книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

(3) Параболический (рис. 65)

у2 = 2рх.

Примечание. Если		в каждом	из	приве­
денных	канонических	уравнений	заменить
х = х\ -	х0, У = У1 -	2/о, z = zi -		z0, где

(хо>Уо,2о) — фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат 0 \X\y\Zi такое же положение относительно плоскостей £i = яо, 2/1 = 2/о, z\ = ZQ как поверхности, заданные канонически относительно коорди­

натных плоскостей х = 0, у = 0, z = 0. Другими словами, приведен­ ные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор

ОМ = (хо,2/о, 2о).

Метод параллельных сечений

Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает за­ дача исследования ее формы и расположения относительно координат­ ных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод парал­ лельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Форма и размер полученных се­ чений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.

Пересечение поверхности с плоскостью

Линию в пространстве R3 можно определить как пересечение двух поверхностей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде

системы	,	О,
	jF i(x ,7 /,z ) =
	\p2 (x,y,z) =	0.

Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, про­ ектирующем ее на ту или иную координатную плоскость. Если, напри­ мер, проектируем линию на плоскость Оят/, то исключим г из системы и получим уравнение ip(x,y) = 0. Оно изображает направляющую проектрующего цилиндра на плоскость Оху. В зависимости от того, будет ли <р(х, У) = 0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых — изучае­ мая линия сохранит соответствующее название.

5.5.1. Составить уравнение сферы с центром в точке М о (-5;3;2) и касающейся плоскости 2х - 2у + z - 4 = 0.

О Для составления уравнения сферы нужен ее радиус. В дан­ ном случае Я — расстояние от Mo до плоскости:

	„	|(—5 )-2 —2	- 3 + 2 - 4 1
		л/22 +	22 + 1
	Искомое уравнение: (х + 5)2 + (у — З)2 + (z — 2)2 = 36.			•
5 .5 .2 .	Составить уравнение сферы с центром в точке Мо(0;4; 0), если
	она касается плоскости 2х + 6у — 3z — 3 = 0.
5 .5 .3 .	Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных
	плоскостей 6х -	Зт/ — 2z — 35 =	0 и 6х — Зг/ — 2г + 63 =	0, если

ее центр расположен на прямой х ~

О1) Определим точки Mi и М2 пересечения прямой с плос­ костями (заметим, что прямая перпендикулярна плоскостям).

	Для этого параметрические уравнения прямой х		= 11 + 6i,
	2/ = —4 — 3^, J2T= —3 — 2i подставляем в уравнения плоскостей,
	находим t и возвращаемся к этим уравнениям.
	6(11 + б£) - 3(—4 -	31) - 2 ( - 3 - 21) - 35 =	0,
	* = - 1 ,	М! ( 5 ,- 1 ,- 1 ) .
	Аналогично находим М2(—7,5,3).
	2) Центр сферы Mo — середина отрезка Mi М2: Мо(—1,2,1).
	Радиус сферы R = МоМ\ = \/36 + 9 + 4 = 7.
	3) Уравнение сферы (х + I)2 + (у — 2)2 + (z — I)2 = 49. •
5 .5 .4 .	Составим уравнение сферы, проходящей через четыре точки
	0 (0 ; 0; 0), >1(2; 0; 0), В( 1; 1; 0),	0 (1 ; 0; - 1 ) .
	О Уравнение сферы ищем в виде
	(х - а)2 + (у -	b) 2 + (z - с)2 = Я2,

где (а, 6, с) — координаты центра и R — радиус неизвестные. Координаты данных точек превращают уравнение сферы в вер­ ные равенства, т. е.

га2 + 62 + с2 = Я2,
^ (2 — а)2 +	62 + с2 = Я2,
' (1 - а)2 +	(1 - Ъ) 2 + с2 =	Д2,
,(1 — о)2 +	Ь2 + (1 + с)2 =	Д2.

После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых

получается система, из которой а =	1, b = 0, с = О, Я 2 = 1.
Ответ, (х — I)2 + 2/2 + z2 = 1.	•

5.5.5.Составить уравнение сферы если:

1)точки Л(3; —2; 6) и В(5; 2 ;—2) являются концами одного из

ее диаметров; 2) имеет центр в точке Мо(5;0;3) и проходит через точку Л(4; 1; - 1 );

3)имеет центр в точке М0(2; 1; 3) и касается плоскости 2 = 6;

4)имеет центр в точке Мо(5;2; - 1 ) и касается плоскости 2х —

— у + 3 z + 23 = 0;

5)она симметрична сфере (х - I)2 + (у - З)2 4- (2 + 4)2 = 46 относительно плоскости Зх + у — 2z = 0;

6)она проходит через точки J4(1, —6, —2), В(4; —3; 2),

С(—3; —3; 9) и Z>(4; 1;6).

5.5.6.				2	2	2
	Найти точки пересечения поверхности yg + ^ —					= 1 и пря­
	мой х _	У	_	2 + 2
	М0Й 4 “	^ 3	”

О Параметрические уравнения прямой х = 41, у = —3£, z = = —2 + 4£ подставим в уравнение однополостного гиперболоида

1	QJ.2	f4 i_2)2	а
и определим значение - g - + ^ —		-— у ■7	= 1, (t - I)2 = 0,

^i,2 = 1- Следовательно, х = 4, ?/ = —3, 2 = 2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т. е. пря­ мая касается поверхности гиперболоида в точке Mi (4; —3; 2).

5.5.7.При каких значениях параметра р плоскость 2х — 2 у —z = р касается сферы х2 + у2 + z2 = 81?

Q Если плоскость касается сферы, то расстояние от ее центра

до плоскости равно радиусу сферы, т. е.	1 2 - 0	-2 0 —0 —р\
Отсюда \р\= 27, т. е. р = ±27.	V	4 + 4 + Ï
		•

5.5.8.Установить при каких т плоскость у + mz = 1 пересекает двуполостный гиперболоид х2 + у2 —z2 = — 1:

а) по эллипсу, б) по гиперболе.

5.5.9.

5.5.10.

Установить при каких т плоскость тпу+ 2 = 2 пересекает эл-

2	2
липтический параболоид у =	:

а) по эллипсу, б) по параболе.

Методом параллельных сечений исследовать поверхность, оп-

2 -.2	2
ределяемую уравнением f g + g —	^- = — 1.
	2	-.2	2
О 1) Перепишем уравнение в виде yg		+ ^ =	^- — 1и пересе­

каем поверхность плоскостями 2 = h параллельными коорди­ натной плоскости Оху.

2	2
В сечениях получаются линии с уравнениями	=
h2	9
= т - ‘-

При |ft| < 2 эти уравнения не имеют изображения (мни­

мые эллипсы) при h = ± 2 они изображают точки (0; 0; 2) и

2 ? 2

(0; 0; —2), а при \h\2 > 2 получаются эллипсы тт-rj + 7о 'у2' = 1» (4с) “ (Зс)

где с =

С увеличением |/i| увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и Зс, т. е. эллипсы расширяются (рис. 66). Поверхность симме­ трична относительно плоскости Оху.

Рис. бб

	2	2
2) Перепишем уравнение поверхности в виде T F ~ тг =
2	1о	9
= — ^ —	1 и пересечем ее вертикальными плоскостями у = /.

При каждом I £ (—оо; +оо) соответствующие уравнения описы­

вают гиперболы. В частности, при I = 0 получаем гиперболу

2 2

Yg — — 1, расположенную в плоскости Oxz.

3) Сечения поверхности плоскостями х = г также гипербо-

Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверх­

ности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу

2 2

Yg — = —1 (Z = 0). Поскольку два сечения, параллель­

ных Oxz и Oyz — гиперболы, а одно — параллельное Оху —

эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптиче­ ским; для уточнения — двуполостный, ибо состоит из двух от­ дельных частей (над и под плоскостью Оху). •

5.5.11.Установить тип заданных поверхностей и построить их.

2)х2 + у2 - 4z2 = - 1 ;

3)Зж2 + т/2 = 2 a(z —2);

4)2у = х2 - £ -

5)у2 = 15z;

6)z = 5 — х2 —у2\

7)х2 - 9у2 = 4z2;

8)х2 = 5 у - 1;

9)2.т2 — 4х + у2 — 6т/ — z2 = 0;

10)2х2 - 7у2 + Hz2 = 0;

11)х + 2 = у2 - Зу + 3z2 4- 6 z;

12)х2 = yz.

5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей

(х —4) 2 + (у —7) 2 + (z + I)2 = 36 и Зх + у - z - 9 = 0.

О Первая поверхность — это сфера, вторая — плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке, или вовсе не пересекаются.

Найдем расстояние d от центра сферы Mo(4; 7; —1) до плос­

кости Зх + у —z —9	= 0.
л — 13	-4 + 7 + 1 —9| __	П „ д т
	ч/з2 + 1 + 1	VÎT

Поскольку d < R (R = б — радиус сферы), то плоскость пере­ секает сферу по окружности.

Центр 0(х 1\yi\z\) этой окружности расположен на перпен­ дикуляре MoО, опущенном из центра сферы Mo на заданную плоскость (рис. 67).

Уравнение перпендикуляра MoО в параметрической форме имеет вид

ж = 4 + 31, т/ = 7 + £, z = - 1 - т / .

Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим L 3(4 + 3t) + (7 + 1 ) — ( - 1 — t) — 9 = 0, t = - 1 .

Подставим t = — 1 в параметрические уравнения перпенди­ куляра МоО. Находим: х = 1, у = б, г = 0, т. е. 0(1; 6; 0) — центр окружности пересечения сферы и плоскости.

Из АОMoА (рис. 67) находим г2 = R2 - d 2, г2	= 3 6 -1 1 = 25
г = 5.	*

Таким образом получено, что кривая

Г (х — 4)2 + (у — 7)2 + (z 4- I)2 = 36, |з.т + у - z - 9 = 0

представляет собой окружность радиуса 5 с центром в точке

0 (1 ; 6; 0).		•
5 .5 .13 . Составить	уравнения	касательных плоскостей к сфере
(х - 2)2 +	(у + I)2 + (z	— З)2 = 6 в точках ее пересечения с
прямой х		^

О Точки пересечения прямой со сферой получаются подста­ новкой равенств х = 1 + t, у = —t, z = 1 + 2£ в уравнение сферы, определением t и подстановкой обратно в уравнения прямой.

Имеем (1 +	1 - 2)2 + ( - 1 +	I)2 +	(1	+ 2t - З)2 = 6, 6(* - I)2	= б,
t\ = 0, t2 =	2. Далее х\ =	1, yi	=	0, z\ = 1, х2 = 3, у 2 =	- 2 ,

Z2 = 5. Итак, Mi (1; 0; 1), Мг(3; —2; 5) — точки пересечения пря­ мой и сферы.

Составим уравнение первой касательной плоскости, про­ ходящей через M i(l;0 ;l). Ее нормальный вектор МоМх, где М о(2;—1; 3) центр сферы: МоМг = (—1; +1; —2), а уравнение плоскости: —(х —1 )+ у —2(z — 1) = 0 или х —y + 2z —3 = 0.

Уравнение второй плоскости, по аналогии: х—у+2z—15 = 0. Полученные плоскости параллельны потому, что данная

прямая проходит через центр сферы М о(2;—1;3)	(получается
при t = 1).	•

Установить, что плоскость у —2 = 0 пресекает эллипсоид

Yg-f-^- + “ - = ln o эллипсу. Найти его полуоси и вершины.

О Пересечение двух поверхностей в пространстве преставляет некоторую линию, принадлежащую как одной так и другой поверхности. Уравнение этой линии в нашем случае имеет вид

£ 1 -1. 1L л. Z1 = I

16	+ 8	+ 9	’
[У -	2 =	0.	2	2 - 1
Подставим у = 2 в первое уравнение и получаем fg + ^				= 5*

Это уравнение эллипса, расположенного в плоскости у —2 = 0.
Поскольку каноническое уравнение полученного эллипса име-
,2	2	=	1, то его полуоси равны а =			_	>/Зр>
ет вид					V8 и 6 =
(с2 = о2 — 62, с			= V^ 5 ) J а	вершины эллипса расположены
в точках -Ai (—л/8; 2; 0) и А2(8; 2; 0) — на большем диаметре,
В\(0; 2; -		и 2?>(0; 2;		— на меньшем диаметре.			•
5.5.15. Исследовать линию пересечения гиперболоида ^					2	2
						— z2 = 1

с плоскостью 4а; —Зу —12z — 6 = 0, пользуясь ее проекциями на координатные плоскости.

ОЛиния пересечения гиперболоида с плоскостью определя­

ется системой
"	~ z* =
9 +
[4а; —Зу —12г — 6 =		0.
Выражаем из второго уравнения
= -----------------4а; - Зу —6 и 2?о =	------------16я2 + 9у2----------------------------------------+ 36 — 24х у — 48а; + 36у
12		144
и подставляем в первое уравнение. Получаем
9у 2 + 8х у + 16а; - 12у -		60 = 0.

Это уравнение проекции на плоскость Оху линии пересече­ ния гиперболоида с плоскостью. Вместе с тем это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz, направляющая которой есть исследуемая линия. Уравне­ ние этой линии следует привести к каноническому виду извест­ ными формулами преобразования координат (поворот осей и сдвиг). В данном случае методом разложения на множители можно получить (у + 2) (9у + 8а; - 30) = 0, т. е. наша линия представляет пару прямых у+ 2 = 0 и 8х + 9у - 30 = 0, которые пересекаются в точке

Г2/ + 2 = 0, [8а; + 9у - 30 = 0,

	По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плос­
	кость Oxz. Получаем пару прямых x - 3 z = 0 и 5х — 9z —12 = О,
	которые пересекаются в точке АД(6;2).
	Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется
	в прямые у + 2 = 0 и Ъу 4- Sz — 6 = 0, которые пересекаются в
	точке АД(—2; 2).
	Если проекции на координатные плоскости данной линии
	являются пересекающимися прямыми, то сама эта линия пред­
	ставляет пару пересекающихся в точке М (6; —2; 2) прямых. Ко­
	ординаты М получаются из координат ее проекций АД, АД,
5 .5 .1 6 .	АД.							•
	Установить какие линии определяются системами уравнений:
	Го2 _ (X-			I)2 . (у + I)2
			3	т	6
	[Зх —у + 6 z — 18 = 0;
	2)				Ü/ + D2
		2 у -			3
	I.т -		1	= 0;
	'(*	- I ) 2	,	(.V +	1)2 _ 2 1	= 1
	3)	4	+	9	36	’
	[9х - 6у + 2z - 43 = 0.
5 .5 .1 7 .	Дан гиперболический параболоид а;2						У1	-
								= z и одна из его
	касательных плоскостей: Юл:- 2 у- z - 2 1 = 0. Найти уравнения
	каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с
	параболоидом.
	О Уравнения искомых прямых задаются системой уравнений,
	которую последовательно преобразуем.
	Г I 0 x - 2 y - z —21=0,					(z = 10х —2 у —21,
						x2 —lÇ = lQx—2 y—2 l
				j z =	lOx - 2 2 / - 2 1 ,
				\ (2x —y —6)(2a; + y - 14) =				0
					lOx — 2y — 2 — 21 = 0,

(5.1)

2x — y —6 = 0

f lOx — 2?/ — ^ — 21 = 0,

(5.2)

^2x + 2/ — 14 = 0.

Уравнения прямых (5.1) и (5.2) получены в общем виде. Приведем (5.1) к каноническому виду. Для этого найдем две точки на прямой (5.1):

Юх - 2 y = 21, 2x - y = G

y = 0 { г х - б ^ о 21,

^

jV/2(3;0;9)-

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М\

и Л/г- М\М2 = ^ ;3 ;9 ^

= § (1;2;6). Прямая (5.1)

имеет вид

x -j

^

~

\ — Z g ^ или параметрически: ж =

3 4- t, у = 2£,

г

=

9 + 6 t.

(Уравнение прямой

определяется

неоднозначно:

например, при t =

2 находим на этой прямой точку жо = 5,

2/о — 4? %о — 21, а потому ее уравнение можно записать и так

ж — 5

"

^ 2 ^

г

По аналогии, прямую (5.2) можно

1

привести к виду ж - 5

у —4 _

z —21

- 2

14

Дополнительные задачи

5.5.18.

Составить уравнение сферы радиуса R = 9, проходящей через

точки Л (-5 ; 10; - 1 ), В( 1; - 2 ; - 1 ),

С (-8 ; - 2 ; 2).

5.5.19.

Сфера

проходит

через

три

точки

А(—2; 4; 1),

£ ( —5; 0; 0),

С(3; 1; —3), а ее центр лежит на плоскости 2х + у —2 + 3 = 0.

Составить ее уравнение.

5.5.20.

Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки:

А(1; - 2 ;

- 1 ),

В(4; 1; 11),

С (- 8 ; - 2 ; 2) и £>(-5; 10; - 1 ) .

5.5.21.

Установить

как расположена точка

>1(2; —1; 3)

относительно

каждой сферы — на сфере, внутри нее или вне:

1)

(х — З)2 +

(у + I)2 + (z —I)2 = 4;

2)

(х + 14)2 + (у -

И )2 + (z + 12)2 = 625;

3)

(х -

б)2 +

(у - I)2 + (* - г)2 = 25.

5.5.22.

Определить центр Мо(хо;уо; zo) и радиус окружности:

Г (ж -

З)2 +

(у + 2)2 +

(z -

I)2 = 100,

|2ж -

2у -

г + 9 = 0.

5.5.23.

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пе­

ресечения двух сфер.

2ж2 + 2у2 4 -2z2 + 3ж — 2т/+ 2 - 5 = 0

ж2 + у2 + z2 - ж + 2>у- 22 + 1 = 0.

5.5.24.

Составить уравнение сферы, проходящей через начало коорди­

нат и окружность:

Гж2 +?/2 + 2 2 = 25,

|2ж -

Зу + 52 - 5 = 0.

	х2	О
1)		Z~
	9	25

	2)	XО	♦ $ + 16
		9
			о	г2
	3)	.т2 + Г .
		9	+ 25	4
	4) z -		+ "«Ь"
	5)	Z =. х2		. 2il.
		'	4	9 ’
	6)	X2 + У1		= 1;
		4	+ 9
	7)	Xо	_ uL	= 1;
		4	9
	8) X2 = 22/.
Более сложные задачи
5.5.26.	Определить, как расположена прямая относительно сферы —
	пересекает ли, касается или проходит вне ее. Прямая и сфера
	заданы следующими уравнениями:
		х - 2 _ У + 2 _ z + 2 , x2 + y 2 + z2 4у - 3z + 1 = 0;
		- 2	”	3	“	1
	2) х =		5+3£, у = 2t,z = - 2 5 - 2 1, x2+y2+z2- 4 x —6y+2z-67 = 0;
	3)	Г2 х —у + 2 z — 12 = 0,
		2а; - 4у - z +			6 =	х2 + у2 4- z2 - 2х + 2у -f 4z - 43 = 0.
						0,
5.5.27.	Найти кратчайшее расстояние от точки А до сферы с заданным
	уравнением:
	1)	А (- 2; 6; 3), х2 + у2 + z2 =					4
	2)	А(1; —1; 3), я2 + т/2 4- z2 -					6ж + 4у - 10z - 62 = 0.
5 .5 .2 8 .	Составить уравнение плоскости, касательной к сфере х2 + у2 +
	+ z2 =		49 в точке М\(6; - 3 ; - 2 ) .
5 .5 .2 9 .	Доказать, что плоскость 2а; — 6т/ 4- 3z — 49 = 0 касается сферы
	х2 + у2		z2 = 49 и вычислить координаты точки касания.
5 .5 .3 0 .	Составить уравнения					плоскостей, касательных к сфере а;2 +

+у2 + z2 = 9 и параллельных плоскости х + 2у — 2z + 15 = 0.

5.5.31.Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку и найти ее координаты:

1) + Т- = 2у, 2х - 2у - г - 10 = 0,