы­ сота над поверхностью центра масс человека. Перед прыжком чело­ век находился в покое.

\R

Р

0,6L

Е

Рис. 11.3

Рассмотрим простейшую модель человека в виде материальной точки с массой, равной массе человека и расположенной в центре масс. В фазе свободного падения на точку действует только сила тя­ жести Р (при Н ~ 10 м максимальная сила сопротивления воздуха может достигнуть 0,05Р и при более точных расчетах ее надо учи­ тывать). В фазе приземления на точку действует также сила сопро­ тивления невесомых ног R .

Пусть центр масс С тормозится на отрезке С0С* (см. рис. 11.3). Торможение начинается на высоте, составляющей К % от роста че­ ловека, а полная остановка центра масс происходит на расстоянии h от поверхности. Применим теорему об изменении кинетической энергии (11.7) на конечном перемещении от начала прыжка (Г0 = 0) до полной остановки (Г= 0):

0 — Ар + Ал ,

0 = Р(Н - Л)—/?ср(АГ 1/100 - h),

где L — рост человека.

Приведенные соотношения дают среднее значение силы сопро­ тивления

При прыжке с большой высоты человек сначала приземляется на ноги, а затем перекатывается на спине или падает вперед на руки. Можно принять, что h = 0,2 м. П ри Я = 10 м, L = 1,7 м, К= 60 % по­ лучим Rep= 12Р.

Человек испытывает на протяжении всего пути торможения 12-кратную перегрузку. В случае линейной зависимости R от рас­ стояния (пример 2.3.2) максимальное значение R в 2 раза больше среднего. При нелинейной зависимости, например экспоненциаль­ ной, максимальные перегрузки должны получиться еще больше. Однако если учесть диссипацию энергии в теле человека, то значе­ ния R снизятся. Полное решение задачи приземления требует ин­ формации о свойствах тканей человеческого тела и механизмах управления мышцами.

Но даже исходя из приближенного решения можно указать на факторы, уменьшающие перегрузку при приземлении. В начале прыжка необходимо понизить положение центра масс. К моменту касания поверхности центр масс должен занимать как можно более высокое положение (поднять вверх руки, использовать обувь на толстой подошве и т. п.). В конце торможения центр масс должен быть максимально приближен к поверхности. И наконец, важную роль играют упругопластические свойства материала, на который происходит приземление.

11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении

Рассмотрим движение механической системы относительно подвижной системы координат, движущейся поступательно с уско­ рением асвместе с центром масс механической системы (рис. 11.4).

На к-ю точку системы действует внешняя сила Fk и внутрен­ няя сила Fk . Так как подвижная система неинерциональна, то к этим силам надо условно добавить переносную и кориолисову силы инерции. Переносная сила инерции F™ = —ткаА = —ткас,

поскольку во всех точках подвижной системы переносное ускоре­ ние аА = ас по свойствам поступательное движение. Кориолисова сила инерции равна 0, так как переносная угловая скорость со е = 0 (см. (3.2)).

По сравнению с (11.1) в теорему об изменении кинетической энергии к-й точки системы в относительном движении войдет так­ же мощность переносной силы инерции:

d_ т . j i	+ № + Л " Щ , к = 1, и. (11.12)
=
dt

где и * — относительная скорость точки. При суммировании по всем точкам системы последнее слагаемое обращается в нуль:

	= - а с Y тк\5к = - а с ■Ш 'с = О,
*=1	*=1

где Ос — скорость центра масс в подвижной системе Cx'/z'. С уче­ том этого при суммировании уравнений (11.12) для всех точек сис­ темы получим теорему в том же виде, как и в неподвижной системе отсчета (11.2),

	dT'	£ И )	+ Е И	(11.13)
	dt
		*=1	*=1

На конечном относительном перемещении системы теорема имеет такой же вид, как (11.3),

г'-г»=2(^0 +ЁИ )

(и-14)

*=i 7

Таким образом, в относительном перемещении механической системы по отношению к системе координат, связанной с центром масс и движущейся поступательно, теоремы об изменении кинети­ ческой энергии записываются так же, как и в неподвижной системе координат.

В заключение рассмотрим примеры, для решения каждого из ко­ торых требуется применение нескольких общих теорем динамики.

11.6. Пример. Вращение гимнаста на перекладине

Определить реакцию перекладины, действующей на руки гим­ наста при прохождении им наинизшего положения, если он начина­ ет вращение из вертикальной стойки на руках (рис. 11.5) с ничтож­ но малой угловой скоростью. Масса гимнаста М, радиус инерции относительно перекладины рин, расстояние от центра масс до пере­ кладины L Все указанные величины считать константами.

Решение. Рассмотрим гимнаста как абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О (см. рис. 11.5). Связь — идеальный цилиндрический шарнир. При произвольном положении гимнаста на него действуют сила тяжести Р и составляющие Х 0, У0 реакции цилиндрического шарнира.

По теореме о движении центра масс (7.1)

	Мас = Р + Х о + У0,	(11.15)
	Мах + Мап = Р + X о + Уо .
	Из уравнений проекций на оси получим
	Х 0 = —Мах cosq> + Мапsinф,
	У0 —Р — Мах sinср —Мапcoscp,	(11.16)
	az = г£,ап = со2 £.

Для нахождения^ и У0 необходимо знать угловую скорость те­ ла со и угловое ускорение е, которые мы определим для произволь­ ного положения гимнаста по теореме об изменении кинетической энергии в конечной форме (11.7), причем будем учитывать только внешние активные силы:

Т — То = Ар,