книги / Механика композитных материалов. 1982, т. 18, 2
.pdf2. Теория прямой линии нё учитывает неоднородности^ деформации поперечного сдвига, обусловленной различием упругих свойств материа лов слоев. Поэтому рассматривается модель, основанная на предполо жении о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, вызван ных поперечными сдвигами каждого слоя, и удовлетворении на поверх ности контакта смежных слоев условиям непрерывности перемещений и напряжений [2]. Это дает возможность выразить перемещения и углы по ворота всех слоев через соответствующие величины одного из них и та ким образом получить уравнения, порядок которых не зависит от числа слоев. В этом случае получаем следующее распределение перемещений по толщине пакета:
= U + aiya{0) + у (фа + |
а(0)) ; |
U$i = V + Й 7Р(0) + Y (ФР + ^г7Р(0) ) ; |
Uy{ = W + WT\ |
где Y<X<0), Yp(0) — углы поворота, вызванные поперечным сдвигом в слое, внутри которого проходит координатная поверхность; величины аг-, 6*, си di зависят от упругих свойств и толщин слоев и определяются из условий непрерывности перемещений и касательных напряжений на поверхностях
контакта смежных слоев.
Соотношения упругости для рассматриваемого варианта теории обо лочек имеют вид
Р = Св+DK + Ец + t\ Qa= Kiуа(0); Qp= Я2ур(0)>
где |
P = {Na, |
Wp, |
Wap, |
Npa, |
Ma, Mp, |
Map, Mpa}; e={ea, ep, eap}; x = |
||
= |
, |
x |
{ |
<3Ya<°> |
|
dy^O) |
(9^р(°) |
dyp(0) |
( x a , xp, Xap) ; T] = \ ------ "j------ , |
dp |
У*(0 ). |
Yp(0) |
|||||
|
|
|
|
da |
|
da |
dp |
Здесь C, Z), E — матрицы соответствующих размеров, элементы которых являются функциями геометрических и механических параметров обо лочки. Компоненты вектора t определяются температурными воздейст виями.
3. Принятие гипотезы прямой линии приводит к линейному измене нию перемещений и напряжений по толщине, что не всегда согласуется с известными решениями трехмерных задач. В связи с этим предлагается модель рассматриваемого класса оболочек, основанная на предположе ниях, аналогичных допущениям уточненной теории однослойных оболо чек постоянной толщины [3], а именно:
а) касательные напряжения rav и tpv изменяются по толщине /-го слоя по заданным законам, удовлетворяющим условиям контакта смеж ных слоев, —
|
Tavi =/ii(a, R V)Ф(a, Р) + — |
/и+ (сс, р, у) [-<,«* (а, р, Yi) б^ — |
|||
|
~ W |
(а, р, у;) б2‘] + |
U r (а, р, 7 |
) X |
|
|
х [-СТа’ЧоС. Р.Т^ОбИ-'-ТарЧсС. Р, ?i-l) 6 2i_1] + |
||||
|
+/i+ (a, р, у)<7а++ / г(а , р, y )q a+ |
№ |
|||
|
(a«-*p, 1«-*2, |
ф- |
|
||
|
|
|
|||
б) |
относительная деформация по толщине i-го слоя еу{ = аг{Т; |
||||
в) |
нормальными напряжениями av' пренебрегаем. |
|
|||
В формуле (1) (ja~>Qр— поверхностные нагрузки, приложенные на |
|||||
внешней и внутренней поверхностях оболочки; б!*', 62\ |
63* — косинусы уг |
||||
лов между нормалью |
к |
поверхности контакта смежных слоев у = у- и |
|||
направлениями а, р, у |
соответственно. Функции /,± f2±, /и± f2i± выбира |
ются такими, чтобы выражения (1) удовлетворяли условиям контакта слоев. Из этих предположений следует нелинейный закон распределения перемещений по толщине каждого слоя:
Uai = U + y'f)'a + #iZ)1i + tf1UTi; и у' = Ц) + Х!)т*\
Hi=A{\+k2'y\ (a«-*p, \*-*2, А++В),
где Di\ D2i зависят от значений напряжений оа, ар, тар на поверхности контакта смежных слоев и функций <р, ф, а и тi, v T{ являются функциями
температурных и поверхностных нагрузок.
Соотношения упругости в рассмотренном варианте теории оболочек запишутся
_ |
дО |
дП |
V 1 ( |
. доз |
P = BoO+Bi—-— \-В2———Н |
\ GoMai+GiW— -----(- |
|||
|
да |
дВ |
тт I |
да |
|
+ 02,я - | i |
|
|
|
Р = |
{ N a , N p t Л/<х0» |
•Л/'ра, М ау Мр, М ару М ра , Q a , Q p }i |
||
|
0 = { и } Vyfta, 'б'р, Ф, 'If»}; |
|
||
(TJ = {OaJ(Vi—i) » ° a J (Vj)> |
¥ ( y H ), |
ap^(7j)f |
Tapj (Yi-i)» W (Y j)}, |
|
|
9 = {?a+, <7 cT, ?p+, <7 |Г}> |
|
||
где Бо, 5 Ь fi2, |
G0(j), G ^\ G2(j), Af0, Afb M2 — матрицы соответствующих |
размеров, а компоненты вектора t зависят от интегральных характерис тик температурного поля.
Из исходных соотношений, предложенных теорией, после ряда преоб разований получаем системы дифференциальных уравнений десятого по рядка [1,2].
На основе указанных моделей разработаны эффективные методы ре шения задач статики анизотропных слоистых оболочек вращения произ вольного очертания и некруговых цилиндрических оболочек. Методы ре шения этих классов задач основаны на сведении двухмерных краевых задач к одномерным и интегрировании последних устойчивым численным методом дискретной ортогонализации [4].
Для оценки применимости допущений рассмотренных моделей прово дилось сопоставление результатов решения задач в приближенной и трехмерной постановках.
Сравнительный анализ был проведен для свободно опертой по торцам трехслойной цилиндрической оболочки симметричного строения под
действием внешнего давления qn = qo |sin * (q0= const). Материал
каждого слоя изотропный, модуль упругости наружных слоев равен £, а среднего — dE. Толщины слоев соответственно равны ft и Я. При вычис-
|
|
Табл. 1 |
|
|
Табл. 2 |
Отношение |
модулей |
упругости |
Отношение модулей |
упругости d |
|
|
d |
|
|
|
|
1 |
ю-1 |
10-3 |
1 |
Ю-» |
ю-3 |
0,283 |
0,314 |
0,301 |
0,477 |
0,17510 |
0,481 - 10 |
0,704 |
0,782 |
0,781 |
0,477 |
0,147 - 10 |
0,477 • 10 |
0,306 |
0,722 |
0,285 |
0,480 |
0,17610 |
0,505 • 10 |
0,302 |
0,669 |
0,213 |
0,501 |
0,14810 |
0,289. 10 |
Лениях принималось /=50; # = 2 ; h = 0,2; р=21; d= 1; 10"1; 10-®. Рас сматривали два варианта распределения напряжений Tsv по толщине: а) квадратная парабола; б) TSV в среднем слое не зависит от у, а в на ружных меняется по линейному закону.
В первой и второй строках табл. 1 находятся значения Xsy/щ на по верхности контакта среднего слоя с внутренним и внешним, полученные на основе предположений а) и б), а в третьей и четвертой — из решения трехмерной задачи [5].
В первых двух строках табл. 2 даны значения uv/W3 q0E~l, получен ные при задании законов распределения TSV в форме а) и б), в третьей — максимальные значения радиального перемещения в точном решении, в четвертой — значения, вычисленные по классической теории недеформируемых нормалей.
Для рассматриваемой оболочки несимметричность распределения т8у по толщине с уменьшением d увеличивается. Задание закона распреде ления TsVв форме а) приводит к более близким к точным значениям на поверхности контакта в случае однородных (d=l) или существенно не однородных (б?=0,001) оболочек, а в форме б) — в случае оболочек, мо дули упругости слоев которых отличаются на порядок (d = 0,l). Исполь зуемая теория дает неплохое приближение к точному для максимального значения иъ в то время как классическая теория дает значительно за ниженные значения прогиба.
На основе разработанных подходов выполнен расчет конструктивного элемента в виде трехслойной конической оболочки, жестко закрепленной на правом контуре, а на левом — соединенной с недеформируемым жест ким центром, передающим на оболочку антисимметричную нагрузку, рав нодействующая которой равна силе R*. Оболочка находится также и под
2
— I cos0; 0< s < / , где
I — длина оболочки. Здесь s — длина дуги меридиана; 0 — центральный угол в параллельном круге.
Толщина наружных слоев равна h, а среднего — Н, их упругие харак
теристики равны соответственно £i = l,88£o; v=0,25 и £,i=0,025£0; v= = 0,25. Решение задачи выполнено по теории прямой линии для всего пакета оболочки в целом при следующих значениях параметров: г(0) = = 48,3; cos ф = 0,926; а = 52,168; 6= 137,872; Н= 1,293; Л = 0,242; /= 187,872. Здесь все линейные размеры отнесены к единице длины.
Результаты решения задачи приведены на рис. 1, 2 для амплитудных значений (при 0= 0) радиальных их и осевых иг перемещений для поверх-
0.8
0,2 о,< 0,6 цв |
-1.21---- |
1----- |
1----- |
1----- |
1 |
|
0,2 |
0,i |
0.6 |
0,8 |
|
Рис. 1. 1 — ы*/ю< <70£<г '; 2 — |
Рис. 2. |
1 — uz/RxEo-u, 2 — |
|||
иг/ 10* q0E0- 1. |
|
UtlRxEo-'. |
|
постной qy и контурной R* нагрузок отдельно. При действии нормального давления перемещения вдоль меридиана изменяются немонотонно, до стигая максимума вблизи заделанного контура. При действии силы перемещения монотонно убывают от своих наибольших значений, дости гаемых на левом контуре. Полные углы поворота на левом контуре
равны т\)8/яоЕ <г1= -0,788- 102; |
^вМ оЕ0- { = |
—0,127 • 104; г|)в//?*£<г1= — 0,899; |
|
ypQ/R*E0- l= —0,183 • 102. Значения углов |
поворота, обусловленных попе |
||
речными сдвигами, |
равны |
соответственно у8^оЕ0~1= —0,538 • 102; |
|
yQlqoE<rl= —0,129• 104; |
y8/R*E0- l= -0,874; yQ/R,E0-' = -0,183• 102. От |
сюда следует, что полные углы поворота определяются в основном попе речными сдвигами. Это указывает, что при расчете напряженно-дефор мированного состояния оболочечных элементов конструкций данного класса следует учитывать поперечные сдвиги.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Василенко А. Т., Голуб Г. П., Григоренко Я. М. Определение напряженного со стояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной по становке. — Прикл. механика, 1976, т. 12, № 2, с. 40—47.
2.Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Об учете неоднородности поперечного сдвига
по толщине в слоистых оболочках. — Прикл. механика, 1977, т. 13, № 10, с. 36—42.
3.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 446 с.
4.Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обык
новенных дифференциальных уравнений. — Успехи мат. наук, 1961, т. '16, № 3,
с.171— 174.
5.Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. К расчету напряженного
состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек. — Прикл. механика, 1974, т. 10, № 5, с. 86—93.
Институт механики АН Украинской ССР, |
Поступило в редакцию 17.07.80 |
Киев |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, М 2, с. 258— 262
УДК 624.074.001:539.3
Б. Л. Пелех, Б. М. Дивеев, И. Б. Бутитер
НЕКОТОРЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
3*. ОПТИМИЗАЦИЯ ВИБРОЗАЩИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Задача оптимизации виброзащитных свойств элементов конструкций часто требует расчета динамических процессов в сложных дискретно континуальных системах, содержащих тонкостенные элементы. При по иске оптимального решения в этом классе задач приходится сталки ваться с трудностью удовлетворения разных, зачастую противоречивых критериев, например, минимальная масса — максимальная прочность [1], устойчивость, ограничения на собственные частоты [2].
В данной работе предложено решение одного класса задач, а именно: оптимизация виброзащитных свойств многослойной цилиндрической обо лочки при использовании ее как несущего элемента в некоторой простой механической цепи.
1. Определение динамических свойств оболочки. Рассмотрим много слойную круговую цилиндрическую оболочку, состояние которой описы вается соотношениями [3]. Если оболочка изготовлена намоткой, то, как известно, имеет место симметрия реологических соотношений относи тельно координатной поверхности аз = 0 и главные оси ортотропии совпа дают с он, <Х2. При такой симметрии реологических свойств система урав нений для оболочки при осесимметричной нагрузке распадается на две — осесимметричный изгиб и кручение. Для осесимметричного изгиба урав нения динамического равновесия будут
Qi(iVo)+ |
<52Q,(Co) |
dQ2(bo) |
d2Xrz^RC'^ |
H |
dor(RL'°) |
1 |
0, |
|
dz |
- Т г2(ЯЛГ'о) _ |
|
dz2 |
^ |
||||
|
_ dz |
|
|
dz |
|
|
||
Ql№,+ |
dz |
dz |
|
dz2 |
|
dz |
- |
0. |
|
|
|
|
( 1. 1) |
||||
dQi<*r> + Q2(S) + |
dXrztRN’d — Or(HS')= |
|
|
|
|
|
||
0; |
Q l = R j ^ |
L _ p R |
d *U |
|
||||
dz~ |
dz |
|
|
dz |
|
dt2 ’ |
||
|
|
Q2= R dxrz |
_ |
d2uT |
|
|
|
|
Здесь No, Co,..., S коэффициенты в представлении перемещений на основании кинематических гипотез [3]
Uz= Nr-^-+NoUzo+CQd- p ^ + N iuzl + Ci <?2“21 |
||
dz |
dz2 |
dz2 |
|
duz, |
( 1.2) |
ur=Suro+Lo ~ - + Ll dUz' |
||
|
dz |
dz |
* Сообщение 2 см. [4].
Альтернативные граничные условия будут
/ |
dQi™ + Q2№o). |
дхГ2<лс'°> — Orr<JtL'0>— (TzzIIINo>) |
6и2о; |
||
\ |
дГ~ |
dz |
|
|
|
|
(Qу(Со) - |
Тг2<лс'о>_ Tr2(RU))б du zo |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
( _ а„(ЛС„))б-d2uzo |
’ |
|
|
|
|
|
dz2 |
|
(1.3) |
|
/ |
<30i(Ci) |
лт <яс',) |
|
\ |
|
|
6u2l; |
||||
|
+Q2<L’)+ “ ^ k -------arr( ^ '.) - a 22(^,)J |
||||
|
|
|
du2l |
|
|
|
|
|
dz |
’ |
|
|
( _ 022(лс,))б-d2Uz |
’ |
|
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
|
(Q,(jvr)_ Tr2(flN'r) - |
Ти(Я8>) 6ur0; ( - |
azz(HJVr))6 |
rO |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dz ’ |
|
|
|
л |
|
)' = |
<5 |
где выражения вида Л<в) обозначают Л(в>= JABdr, ( |
— ( ). |
||||
|
|
■н |
|
|
иг |
Особенно простой вид уравнения (1.1)—(1.3) применяют для диск ретного закрепления слоистой цилиндрической оболочки, т. е. когда на ее лицевых поверхностях заданы перемещения. Тогда N0= l —r2/h2y- N{ =
= r - r 3/A2; S = 1—r2jh2\ NT=CQ= C\ = LQ= L\=Q.
Некоторые числовые результаты для случая дискретного закрепления приведены на рис. 1. Здесь все параметры выбраны такими же, как в [4].
В случае чистого кручения можно заметить, что условие отсутствия напряжений на лицевых поверхностях цилиндрической оболочки можно удовлетворить и при принятии более простой, чем в [3], кинематической гипотезы: u(p= Ru(p0(z). Так же, как в [3], получаем уравнение динамиче ского равновесия
h |
h |
где А= J*R3Gdr\ |
В= J R3pdr. |
-h |
-h |
В дальнейшем нам понадобится пере ходная матрица оболочки. Она опреде ляет связь между силовыми факторами и
Рис. 1. Мнимая часть |
входного импеданса трехслойной цилиндрической оболочки. |
/7 = 0,2 (/) |
и 0,8 (2). G{ = G3; б 2/б , = Я; р,=р2 = р3; а = со/1]/б7 рГ |
Рис. |
2. Механическая схема. Пояснения в тексте. |
И'ереЫещ'ейиями, зад&йнЫМ'й йа Краях йекоторой механической системы. В данном случае она будет иметь вид
’ М{1) |
cos kl |
— 2nAks\nkl |
M ( 0 ) |
|
и{1) |
sin kl |
cos kl |
u(0) |
|
2nAk |
||||
|
|
|
--
(1.4)
п
p,
- £ (М - R i -
<-1
2. Механическая схема. Рассмотрим цилиндрическую оболочку, на ходящуюся под воздействием стационарной случайной нагрузки. Реше ние будем искать методом спектральных преобразований [5]. Можно оп тимизировать виброзащитные свойства оболочки, используя (1.4) или какую-нибудь другую переходную матрицу. Но часто приходится учиты вать совместную работу оболочки с некоторыми другими системами. В частности, если оболочка работает как несущий элемент в раме бензи номоторной пилы, то механическую схему можно представить в виде, данном на рис. 2. На рис. 2 обозначено: / — цилиндрическая стойка; II — руль совместно с рессорным креплением к стойке; III — механиче ский аналог рук человека-оператора.
Рассмотрим только простейший линейный одномерный случай. Обоз начим переходные матрицы для I, II, III соответственно (А), (В), а вход
ной импеданс для III — Fh. Получим систему линейных алгебраических уравнений
|
|
|
|
|
|
( 2. 1) |
|
|
Pl+ = - P 2~; |
ui+=u2~; |
Р2+= - Л г ; |
и2+=«за |
|||
интересующая нас зависимость и2+ от и г из (2.1) будет |
|||||||
|
( ----J T ~ +a^ ) «и - |
( |
— Т 7 ^ +а21) а-л |
||||
|
\ cs + k |
/ |
\ |
cs-hk |
|
/ |
|
|
И2+= <- |
- М - cs+k—ап |
+ ^21 )+йц |
■«г |
|||
|
|
|
|||||
или |
«2+=Ф(5)ыг; |
|
|
1 |
о |
s = t(0 |
|
[В]= [ (cs+fe)-1 |
1 |
||||||
|
Таким образом, задача свелась к классической задаче оптимальной виброзащиты в линейной постановке. Для ее решения необходимо за дать спектральную плотность входного воздействия иг, критерий вибро защиты и критерий управляемости. Традиционным является следующий
выбор этих критериев: величина дисперсии виброускорений на входе системы
Р= J |Ф ((Vo) |25((<й)rfco;
точность воспроизведения линейного закона движения, заданного на входе,
J \u2+ - u r \ 2d t = ~ J |(Ф(5)-1)иг(«)|*Ло. |
( 2.2) |
Но так как в данном случае наиболее опасным является диапазон вибра ций с частотой около 100 Гц и вследствие расходимости интеграла (2.2) в данном случае были приняты следующие критерии:
200 |
|
min J |max(|(D(s) |2S(s) —фо, 0) |dco— |
(2.3) |
50 |
|
критерий виброзащиты и 1/Ф (0) — статическая жесткость. |
Здесь |
S(/G)) — спектральная плотность входного сигнала, т. е. U\~\ <p0 — до пустимый уровень вибраций.
Величина S(iсо) выбиралась по экспериментальным данным. Хорошей аппроксимацией для S является так называемый синусоидальный шум:
4аа(а + а)Рп
CL= coo + ie.
(со2 + а2) (о)2 + а2)
Дальнейшие числовые подсчеты сделаны для входного импеданса Fiu равного
р__ (C2S + k 2) (lTlpS2 + C\S + k \ )
hmps2+ (ci + c2)s+ki + k2
3.Метод решения. Для решения задачи был применен алгоритм скользящего допуска. При применении этого метода удовлетворяется произвольное число ограничений любого вида, например, масса, геомет рические размеры, механические характеристики, прочность и т. д. Для безусловной минимизации был применен алгоритм из класса методов по иска — метод деформируемого многогранника. Этот метод оказывается особенно эффективным в подобных задачах, поскольку целевая функция имеет сложный вид и применение других методов безусловной минимиза ции, например, градиентных, не представляется целесообразным. Сле
дует отметить еще два преимущества алгоритма скользящего допуска: по мере приближения к искомому решению задачи постоянно уменьша ется область нарушения ограничений задаче, что ведет к уменьшению времени нахождения минимума; другим преимуществом является то, что оказывается удобным использовать в качестве критерия окончания по иска суммарное среднее квадратичное отклонение центра тяжести от вер шин многогранника.
За целевую функцию было выбрано выражение (2.3). За ограничения были выбраны статическая жесткость, масса, геометрические размеры. Была рассмотрена трехслойная оболочка со следующими параметрами: / (длина) =0,25 м; R\ (внутренний радиус) =0,015 м; # 4 (внешний ра диус) =0,02 м; р (плотность) =2000 кг/м3. Ограничения на внешний и внутренний радиус при постоянной плотности давали ограничения на массу. На статическую жесткость ограничения накладывались путем на ложения ограничений на модуль сдвига, который в комплексной форме имеет вид
Gi=Gi°( 1-И'т]г'); 1=1, 2, 3. |
|
Было принято |
|
0,3-1010H/M2^ G i° ^ 2 .1 0 10H/M2; G1°=G33. |
(3.1) |
Здесь G!°, G3° — модули сдвига оболочек; G2° — модуль сдвига среднего слоя. Малая нижняя граница в (3.1) для G*0 объясняется тем, что в ка честве связующего для среднего слоя допускалось применение битума. На мнимую часть G* налагались следующие ограничения:
O ^ rji^ l. |
(3.2) |
Переменными параметрами были выбраны толщина внутреннего слоя /i, G1°, G2°, rii, т]2; остальные считались заданными. Можно за метить, что использование боль шего числа переменных парамет ров вряд ли целесообразно, так как все они входят в целевую функцию посредством коэффи циентов переходной матрицы А (см. (1.4), т. е. фактически через три величины — Re/1, Im4, В. Это является общим для всех ре шений, полученных на базе урав нений теории слоистых оболочек, основанных на принятии кинема
тических гипотез для всего пакета в целом. Уравнения, полученные в (3], позволяют исследовать довольно емкую область изменения параметров, так как геометрические и механические характеристики войдут в до вольно большое число интегральных по толщине величин.
Результаты минимизации приведены на рис. 3. При этом обнаружено, что оптимальными в данном случае являются значения параметров, ле
жащие на границе |
допустимой области (3.1), (3.2): Gi°= 2*1010 Н/м2; |
G2°= 0,3*1010 Н /м2; |
ni =т]2 = 1; Л = 0,0002 м. Это косвенно подтверждает, |
что наибольшее демпфирование в широком диапазоне частот происходит при максимальном отношении GI°/G2°-
Выводы. Предложены уравнения, описывающие установившиеся ко лебания многослойной оболочки из композитов. На основании получен ных уравнений исследованы некоторые простейшие виды деформирова ния. Для цилиндрической оболочки решена задача оптимизации ее виброзащитных свойств при ее работе в простой механической схеме.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболо чек вращения из композиционных материалов. М., 1977. 143 с.
2.Тетере Г А., Рикарде Р. Б., Нарусберг В. Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига, 1978. 238 с.
3.Пелех Б. Л., Дивеев Б. М. Некоторые динамические задачи для вязкоупругих слоистых анизотропных оболочек и пластин. 1. Обобщенные динамические уравнения теории слоистых оболочек с учетом граничных условий на поверхностях. — Механика композитных материалов, 1980, № 2, с. 277—280.
4.Пелех Б. Л., Дивеев Б. М. Некоторые динамические задачи для вязкоупругих слоистых анизотропных оболочек и пластин. 2. Импеданс вязкоупругих слоистых ани зотропных пластин. — Механика композитных материалов, 1980, № 3, с. 546—548.
5.Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М., 1979.’336 с.
Институт прикладных проблем механики |
Поступило в редакцию 14.07.80 |
и математики АН Украинской ССР, Львов |
|