книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

имеет место оценка

1 х — хт|| < cmEm+i

(е< еа; t£ [tlt t2]).

Если, помимо сделанных выше предположений, все соб­ ственные значения эрмитовой матрицы Р = -у (Л + Л*)

неположительны,	то
х — хт|| <	с,„ет - 1	(»€(0, »i);	0 ±
	чп		’ 8

В случае однородной системы имеет место оценка

! * — *m l< с твт

( е е (0,

J.

Эти оценки показывают, что приближенное решение (9.1), (9.2) имеет асимптотический характер.

В заключение этого параграфа докажем одну лемму.

Л е м м а 9 . 1 . Пусть произвольные матрицы			(k =*
= 1, ..., т) выбраны так, что ранг матрицы
+	,	г..
	V е‘<3$
fc=l
равен ka. Тогда ранг матрицы КоП) такоке равен ka.
Имеем
К Г = К* +	К 2
или, так как	А=1
<й‘] =
к Т = к , +	2	S
	s=l fe=l

Отсюда

М„КТ'1= £*„+ 2 «*<?£,

<E=*L

.{m)

и, значит, ранг матрицы М0Ка ' равен ka. Поэтому ранг матрицы Ког) не меньше, чем ka, а так как эта матрица со­ стоит из ka столбцов, то ранг К™ в точности равен ka.

Из доказанной леммы следует, что если у'а есть общее

решение уравнения (9.2),	а	произвольные матрицы QSS
(& = 1, ..., т) выбраны так,		что
£ *„+ s		« л ®
— невырожденная матрица, то равенство
А™)__ftr(m)			,.(m)
Хс	=	Аа	Уа

представляет kaлинейно независимых приближенных реше­ ний уравнения (2.1), соответствующих ka собственным зна­ чениям матрицы £/, включенным в группу а»

Г л а в а IX

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (ВТОРОЙ МЕТОД)

Алгоритм расщепления системы линейных дифференци­ альных уравнений первого порядка, изложенный в пред­ шествующей главе, приводит к расщепленной системе, со­ стоящей из подсистем линейных дифференциальных урав­ нений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже ука­ зывается другой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получа­ ются в канонической форме, а именно в естественной нор­ мальной форме. Применительно к однородной системе диф­ ференциальных уравнений этот метод приводит к системе, состоящей из независимых дифференциальных уравнений первого или более высокого порядка.

§ 1. Две леммы

Пусть	собственные значения квадратной матрицы U (т)
порядка п разбиты		на р групп Х[а), А^0)		XjjJ (сг =
— 1, ...,	р
	р; 2 ka = п) так, что
	1
		|»,Р(Т) —15*(т)|>0		(1.1)
( о ф ъ 1 = 1 ,		, k , \ 1 = 1 ,	, k	xg[0, Ц ) .

Тогда (см. гл. V) могут быть построены матрицы Ка (х), Ла (т), Ма (т) типа соответственно п х ka, k0 х ka, kc х X п {а — 1, р), дифференцируемые по т столько раз.

сколько раз дифференцируема матрица U (т), такие, что

и = 2 V« — КАМ, и о = КоКМ',

	а=»1	(1.2)
	s = cr,
	s # o ,

где /С, А, М — соответствующие блочные матрицы. Собственными значениями каждой матрицы Л„ служат

собственные значения матрицы £/, включенные в соответ­

ствующую группу		сг.
Матрицы	Ра =	КоМс (о — 1, 2, .... р)			являются про­
екционными	(Ра =	Ра)	и обладают свойствами
РаРs— О (О		S),		^ ^ a — Я„,
	=	i/0,	P 0^ s =* UsPa= 0		(S=5^ Of). (
Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмот­
рение /1-мерное векторное				пространство R и действующие
в нем линейные операторы				£/, Ра (о = 1, 2, ..., р), которые
в некотором базисе		elt	е2,	еп отвечают	соответственно

матрицам U, Ра» (or =		1, 2, ..., р). Эти операторы и матри­
цы связаны соотношениями
U% = %U,	Ра%= %Ро		( и = 1 .......... р),		(1.4)
где g = {ег е г ...	ел).
Операторы	являются проекционными, и для любого
g из R, как это следует из (1.3),
PaPsg = 0		(s=£o),	2 ^	= S*
			a=1
В соответствии с последними соотношениями простран­
ство R расщепляется		на р подпространств:
R == /?i	R p,	Ra — РaR	(or=	1,2, . . .	, tt).
Эти подпространства инвариантны относительно					опера­
тора U. Действительно, пусть, например,				g £ R a.	Тогда,

используя равенства (1.3) и (1.4) и учитывая, что вектор#, как и любой другой вектор из R , можно представить в виде

g = g g, где£ — столбцовая матрица,	составленная из
координат вектора g в базисе еъ е2, ..., еп,	последовательно

получим Ug = W a g # = WPcg = %PaUg = PoU%g e tfa*

Следующая лемма устанавливает связь между аннули­ рующими многочленами подпространств Ra и матрицами

Лс в разложении (1.2).

Л е м м а 1.1. Всякий аннулирующий многочлен подпро­ странства Ra является аннулирующим многочленом и для матрицы Аа, и обратно, всякий аннулирующий многочлен

матрицы Аа является аннулирующим многочленом и для подпространства R 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть фа (А) — некоторый

многочлен от Я. Учитывая, что UfcPa — АоЛ£ма, для лю­ бого вектора g из R будем иметь

фо(и ) Р ag — Фа {U) Pa&g = ёфс (U) Peg — g/Софа(Аа) Mag.

				(1.5)
Если	фа (Я) — аннулирующий		многочлен	подпростран­
ства Ra, ТО			(g£R),
	фо (U) Pag =	0		(1.6),
и, значит, согласно равенству (1.5)			§/С,фо (Л<,) M0g = 0.		Но
последнее равенство может		выполняться для любого			g
из R тогда и только тогда, когда
	фа (Ла) =		0.	(1.7)
Поэтому	фа(Я) является	аннулирующим		многочленом

матрицы Л0. И обратно, если ф„ (Я) — аннулирующий много­ член матрицы Аа, то имеет место равенство (1.7) и в силу (1.5) — равенство (1.6) для любого вектора Ра g£ Ra (g €/?)-

С л е д с т в и е .	Минимальные	аннулирующие много­
члены подпространства R c и матрицы Л0 совпадают.
Далее, если £а-мерное подпространство			Ra — цикличе­
ское относительно	оператора U,	а е =	%е — порождаю­

щий вектор этого подпространства, то система векторов е,

Ue» ...» Uk<rAe линейно независима. Линейно независи­ мой является также система столбцовых матриц е, Ue,

..., Uk°~~xe. Можно показать, что существует такая матри­ ца типа^а х 1, что система аа, Лааа, ...» Л50-1 аа также линейно независима. Более того, справедлива следующая Л е м м а 1.2. Для того чтобыка-мерноеподпространст­ во R a, инвариантное относительно оператора U, было цик­ лическим, необходимо и достаточно существование столбцо­ вой матрицы аа типа ka X 1, которой отвечает линейно

независимая система столбцовых матриц

		flu,	Ацflu,	, А^0 flu.				(1*в)
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			Рассмотрим матрицу
	& =	(Uk°-'e Uk° - 2e		Ue е)		( < > = / » .
	Используя разложение			(1.2) и	учитывая,		что	Мае =
= MsPae =		0 (s Ф а), эту		матрицу можно представить в
виде			UL=	K&o,
где	= (Л*а_1М0£ Л*а_2Моа				ЛаМое	Мае)	— квадрат­
ная матрица порядка hG.
	Матрицы ££ и £ба		имеют	один	и тот	же ранг,		так как
матрица Ка состоит			из линейно		независимых столбцов.
Используя		это обстоятельство, легко доказываем						лемму.
	Н е о б х о д и м о с т ь .			Пусть	/?0 — циклическое под­

пространство, а е = &е — его порождающий вектор. Тог­ да столбцы матрицы ££ линейно независимы. Значит, ли­ нейно независимы и столбцы матрицы ^ 0. Если принять

Аи= М0е,		(1.9)
то, очевидно, система (1.8) также будет		линейно незави­
симой.
Д о с т а т о ч н о с т ь . Допустим,	что система (1.8),
где аа — некоторая матрица типа бс х	1,	линейно незави­

сима. Тогда столбцы матрицы И также будут линейно не­ зависимыми, если в качестве е принять какое-нибудь нену­ левое решение матричного уравнения (1.9). Ясно, что та­ кое решение всегда существует и соответствующий вектор е = Ъепринадлежит подпространству Ra. Значит, би-мер­ ное инвариантное подпространство /?0 является цикличе­ ским. Лемма доказана.

§ 2. Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами

ксистеме независимых дифференциальных уравнений

2.1.Преобразование к расщепленной системе уравнений второго порядка. Рассмотрим линейную стационарную си­ стему

$ 2]

где Л и В — постоянные матрицы порядка п, причем п —

четное число и det А Ф 0.

Т е о р е м а 2.1. Пусть собственные значения матрицы

U = А~ХВ четного порядка	п разбиты на р = п/2 групп,
по два собственных значения	в каждой группе, так, что

| я!0)—	| > 0	(*,/=1,2; a, s =	1,2,	р , о ф в ) ,
а инвариантные подпространства /?ь			/?2,	Rp п-мерного

пространства /?, соответствующие указанным р группам собственных значений матрицы U, являются циклически­ ми. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представле­ но в виде

* =	+ &»?")•	(2.2)
	а=1

где qa — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям

	d2qa	dqa			0	(аг === 1,				р). (2.3)
	—fiT 4-а 1о -J(----Ь «2а<7а =
	Д о к а з а т е л ь с т в о .				Подставим			(2.2)	в	(2.1) и
	исключим при этом		dt2	с помощью равенств					(2.3). Полу-
	чим
	S [^1<Г(	aia ~~dt	a2a<7oj +		Ъо -fi—j =
	0= 1
						= ^ S (^la dF~				^2o^°) •
						<T=1				dqa
	Приравняем в этом равенстве коэффициенты при
										и qa-
	— £lcK*lo + |2с =
	или	^1о®2о			(^	1 >2, • <•		, p)i
		| 2<т =		C/|ic + aio£io,			|			^2
		О ===		+	a 2o^lC'		J		U и сложим
	Умножим слева первое равенство (2.4) на
	со вторым. Получим
		(U2+	« 1 oU + «2оЩIjia= о.

Легко	видеть, что при таким образом определенных
фо (А*) и	первое равенство (2.6) выполняется тождест­
венно:

р р

У| А аЦ>а (^-s) М & х о — 2 ^ ф 0 ( А а) M s K o Q o — Ко<Ро Aa) ао=0.

Из второго же равенства находим

^2ст == URaHa ~1~ СЬ\оА
— КаА0а0“Ь	— Аа (-A<j -j- ctioEq) OQ.
Остается выбрать aff.
Положим

Тогда преобразование (2.2) можно представить в виде

(2.7)

Если в качестве аа взять порождающий вектор подпро­ странства Ra (для которого фа (А.) является минимальным многочленом), то матрица К будет невырожденной и, сле­ довательно, невырожденным будет и преобразование (2.7).

Из вышеизложенного следует, что путем замены пере­ менных (2.2) система (2.1) приводится к виду (2.3). Теоре­ ма доказана.

2.2. Общий случай

	Т е о р е м а	2.2.	Пусть собственные значения матрицы
U = А 1В разбиты			на р	групп	А[0), A|c) , .... А,?] (сг =
=	1 ,2 .......р; 26о =		п) так,	что
|	— Л}* | > 0	( s # a ; i = l ,			* „ ; / = ! .......... kt).

причем соответствующие этимгруппам инвариантные под­ пространства Rlt /?а, .... RP являются циклическими под­ пространствами п-мерного векторного пространства R. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представлено в виде

+ Iк„аЧо ) t (2-8)

где qG	(а ~	1. 2,	р)	являются решениями независимых
скалярных уравнений
А Я0		Мп--1	4	4	aka—io -jf--h (Zkgoq<r—0(2.9)
	-f« lo	#fcO—1
d fa	'	dt				, p).
			(<j =	1,	• • •
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Подставим * (2.8)			в	(2.1) и
исключим — ~~ с помощью равенства (2.9):
		dt
I.M -		/ “Л	-		---“ «„-Id		------ ак0чЧо I +
		Old —sJZTj-----
		dt					dq„
		A	‘?d
		+ h < ,-ji= r +
		Л " 1			Ю'	A " 2Яа		+	Efc
	о—1					b__o	+
						Я °
Приравняем здесь коэффициенты							A A o		»
							при — fe
	dqa						dt
• • »		qa ( a = l , 2 ...........p).				Получим
	dt
		^2a = ^|la 4 aiolla,
		= Vba 4 a2a£la.							(2. 10)
		bt0a=			4 afea-loSlo,
		0 = ^|feCTcr 4 °^ft0aEla.
Равенства (2.10) умножим слева соответственно									на С/*<г-1
l A “ 2 , ...,		U, £„ и сложим. Получим
(£/*° 4- aiat/fe°			+		+ afeo_lc£/ 4			£кт = 0.
Далее вместо системы (2.10) будем рассматривать экви­
валентную		ей систему
	4>d (U) lie = 0,								1(2.11)
	|/-Но —Ufao 4 а/о£Ю (/ = 1 >* • • »							—1)» J