книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов
..pdfВ теории графов известно решение так называемой «задачи о лидере» 111]. Покажем в рассматриваемом примере, как этот прием можно использовать для выделения наиболее общего свойства. 11о терминологии теории графов, «влиятельность» вершины графа определяется числом выходящих из нее ребер. Вершина характе ризуется и «могущественностью», которая определяется тем, на сколько влиятельны другие вершины, связанные ребрами с данной.
Будем анализировать граф при Р =95% (рис. 1.2, а). Здесь наиболее влиятельна вершина H R B , второе место занимает вер шина ав. Но является ли вершина HRB и более могущественной?
Рассмотрим для данного графа в качестве матрицы смежности матрицу коэффициентов корреляции (табл. 1.2). При этом коэффи циенты корреляции будем брать по абсолютной величине, поскольку
так коэффициента роли не играет, он определяет лишь |
направле |
|||||||
ние связи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через р\ (k) общий элемент матрицы смежности, т. е. |
||||||||
число путей длины k, |
идущих из *-й вершины в /-ю, и положим |
|||||||
р‘ (*) = |
р{ (Л) + |
+ |
• |
• |
• + P K *). |
(1.12) |
||
где / — число вершин |
графа. |
|
|
|
|
|
|
|
Числоp( (k) назовем итерированной силой порядкаk /-й вершины. |
||||||||
Итерированная сила порядка 1 р1(1) |
получается |
сложением |
||||||
элементов матрицы смежности по строкам: |
|
|
|
|||||
РХ(0 “ |
'll + |
Ч2 + |
Ч з+ |
• |
• |
• + |
ги |
|
Р7(0 = |
Ли + |
Л>2 + |
% + |
* |
* |
* + |
Ы |
|
Р*(0 — rn h ГП+ ^/3 + • • • Л~ги»
В данном случае при подсчете итерированной силы имеет смысл учитывать только статистически значимые коэффициенты корреляции. В частности, такие коэффициенты для Р = 95%
м |
табл. |
1.2 |
отмечены |
звездочками. |
Например, р°в (1) = |
1 |
+ |
||||||
I |
0,95 + |
0,81 -|- |
0,78 |
+ 0,99 |
0,68 + |
0,74 |
= 5,95 |
и т. д. |
|
|
в |
||
|
Рассчитанные |
таким |
образом величины |
р1 (1) |
приведены |
||||||||
табл. 1.2. С точки |
зрения |
этой |
силы, в графе имеются два лидера |
||||||||||
(пм и HRB), |
причем одинаково «могущественные». Интересно, |
что |
|||||||||||
по «влиятельности» при Р = 95% эти два свойства |
между |
собой |
|||||||||||
различаются: HRB более влиятельна, |
так |
как связана с |
семью |
другими характеристиками, в то время, как ств только с шестью.
Силу порядка 2 р{ (2) можно |
найти по следующим формулам. |
||||
Р (2) = |
Гцр1(1) -Ь гХ2/?2 (1) -1- /-isP3 (!) + |
• • -Н-ГирН1) |
|||
Р2(2) = |
/-21Р1(1) + /-22Р2(1) + |
/-2зР3(1 )+ |
• |
• |
- + г 21р‘ (1) |
|
|
|
|
|
(1.14) |
/>Ц2) = r a p '(l) - f />2р2(1) + |
/7зР3(1 )+ |
• |
• |
-+ Г ц р 1{\). |
21
Т а б л и ц а 1.2. Коэффициенты парной корреляции между свойствами сталей типа 14Г2ФБ
°в |
а т |
°т/°ъ |
б |
Ф |
H R B |
тк |
0- 40 |
а" 40 |
|
“и |
И.. |
|
1-я |
2-я |
|
3-я |
|
4-я |
|
итерация |
итерация |
итерация |
итерация |
||||
^) ! ( |
Место |
■** |
Место |
а |
Место |
•-*О. |
Место |
|
|
<74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
<7в |
1 |
|
0,95 *** |
0,22 |
0,81 |
*** |
0,78 |
*** |
0,99 |
*** |
0,68 ** |
0,30 |
|
0,74 |
*** 5,95 |
1— 2 |
24,24 |
2 |
104,84 |
1 |
445,66 |
1 |
<*т |
0,9 5 |
*** |
1 |
0,31 |
0,46 |
|
0,42 |
|
0,91 |
*** |
0,13 |
0,14 |
|
0,41 |
2,86 |
7 |
13,93 |
5 |
59,13 |
5 |
253,89 |
о |
- |
0,22 |
|
0,31 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 ,4 0 |
|
0,13 |
0,20 |
|
0,06 |
1 |
9 |
1 |
9 |
1 |
9 |
1 |
9 |
CTp/cTjj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
0,81 |
*** |
0,46 |
0 |
1 |
|
0,7 2 |
*** |
0,65 |
** |
0,43 |
0,37 |
|
0,46 |
3,18 |
5— 6 |
14,90 |
4 |
63,58 |
4 |
277,18 |
4 |
ф |
0,7 8 |
*** |
0,42 |
0 |
0,7 2 |
*** |
1 |
|
0 ,7 8 |
*** |
0,15 |
0,82 |
*** |
0,25 |
4,10 |
3 |
18,35 |
3 |
77,37 |
3 |
329,90 |
3 |
H R B |
0,99 |
* * * |
т к |
0 ,6 8 |
* * |
—40 |
0 ,3 0 |
|
flH |
|
|
а - 40 |
0,7 4 |
* * * |
« 4 5 |
|
|
0,91 * * * |
0,40 |
0,6 5 * * |
0,78 |
0,13 |
0,13 |
0,43 |
0,15 |
0,14 |
0,20 |
0.37 |
0,82 |
0,41 |
0,06 |
0,46 |
0,25 |
* * *
* * *
1
0,61
0,51
0,50
* *
*
*
0,61 * * |
0,51 |
* |
0,50 |
* |
5,95 |
1— 2 |
24,36 |
1 |
104,57 |
2 |
443,87 |
2 |
1 |
0,03 |
|
0,27 |
|
2,29 |
8 |
9,97 |
8 |
41,31 |
8 |
176,39 |
8 |
0,03 |
1 |
|
0,9 4 |
|
3,27 |
4 |
12,66 |
7 |
52,94 |
*7 |
222,03 |
7 |
|
* * * |
/ |
||||||||||
0,27 |
0,94 |
* * * |
1 |
|
3,18 |
5— 6 |
13,63 |
6 |
55,65 |
6 |
235,28 |
6 - |
— значим вплоть до Р — 99,9% ** — значим вплоть до Р = 99%; * — значим при Р — 95%
11апрпмер:
/А (2) - 5,95 i |
0,95*2,86 |
|- 0,81-3,18 |
0,78-4,10 + |
0,99-5,95 + |
0,68*2,29 + |
0,74-3,18 - |
24,24 и т. д. |
11а этот раз, после второй итерации, первое место заняла H R B ,
второе ав (см. табл. 1.2). Заметно изменилось и расположение дру гих свойств. Например, если вначале 6 занимало пятое-шестое места, то теперь вышло на четвертое; сгт с седьмого места перешел
на пятое и т. д. |
|
Силу |
порядка |
3 р £ (3) рассчитываем |
|||
Продолжим итерацию. |
|||||||
но формулам |
|
|
|
|
|
|
|
Р1(3) = |
rllP'(2) + |
гп р* (2) + |
г13р» (2) + |
• • |
• + |
ги р1(2); |
|
Р2(3) = |
ГпР1(2) + |
г22р* (2) + |
л23р3 (2) + |
• • |
• + |
гпР1(2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
pi (3) = |
гп р1(2) + |
гн р2(2) - f г13рг(2) + |
• • |
• + |
гп р1(2). |
||
После этой итерации |
HRB и ств поменялись местами. Первое |
||||||
место занял сгв, второе — HRB. Места остальных |
характеристик |
||||||
не изменились (табл. |
1.2). |
|
|
|
|
Очередная, четвертая итерация, проведенная аналогично пре дыдущим, подтвердила распределение мест, полученное после тре тьей (табл. 1.2). Поэтому можно считать, что распределение мест стабилизировалось.
Итак, проведенный анализ показал, что по «могущественности» изученные свойства располагаются в следующий ряд:
Несмотря на то, что предел прочности оказался наиболее «могущественным» свойством, имеет смысл выбрать в качестве лидера наиболее «влиятельную» характеристику — твердость, могущественность которой немного меньше по сравнению с преде лом прочности. Основное достоинство твердости — методическая простота ее определения.
Была предложена схема предсказания всех изученных свойств сталей данного состава по значениям твердости, показанная на рис. 1.3. Ниже даны уравнения регрессии, позволяющие предска-
тжать свойства стали по величине твердости: |
|
||||||||
<тв |
= |
— 103,22 |
-! |
1,90 HRB, |
кге/мм2 |
( I ) |
|||
сгт |
= |
—56,69 |
|- 1,16 HRB, |
кге/мм2 |
(И ) |
||||
|
|
6 |
= |
45,41 |
— 0,452 HRB, |
% |
(III) |
||
|
гр |
= |
165,22 — 1,17 HR В, |
% |
(IV) |
||||
|
Тк = |
—393,26 |
Ь 4,16 HRB, °С |
(V) |
|||||
|
a„i0 = |
7,98 — 0,044 яр. кге • м/см2 |
(VI) |
||||||
ай“ |
= |
12,69 — 0,149 сгв, кге • м/см2 |
(VII) |
23
Ян40 = |
0,91 + |
1)41 |
ан440, |
кгс • м/см2 |
(VIII) |
< 6° = |
0,22 + |
0,55 |
ай40; |
кгс • м/см2. |
(IX) |
Всоответствии с указанной схемой вначале по значениям HRB
спомощью уравнений (I)—(V) предсказываются значения соответ ственно сгв, сгт, б, of и Тк, Затем с помощью уравнения (VI) по рас
считанным значениям of предсказываются значения ай40, а с по мощью уравнения (VII) по сгв — значения а\й™. Уравнения (VIII)
и(IX) служат для уточнения расчетов. Оценка остаточных диспер сий показала, что ошибка в предсказаниях свойств не превышает
10%. Естественно, коэффициенты найденных корреляционных за висимостей относятся только к исследованным составам и усло виям прокатки сталей. Однако использование найденных корре ляционных связей между свойствами сталей, прокатанных по кон тролируемому режиму, позволяет облегчить поиск оптимальных условий такой прокатки.
Описанный способ корреляционного анализа неоднократно применяли для выбора параметра оптимизации в задачах техноло гии металлов.
На рис. 1.4 приведен еще один пример [83], показывающий, насколько тесно закоррелированы между собой различные харак теристики механических свойств, в том числе и жаропрочности, ряда жаропрочных сталей и сплавов. Здесь же показана схема пред сказания большинства свойств но некоторому их числу, легко оп ределяемому экспериментально. С помощью того же приема в ра ботах [56, 85, 86] все литейные и механические свойства синтети ческих чугунов удалось свести к отбеливаемости. В работе [88] обнаружена корреляция между разнообразными механическими и физическими свойствами низколегированных медных жаропроч ных сплавов, в работе [111] — между свойствами медных электрод ных сплавов, а в работе [46] между многочисленными механиче скими, физическими и эксплуатационными свойствами экономно
легированных цементуемых сталей для тяжелонагруженных |
ше |
|||||||
стерен |
|
грузовых |
авто |
|||||
мобилей. |
|
|
|
между |
||||
|
Корреляции |
|
||||||
различными |
структур |
|||||||
ными |
характеристика |
|||||||
ми и свойствами диффу |
||||||||
зионных |
|
слоев, |
обра |
|||||
зующихся |
при химико |
|||||||
термической обработке, |
||||||||
изучали |
в |
работе |
[96], |
|||||
Рис. |
1.3. |
Схема |
|
предсказа |
||||
ния |
свойств |
сталей |
ти |
|||||
па 14Г2ФБ |
после |
контроли |
||||||
руемой |
прокатки |
по |
значе |
|||||
|
ниям |
твердости |
|
24
|>ис. 1.4. Графы корреляционных связей (а) и схема предсказания (б) различных
свойств некоторых деформируемых никелевых сплавов и сталей
а между различными структурными характеристиками графита синтетических чугунов в работах (84, 56]. С помощью корреля ционного анализа удалось выбрать всего 14 характеристик дефор мируемости стальных кольцеобразных деталей при закалке из 72 показателей, рассматривавшихся первоначально [87].
В заключение отметим, что для тех же целей корреляционного анализа можно использовать не только коэффициент корреляции, характеризующий степень линейной связи, но и корреляционное отношение, определяющее нелинейную зависимость между пере менными.
Метод корреляционного анализа является не единственным способом уменьшения числа экспериментально определяемых параметров оптимизации. Не останавливаясь подробно на других способах, отметим, что той же цели удалось достичь авторам ра боты [68] при использовании одного из методов факторного ана лиза шести механических характеристик (НВ> cr0t2, ав, 6, ф и аи) 1\) сложнолегированных сталей (свойства были взяты по данным
советского стандарта ГОСТ 4543—57). При этом оказалось, что псе эти характеристики легко выражаются из значений только cr0i2 (характеристики прочности) и ф (характеристики пластичности). 1>олее того, поскольку две последние характеристики также закоррелированы, определять их можно только из одного экспери
26
мента вместо обычных нескольких. Это же удалось автору работы [8j при использовании другого метода факторного анализа —■метода главных компонент. В данном случае при обработке данных 100 плавок одной из сложнолегировапных сталей удалось характе ристики механических свойств сг0,2, сгв, б,ф и ан свести к одной новой Wx. Метод главных компонент непосредственно для одной
металловедческой задачи оптимизации использован и в работе [41 ]. Однако следует отметить, что использование в последних случаях новой характеристики требует все же экспериментального определения всех свойств.
1.1.2. ФУНКЦИИ ЖЕЛАТЕЛЬНОСТИ
Весьма перспективным при решении задач с несколькими зависимыми переменными является использование комплексных показателей качества. Таким показателем может быть так назы ваемая функция желательности 16, 51, 81, 135, 1431.
Под «желательностью» d понимают тот или иной желательный
уровень параметра оптимизации. Разработана специальная шкала желательности. Величина d может меняться от0до1. Шкала вы
глядит следующим образом:
d = 1,00 — максимально возможный уровень качества. Этот
уровеньчасто неизвестен, иногда точно определен. Например часто неизвестно, какую максимальную прочность может иметь разрабатываемый сплав, но известно, что 0% горячеломкости, т. е. пол ное отсутствие растрескивания, — максимально возможный уровень качества но горячеломкости. Не всегда следует добиваться максимально воз
можного уровня |
качества; |
уровень |
качества |
||||
1,00—0,80 — допустимый |
и |
превосходный |
|||||
(очень высокий уровень качества, которого также |
|||||||
не всегда следует добиваться); |
|
(но |
|||||
0,80—0,60 — допустимый |
и |
хороший |
уровень качества |
||||
все же выше того, которого реально добиваются); |
|||||||
0,60—0,37 — допустимый |
и |
достаточный |
уровень |
качества; |
|||
0,37 — заданный уровень качества (соответствует |
тому |
||||||
значению параметра оптимизации, которое не |
|||||||
обходимо получить); |
качества; |
|
|
||||
0,37—0 — недопустимый |
уровень |
качества |
|||||
0 — максимально |
нежелательный |
уровень |
|||||
(например, |
100% |
горячеломкости, т. е. полное |
|||||
растрескивание при литье или сварке). |
|
||||||
Значения d на шкале желательности можно смещать вверх |
|||||||
или вниз, в зависимости от конкретных ситуаций. |
|
|
|||||
Идея использования функции желательности в качестве пара |
|||||||
метра оптимизации заключается в том, что |
значение |
каждого |
|||||
из параметров оптимизации |
(г/*), |
которых в |
задаче может |
быть |
26
Т а б л и ц а 1.3. Данные
для построения графика функции желательности (1.17)
f |
о = e У* d = e ~ a |
a ай
о
|
—4 |
54,598 |
0 |
0 |
|
—3 |
20,086 |
0 |
0 |
|
—2 |
7,3891 |
0,00060 |
0 |
|
— 1 |
2,7183 |
0,06587 |
0,07 |
|
0 |
1 |
0,3679 |
0,37 |
|
1 |
0,3679 |
0,6907 |
0,70 |
|
2 |
0,1353 |
0,8740 |
0,87 |
|
3 |
0,04979 |
0,9512 |
0,95 |
Рис. 1.5. Функция желательности для одно |
4 |
0,01832 |
0,9802 |
0,98 |
сторонних (а) и двусторонних (б) ограннче |
|
|
|
|
ний на параметр оптимизации |
|
|
|
|
сколь угодно много, переводятся в соответствующие желатель ности (d/), после чего формируется так называемая обобщенная функция желательности (D), представляющая собой среднее гео метрическое желательностей отдельных параметров оптимизации:
D = |
У dLd2 ............. dq< |
(1.16) |
где q — число изучаемых |
параметров оптимизации. |
|
В результате обобщенная функция желательности оказывается единственным параметром оптимизации взамен многих.
Возможны два варианта перевода значений параметра опти мизации (например, того или иного свойства сплава) в соответ ствующие желательности. Выбор варианта определяется видом ограничений, установленных для данного свойства.
Если эти ограничения односторонние, т. е. имеют вид у < < //щах или у 3=5 */mln, то функция желательности выражается урав
нением
(1.17)
• Дс/А — некоторая безразмерная величина, линейно (чаще всего),
и иногда нелинейно связанная с y t. |
|
||
Графически функция |
(1.17) |
показана [на рис. 1.5, а. Построе |
|
ние этого графика следует из табл. 1.3. |
|
||
Если ограничения для свойства двусторонние, т. е. имеют вид |
|||
//nit11 < у < //щах» функцию желательности удобно задавать |
выра |
||
женном |
|
е-(К О " . |
|
|
dt |
(1.18) |
|
1Де п — положительное |
число, |
|
|
у ' __ |
" (Ушах 4~ */min) |
(1.19) |
|
1 |
i/max — Ут\п |
|
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1.6. |
Перевод |
свойств |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'ч |
синтетических |
чугунов |
в |
соот |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
JVU |
|
ветствующие |
желательности: |
||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2N |
\ |
Jv/ |
|
7 у ^ |
-50 |
|
|
1 — функция желательности (1.17) |
|||||||||||
|
|
|
|
-90 |
|
|||||||||||||||
V\ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для ух, уг и уз‘, 2 — функция жела |
|||||||||
|
/, |
1 |
|
|
|
|
|
400 |
|
|
тельности (1.18) для уА\3, 4, 5, 6 — |
|||||||||
\ |
|
VNJ |
|
|
|
|
|
|
-80 |
-400 |
прямые |
для |
перевода |
значений |
||||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно ylt у2, ул, уА в dx, dt. |
||||||||||
\ |
|
1 |
|
|
|
|
-40 -700 |
-70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-350 |
Графически |
функция |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0,6 |
\ |
1 |
|
А |
в |
у |
|
|
т |
-60 |
|
(1.18) |
|
показана |
|
на |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|\ |
|
|
|
|
|
-30 |
|
-50 |
-300 |
рис. |
1.5, |
б. |
Показатель |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-500 |
|
степени |
п |
|
можно |
вычис |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-40 |
-250 |
лить, |
если |
|
задать |
некото: |
||||
0,37 |
|
|
|
|
|
|
|
-20 - т |
-30 |
|
рому |
свойству |
у |
значе |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-200 |
ние |
d |
(предпочтительно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,2 |
|
|
------ i - V |
------ |
|
-зоо -20 |
|
в интервале 0,6 <d <0,9), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0,14' |
у |
/г |
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
-150 |
подсчитать |
|
по |
|
(1.19) |
соот |
|||
|
|
|
|
|
-200 |
-10 |
ветствующую |
|
величину |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
• |
i |
1\ i |
X |
|
|
.0 |
|
\уг |, |
а |
затем |
|
воспользо |
|||||
4 ~ 3 - 2 |
-1 |
0 |
7 |
2 3 |
у* |
68 ж |
Г |
ИВ |
ваться выражением |
' |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
KZCjMM1 мм |
%KSCJMMZ |
|
|
|
In In ~ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л - Т П |
7 Г - |
(L20) |
Выбирая разные значения /г, можно задавать различную кри визну кривой желательности. Это обстоятельство позволяет учесть особую важность отдельных свойств: для них п будет иметь
большее значение, и малому изменению свойства вблизи ограничи вающих пределов будет соответствовать резкое изменение жела тельности.
Покажем использование функции желательности на следующем примере.
В одной из задач [143] изучали влияние состава и условий температурно-временной обработки на предел прочности при растя жении (//х), жидкотекучесть (т/2), горячеломкость (у3) и твердость (у4) синтетических чугунов. Требовалось получить чугун с пределом
прочности не менее 0,245 ГПа (25 кгс/мм2), при жидкотекучести (по спиральной пробе) не менее 750 мм, горячеломкости (по коль цевой пробе) не более 45 % и твердости НВ не менее 180 и не более
250. Таким образом, в трех случаях ограничения на свойства были односторонними: ух ^ 25; у%^ 750; у3 с 45; а в одном — дву сторонние: 180 < у4 < 250.
Некоторые результаты экспериментов приведены в табл. 1.4. Указанные здесь значения свойств переводили в соот ветствующие желательности dt в следующей последователь
ности.
На рис. 1.6 показаны функции желательности (1.17) для свойств Ух> Уч и Узу а также функция (1.18) — для у4. Для последней рас-
23
Т а б л и ц а 1.4. Использование обобщенной функции желательности
|
Предел |
|
|
Жидкотеку- |
|
Горячелом- |
Твердость |
|
||
Номер |
прочности |
|
честь |
|
кость |
|
|
|
||
спла* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
па |
Уи |
|
dx |
у2. мм |
dг |
Уз> % |
|
У*. |
^4 |
|
|
кгс/мм2 |
|
|
Н В |
|
|||||
1 |
14,4 |
0,14 |
455 |
0,25 |
55,5 |
0,10 |
296 |
0,02 |
0,09 |
|
2 |
3 5,0 |
0,64 |
160 |
0,17 |
63,0 |
0,01 |
310 |
0,01 |
0 ,06 |
|
3 |
29,4 |
0 |
,48 |
450 |
0,25 |
52,5 |
0,20 |
296 |
0,02 |
0,15 |
4 |
12,0 |
0,11 |
900 |
0,45 |
35,0 |
0,70 |
235 |
0,47 |
0 ,3 6 |
|
5 |
3 0,0 |
0,51 |
540 |
0,28 |
33,5 |
0,72 |
277 |
0,10 |
0,32 |
|
6 |
23,6 |
0 |
,30 |
840 |
0,39 |
15,0 |
0,92 |
212 |
0,99 |
0,57 |
считывали п, задав значению твердости НВ 200 величину d = 0,8.
Тогда |
по формуле (1.19) |
|
|
|
|
2 - 200 — (2 5 0 + |
180) |
= — 0,43 |
|
|
У = |
250 — 180 |
|
|
и по |
формуле (1.20) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п = |
In In 0,8 |
= 1.78. |
|
|
|
In 10,43 |
|
|
Итак, в данном случае функция (1.19) имела вид
( 1.21)
Именно эта функция (1.21) и показана на рис. 1.6.
Далее установили линейную связь (отметим, что в общем случае она может быть и криволинейной) между iji и у\ с помощью репер
ных точек. Например, для предела прочности необходимо полу чить 0,245 ГПа (уг ~ 25 кгс/мм2). Будем считать это желатель
ностью |
d = |
0,37 (из |
рис. 1.5, а |
этому соответствует |
у* — 0). |
|||||||
Если |
удается получить |
чугун с |
пределом |
прочности |
0,49 ГПа |
|||||||
(Ух = |
50 |
кгс/мм2), |
будем |
считать |
это желательностью |
d = 0,80 |
||||||
(из рис. |
1.5, |
а этому |
соответ |
|
|
|
|
|
|
|||
ствует у |
= |
1,6). |
Установлен |
Т а б л и ц а |
|
1.5. Реперные точки |
||||||
ные аналогичным |
образом ре |
|
|
|
|
|
|
|||||
перные |
точки для |
остальных |
Свойства |
• |
|
|
|
/ |
||||
свойств сведены в табл. 1.5. |
*1 |
di |
|
У1 |
||||||||
Отметим, что для уА реперные |
|
|
|
|
|
|
||||||
точки |
устанавливаются |
авто |
'А ю |
|
25 |
0,37 |
0 |
|||||
матически (см. рис. 1.5, б), |
|
|
50 |
0,80 |
1,6 |
|||||||
поскольку утах имеет место при |
у 2 (жидкотеку- |
750 |
0,37 |
0 |
||||||||
У’ = |
!. |
а утЫ — при у' = — 1. |
честь) |
|
300 |
0,20 |
—0,45 |
|||||
у 3 (горячелом- |
45 |
0,37 |
0 |
|||||||||
С помощью реперных |
точек |
кость) |
|
0 |
0,98 |
4 |
||||||
на рис. 1.6 проведены прямые |
м ( и в ) |
|
250 |
0,37 |
1 |
|||||||
линии, по которым для каж |
|
|
180 |
0,37 |
— 1 |
|||||||
дого |
экспериментального |
зна- |
|
|
|
|
|
|
29
чения iji графически определяется соответствующая желатель
ность Проиллюстрируем схему пользования полученной своеобраз
ной номограммой (см. рис. 1.6). Например, у сплава 1 (табл. 1.4) ух = 14,4 кгс/мм2. На рис. 1.6 по пути, указанному стрелками, находим, что для ух = 14,4 dx = 0,14.
Таким образом найдены и в табл. 1.4 представлены соответ ствующие желательности для каждого свойства всех сплавов. Это позволяет установить обобщенную функцию желательности D ,
характеризующую уровень качества каждого сплава. Формула (1.16) в данном случае имеет вид
D = у/ dxd%d3dXm
Например, у сплава 1 (табл. 1.4) dx = 0,14; d2 = 0,25; d3 =
= 0,10; d4 = 0,02. Следовательно, D = y f 0,14 • 0,25 • 0,10 • 0,02 =
=0,09. Значения!) для всех сплавов также приведены в табл. 1.4. Краткое рассмотрение полученных результатов (табл. 1.4)
показывает, что, например, у сплава 1 все показатели низкие и, естественно, у него низкое значение D. Сплавы 2 и 3 — наиболее
прочный, но для них характерны низкие литейные свойства и вы сокая твердость, а потому плохая обрабатываемость резанием. В результате комплексный показатель их качества низок. У спла ва 4, наоборот, хорошие литейные свойства и удовлетворительная твердость, но низкая прочность, а потому и обобщенная функция желательности этого сплава невелика. Наконец, сплав 6 лучший в ряду рассмотренных именно потому, что имеет набор свойств, почти удовлетворяющий заданным ограничениям.
Следует отметить, что в задачах со многими параметрами оптимизации можно формулировать несколько обобщенных функ ций желательности, включая в них разные наборы свойств в зави симости от предъявляемых требований. Например, при разработке жаропрочных сплавов можно не включать в функцию желатель ности характеристики пластичности, если речь идет о литейных сплавах, и включать эти характеристики, если сплавы предпола гается сделать деформируемыми.
В работах [94, 7] изучали влияние методов вторичного рафини рования и чистоты шихты на качество сталей типа 30—35ХГСА. Рассматривали две обобщенные функции желательности. Одна из них служила для оценки качества стали без учета стоимости пере дела и включала наиболее важные стандартные характеристики механических свойств. Другая, кроме того, включала один из эко номических показателей и тем сахмым определяла стоимость от носительного прироста свойств с точки зрения металлургического производства. Естественно, что по разным функциям желатель ности способы плавки, рафинирования и чистота шихты распола гались в разные ранжировочные ряды.
30