книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

5.1. Осесимметричное выпучивание пологих сферических оболочек при нагружении прямоугольным импульсом давления

Обзор результатов исследования устойчивости упругих сферичес­ ких куполов при действии статических и динамических нагрузок представлен в работах [90, 290]. Известно, что область примени­ мости решения осесимметричной задачи в упругой постановке ограничена очень узкими рамками, определяемыми, с одной стороны, более низкими критическими нагрузками выпучивания по неосесимметричным формам, а с другой, - недопустимостью превышения предела текучести (пропорциональности) по напряже­ ниям. Так, для жестко защемленного по краю купола, статически нагруженного равномерным давлением, неосесимметричные фор­ мы реализуются при параметре пологости А,>5,5 [90]. В [86] для алюминиевых оболочек установлено, что при X < 5,5 учет плас­ тических деформаций дает существенные поправки к упругому решению и приводит кхорошему согласованиюс даннымиэкспери­ мента. В связи с этим представляется актуальным исследование динамического выпучивания пологих сферических куполов вупру­ гопластической постановке [56].

Критерии устойчивости оболочек при импульсных воздей­ ствиях определены не так хорошо, как при статическом нагруже­ нии, и требуют оценки неустановившейся реакции оболочки при различных уровнях нагрузки. Обозначим среднее перемещение, отнесенное к средней величине подъема недеформированной обо­ лочки, через

где г, z - цилиндрические координаты оболочки, г. - расстояние

от оси вращения до опорного контура, z = z(r, f), z0=z(r, f = 0),

Z«= о.

241

Для оболочек, способных к прощелкиванию или потере несу­ щей способности, существует диапазон изменения нагрузки, в котором малое изменение нагрузки приводит к большому измене­ нию пикового значения среднего перемещения. Точка перегиба кри­ вой нагрузка-прогиб в этом интервале определяет критическую (предельную) нагрузку, а сам метод называется методом точки пере­ гиба [290]. Таким образом, можно определить безразмерное крити­ ческое давление

P. = F;/P„ Р0 = [2 £ /( 3 ( 1 - VJ ))',2]( A /Д )2,

как функцию от параметра пологости оболочки А,=2[3(1 - v2)],/4x x(H/h)m.Здесь PQ- классическая критическая нагрузка для замкну­ той сферической оболочки, Н- высота подъема купола над планом.

Расчеты проводились в рамках модели Тимошенко для жестко защемленных по контуру г = г* алюминиевых оболочек (R/H=

=36,67; R/h=50-г500) с механическими характеристиками: Е=

=7,3-104 МПа; а . = 370 МПа; v = 0,3; 3g = 900 МПа - модуль упрочнения.

Исследование реакции оболочки на действие прямоугольного импульсадавления проводилось на конечном временном интервале 0 < ct/R< 50 (с- скорость звука), поскольку силы демпфирования приводят на практике к затуханию колебаний.

На рис. 5.1,5.2 для Х=3 и Х=6,5 соответственно представлено изменение среднего безразмерного прогиба упругих (верхняя часть рисунка) и упругопластических оболочек во времени т =ct/R при

различных значениях безразмерного давления Р = F 3 /Р0.Здесь же построены зависимости максимальных перемещений от давления.

На рис. 5.3 изображено деформированное состояние оболочек сА, = 5и А , = 6,5 в процессе выворачивания (прощелкивания). Кривые 1,2,3 соответствуют моментам времени /, < t2 < ty Сплош­ ные линии в верхней части рисунка показывают форму выпу­ чивания упругих оболочек, штриховые - упругопластических. Рас­ пределение меридиональных компонент деформаций на внутрен­

242

ней и наружной поверхностях оболочки представлено в нижней части рисунка сплошными и штриховымилиниями соответственно.

Х = 6 ,с.		i !
[	i i	1
■ \	P=Cfi6	i
		1

rjh

i i i

?

	'		1
	|	!	i	:
			h11
	0,691	ji	!!
	1 il		11
			l i
	Л М б в ;	I	A
О	10 20	т 0	0,4	Р
Рис. 5.1	Рис. 5.2

На рис. 5.4 построены зависимости критическая нагрузкапараметр пологости Р,(к) Для упругих (график 1) и упругопласти­ ческих (график 2) оболочек. График 3 характеризует отношение

Рис. 5.3	Рис. 5.4

243

динамической критической нагрузки упругой оболочки к статичес­ кой критической нагрузке, определенной в [90].

Сравнение полученных критических нагрузок упругих оболо­ чек с приведенными в [290] дало различие не более 5%, что свиде­ тельствует о достаточно высокой точности описания рассматри­ ваемых динамических процессов классической теорией оболочек Кирхгофа-Лява. Критические нагрузки упругих и упруго-пласти­ ческих оболочек близки при А,>7,5, отличаются не более 10% при 5 <А,<7,5 и сильно отличаются при А.<5.

Критические нагрузки упругопластических оболочек лежат ниже упругих, за исключением малой окрестности А,<6,5.

Процесс выпучивания протекает следующим образом. В ре­ зультате внезапного приложения давления оболочка приобретает кинетическую и потенциальную энергию, которая состоит из моментной и безмоментной составляющей. Соотношение между по­ следними зависит от параметра пологости оболочки и при увели­ чении А,(уменьшении h) вклад безмоментной составляющей растет. В процессе нелинейных колебаний, совершаемых оболочкой около статического равновесного положения (рис. 5.1,5.2), происходит частичная перекачка энергии отбезмоментных к моментным фор­ мам колебаний. Поэтому при увеличении А, от 4 до 7 наблюдается (график 3 на рис. 5.4) значительное уменьшение динамических нагрузок по отношению к статическим (от 0,8 до 0,35). Это отно­ шение всегда меньше единицы, так как приобретенная оболочкой кинетическая энергия позволяет преодолеть потенциальный барь­ ер, обусловленный различием нагрузок. В результате прощелкивания упругая оболочка совершает нелинейные колебания между докритическим и закритическим равновесными состояниями (см. рис. 5.2), а при наличии сил демпфирования стремится вернуться к докритическому статическому состоянию [90], определенному при­ ложенным давлением. С увеличением толщины при А,< 4 упругие оболочки теряют способность к прощелкиванию (см. рис. 5.1).

Возникновение пластических деформаций приводит кувеличе­ нию прогибов и уменьшению амплитуд колебаний оболочки около

244

статического равновесного состояния, то есть имеютместо дваопре­ деляющих фактора, один из которых способствует снижению, а другой - увеличению динамической критической нагрузки. Рас­ пределение пластических деформаций вдокритическом состоянии

восновном определяется формой упругих колебаний после прило­ жения нагрузки. Величина их зависит от толщины оболочки, пре­ дела текучести и модуля упрочнения. При Х<6,5 преобладает фор­ ма колебаний с одной точкой перегиба (см. рис. 5.3), которая иопре­ деляет форму выпучивания упругих и упругопластических обо­ лочек. При X>6,5 существенную роль играет взаимодействие форм колебаний с одной и двумя точками перегиба. Это взаимодействие

вбольшей степени проявляется вслучае упругопластических оболо­ чек и приводит к трансформации формы выпучивания (см. там же), а также усложнению зависимости Р,(Х). Пластическиедефор­ мации при А,<6,5 локализуются в окрестности полюсной точки, а при X> 6,5 - в складке, расположенной между точками перегиба (см. рис. 5.3). При выворачивании максимум деформаций пере­ мещается к месту закрепления контура оболочки.

Пластические деформации приводят кдиссипации кинетичес­ кой энергии и фиксируют остаточную форму оболочки. Они имеют моментный характер на протяжении всего процесса выпучивания, поэтому можно сделать вывод, что критические нагрузки упруго­ пластического выпучивания вбольшей степени определяются пре­ делом текучести, чем модулем упрочнения материала оболочки. Следовательно, обоснована применимость билинейной аппрокси­ мации диаграммы деформирования для исследования упруго­ пластического выпучивания пологих сферических куполов.

5.2.Импульсное нагружение внешним равномерным давлением цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами

формы

Экспериментальному и теоретическому исследованию динамичес­

кого упругопластического выпучивания цилиндрических оболочек

245

под действием импульса внешнего давления, равномерно рас­ пределенного по поверхности оболочек, посвящены работы [268, 284,293]. В них изучены основные особенности динамического выпучивания цилиндрических упругопластических оболочек и разработаны математические модели для теоретического описания этого процесса, которые показываютхорошее качественное соответ­ ствие результатов теории и эксперимента.

Теоретический анализ пластического выпучивания основы­ вается на упрощающих допущениях о применимости: линейных уравнений устойчивости; модели жестко-пластической среды с линейным упрочнением; модели касательного модуля для описания моментного состояния; оценки роста изгибных форм на временном интервале, конец которого связывают с остановкой центрально­ симметричного движения безмоментной оболочки.

Принятие, помимо этих допущений, гипотезы неизменности безмоментного напряженного состояния во времени позволяет по­ лучить аналитическое решение задачи Коши, к которой сводится задача динамического пластического выпучивания, и получить оценки устойчивости и скорости роста изгибных форм.

Эти исследования носят, главным образом, качественный ха­ рактер и не позволяют оценить роль упругих деформаций, эффек­ тов разгрузки и связанности изгибных и безмоментных форм дви­ жения оболочки. Проанализируем эти факторы путем численного решения системы нелинейных уравнений методом Бубнова-Галер- кина в одночленном и многочленных приближениях [54]. Реше­ ние аналогичной системы уравнений конечно-разностным мето­ дом выполнено в работе [103].

Уравнения движения круговых колец и длинных цилиндричес­ ких оболочек врамках геометрически нелинейной теории пологих оболочек Кирхгофа-Лява имеют вид [284]:

1 М у = р/ш2,

R т

246

1 3 2M „ N„ „ ,

j 2 - ^ 2 - + - ^ - + N22(.^22+^a) + P,=phu„ (5.1)

где uY u3 - тангенциальное и нормальное перемещения, 0 - угловая координата, R - радиус, h - толщина, р - плотность материала оболочки, P3(t) - внешнее давление, М22иN22- момент и нормаль­ ное усилие в окружном направлении.

Обозначим через е ,, деформацию в осевом направлении, е22 - в окружном, е33 - в направлении, нормальном к срединной поверх­ ности. Деформация в окружном направлении определяется соотно­ шениями геометрически нелинейной теории пологих оболочек [107]:

		в 22 — Е22 +<ХЗае2			А/2<а3 <А/2,
	Е	1 dU2			1	( д щ) 2	( д и^2	(5.2)
	22	R ае	R	2R2		[ т )	^ ае
		\	Э2( ы ,- и 3)			, _ 1	д2и2
		R1	3 0 2			” " F	a F ’

где иъ —щ (0 ,/ = 0) - начальная погибь, характеризующая началь­ ные несовершенства формы оболочки. Величины и3и а 3 имеют положительное направление внутрь оболочки.

Представим компоненты полной деформации каксумму упру­ гих и пластических компонент еи = е'и + е”и (/ = 1,3).

Примем условие несжимаемости для пластических компонент деформаций

2 > ’ =о.

/=0

Для кругового кольца имеем одноосное напряженное состояние

247

а и = Ее'п = Е(еп - е " ), ст„ = а 33 = 0;			(5.3)
в случае длинной оболочки - двухосное
е\\ = СГ33 = 0»	= j ^2"(еп + v^22)> 0	2),	(5.4)

где Е и v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

Представим перемещения и2 и иу нормальную силу N22 и

изгибающий момент М22в виде рядов по окружной координате:

U2= tiU2(0 sin Л0»	Щ = мз (0 + Ё мз (0 cos ^0»
Аг=2		к=2
	N	(5.5)
«з = Ё5* cos£0,
	к=2
n if	2N
Nn = f ст22 rfa3 =	(0 + X	Nn (0 cos *0,
	*=2
i	N	(5.6)

Mn = j G22a 3da3 = Х ^ 2 ( 0 с о з Ш .

Выражая деформации (5.2) через перемещения (5.5) и полагая

5 ^ « А , получим:

1	2А/	w°	1 N
е2г= 7Х Ь ‘ c° s * 6 - - r - - - X ( u3*-A)cosA0 +
Л	*=2	Л	Л *=2
	^к(и3 -5 * )sin A 6			(5.7)
	2R2
	1	*
	* 2 2 = ~ - ^ т Х * 2(из‘ -S *)cosA 0 .
	Л	Jt=2

248

Применим к уравнениям (5.1) процедуру Бубнова-Галеркина. В результате придем к системе обыкновенныхдифференциальных уравнений, определяющих центральную и изгибные формыдвиже­ ния оболочки:

рЧ° =Рг + — +			,
3	3	R 2Д 2 Й
рh u { = ^ — [J-
3	Л	и
			(5.8)
Z k=2	? (* £ * + < ' * )		О = 2, N ) ,
phUi		U =	2,2N).

Полагая, что в момент времени t=0 оболочка ненапряжена, будем иметь начальные условия:

«з°=0, 4°=К0,	4 = 5 у, 4 = 0	(у=2^),
4 = 0 ,	-------	(5.9)
	4 = 0 (у = 2,2#)-

Система дифференциальных уравнений (5.8) с начальными ус­ ловиями (5.9) интегрировалась методом Рунге-Кутга в модифика­ ции Мерсона. Порядок вычислений следующий. По формулам (5.7) вычислялись деформации, а по формулам (5.3) или (5.4) - компо­ ненты напряжения. Компоненты пластическойдеформации опреде­ лялись по модели теории пластичности с линейным кинематичес­ ким упрочнением. Затем численным интегрированием по толщине оболочки определялись усилия и моменты с шагом ДО= n/4N и

методами гармонического анализа - коэффициенты разложения

N*2 и М 22 >входящие в правые части системы уравнений (5.8).

249

При одночленной аппроксимации функций перемещений и усилий будем иметь:

и2 = и2sin кВ+ и;кsin 2кВ, и3 = и3 + и3 cos кВ,

и3 =Ькcos кВ,

(5.10)

N22 =№22(t) + К (/) cos кв + N22(/) cos 2кв,

МГ1 = М\2(/) cos кв.

Деформации определяются по формулам:

и

е22 = — 2к (и3 - 5 к) — - + —(ku2 - и 3 + b k)c o s k B +

4R		R	R
1	2ки!	-— (икг -Ък)г cos 2кВ,		(5.П )
+ —
R		4R 3	*'
к2			%22 = - ^ TbkcoskB.
®22 = - T T ( w3 - S J c o s ^ e ,
К			R

Уравнения движения (5.8) принимают вид:

Рh S i - P t + Z L + lp u ' N :

РМ? = х " Ш (Л/“ +“‘^ 2)’

(5Л2)

РOhu? =-f

Расчеты проводились для оболочек из алюминиевого сплава А1 6061-Т6 с характеристиками [268]: £=7,03-104 МПа, a,= 3 ,2 -102МПа,

250