книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Используя формулу (5.24), введем понятие производной оператора <7/3 по параметру /? при предельном переходе /?х —*■/?г:

^ = ^ ( ^ - 1 ) -

(5.31)

Пусть нам известен оператор §р в точке /? = /?о- Тогда по теореме Лагранжа определяем значение этого оператора в точке /?:

& =	+ ( ^ )	(/» -	А), А € [А,Я-	(5-32)
При этом выполняется неравенство
	9р < Яро	ПРИ	А < А	(5.33)

Пусть требуется найти функцию /(<) по заданной функции у>(<) воздействием на последнюю оператором др:

/ = 9рФ-	(5-34)
Однако оператор др нам неизвестен,	а известен оператор др0,

0 — во+А З. Требуется оценить приближенное решение уравнения

/о = др0Ф,

(5-35)

т.е. найти величину Д/(2) = /(*) —/о(0- Уравнения (5.34) и (5.35) эквивалентны следующим равенством:

/ + /&>/ = ф,		(5.36)
/о + А^/о = V".		(5.37)
Вычитая из (5.36) уравнение '(5.37), получим
Д/ + 0ш А/ = ^о,	= -А/Зш/о-	(5.38)
Уравнение (5.38) эквивалентно уравнению
Д/ = ярФо-		(5.39)
Учитывая формулу (5.25), имеем
д/ = ЯрФо = -А/Зшдр/о = — ^ -( 1 -	9р)!о = -^"(й/з - 1)/о -	(5.40)

(5.41)

Подставляя это выражение в (5-40), получим

или, более грубо,

А/ » -р~(90о “ 1)/о-

(5.43)

Из неравенства (5.33) следует, что оценки (5.40) будут всегда завышенными, т.е.

А/(0 < 7 Г [ / » * (* - г)#°(г) - /о(<)] •	(5-44)
о

При решении задач термовязкоупругости влияние температу­ ры может быть учтено в соответствии с принципом ДюгамеляНеймана, сформулированным в предыдущей главе и подробно рассмотренным на примере упругой среды.

Для решения квазистатических задач теории вязкоупругости и термовязкоупругости успешно применяются методы, основанные на принципе Вольтерры и преобразовании Лапласа [33]. Об этом речь пойдет в гл. 8. Сложнее обстоит дело в том случае, когда свойства материала сильно зависят от температуры, т.е. функции релаксации и ползучести зависят от температуры. Это обсто­ ятельство существенно усложняет задачу и делает фактически непригодными упомянутые выше методы ее решения.

В ряде случаев на помощь приходит температурно-временная

аналогия. Если ввести местное время 1'^*'* (индекс х соответству­ ет каждой независимой компоненте тензора функции релаксации или ползучести) как интеграл от дифференциала физического Времени, поделенного на универсальные функции температуры:

(5.45)

то в соотношения (5.3), (5.4) не войдет явная зависимость от тем­ пературы Т и они формально изменятся только тем,что буквы т

и I заменятся в них на и В изотропной среде име­ ются две независимые компоненты тензора функций релаксации (или ползучести), причем в большинстве случаев объем вязкоупругих материалов изменяется по линейно-упругому закону и остается только одна компонента. Единственное в этом случае местное время будет связано с физическим временем следующей зависимостью:

<Й' =	Ат1 =	Ат
		ат(г) ’
		Г
1' =		(5.46)
		О

У равнения равновесия квазистатической задачи термовязкоупру­ гости, вообще говоря, можно записать в виде

	+ Ащ = - 2 рК Р { +		^ 0 , .	(5.47)
	За)		и
Сюда следует добавить граничные условия
2 , = «?,	(«и +	ш	I = 2К 8 1	(5.48)
	«**>		|

Соотношения (5.47), (5.48) могут быть соответствующим об­ разом упрощены, если известно, что ядра релаксации являются ядрами разностного типа или объем не релаксирует и т.п. В частности, если свойства материала зависят от температуры и справедлива температурно-временная аналогия, то истинное вре­ мя ^ следует заменить на приведенное I', как уже было сказано.

Из соображений размерности решение задачи (5.47), (5.48) может быть представлено в виде

«I = Г[у>1 (ш){Е,} + у>2(ш){5°}] + у>3(ш)а{1?,} + у>4(ы){«?},

(5.49)

где ф](ш) = 1 , 2,3,4) — функции безразмерного оператора и, заданного В (5.19), и линейные функционалы от величин, заключен­ ных в фигурные скобки. Основная задача состоит в расшифровке функций <р} (и>) от оператора й. Об этом речь пойдет в гл. 8.

§ 6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕО РИ Я ВЯЗКОУПРУГОСТИ

При выборе конкретной модели механики сплошной среды ис­ следователь руководствуется двумя основными принципами. Вопервых, модель должна быть достаточно общей, чтобы иметь

возможность описывать поведение широкого класса реальных ма­ териалов. Во-вторых, модель должна быть как можно более прос­ той, т.е. требовать проведения как можно меньшего числа простых экспериментов для определения материальных функций и допус­ кать построение достаточно простого решения конкретных задач. Ясно, что эти требования находятся во взаимном противоречии.

Так, в случае модели, основанной на соотношениях (4.15), (4.16) гл. 1, при N —►оо необходимо проводить, вообще говоря, беско­ нечное число экспериментов для определения ядер релаксации и ползучести. Поэтому для упрощения этих соотношений можно ограничиться в разложениях (4.15) или (4.16) гл. 1 N первыми членами. Такая теория называется Л/-кратной теорией вязкоуп­ ругости. При этом если рассматривается изотропная среда, то теория вязкоупругости может быть ^-кратной по девиаторам и М-кратной по шаровым частям тензоров. Дальнейшее упрощение теории может быть произведено требованием квазилинейности общих соотношений. Кроме того, могут быть рассмотрены глав­ ные теории вязкоупругости [33]. В таких теориях сохраняются только два главных члена разложения ядер релаксации или по­ лзучести по степени их сингулярности. На опыте наблюдается, что при мгновенных, достаточно малых нагрузках большинство материалов ведут себя как линейно-упругие. Это дает основание сохранять в физических соотношениях только линейные члены, ответственные за мгновенную упругость. Теории, в которых принимается это упрощение, называются теориями с мгновенной линейной упругостью. Некоторая классификация теорий вязко­ упругости дана в [76].

Выпишем физические соотношения главной квазилинейной те­

ории вязкоупруго.сти:
	Г„(*,г,0,е)еу(т)<*т,
	(6.1 )
<т	т,0,е)в(т)ёт.

При этом линейные и нелинейные ядра релаксации содержат сингулярную аддитивную составляющую:

	Г(<, г) =	2С б у -	г) - Г(* - г),		(6.2)
	Г 1 (^,г) = ^ - г		) -	Г 1(< - г ),
	Г„(<, г, в, е) =	<р(в, е)ё{1 -		т) - Г„(*, г, в, е),	(6.3)

Гт (<,т,0,е) = ■ф[в,е)8{1-т) - Гт (<,г,0,е),

где, как и прежде, С — модуль сдвига, К — объемный модуль упругости,

е(т) = е>з(т)еч (т), *(т) = *у (г )вч(т)-

(6-4)

Частными случаями теории (6.1) являются нелинейные теории, рассмотренные в работах [33, 61, 99, 100], в которых связь меж­ ду напряжениями и деформациями задается в виде однократных интегралов. Частным случаем теории (6.1) является следующая главная квазилинейная теория вязкоупругости [76]:

<

<

«О = ^ Т ( 1 - т ) е ч ( т ) А т - 1 М * - т)<р(е,в)еу(т)Ат,

о	о
^	X

<т— ^ Гх(< - т)в(т) Ат- ^ М * - т)ф(е, 9)9{т) Ат.

о

о

Здесь мы также считаем, что линейные и нелинейные ядра релак­ сации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие:

Г(<) = 2С6(1) - Г (0 ,	Г,(1) = К6{1) -	Г1(<),
О	0	(6-6)
МО = М(0 - МО.	МО = гФ6Ц) - МО-

оо

Если Г^, = = 0, то соответствующая теория называется глав­ ной квазилинейной с мгновенной линейной упругостью. В случае, когда объем среды изменяется упруго, соотношения (6.5) при­ нимают вид

с — КО

(6.7)

Если же рассматривается несжимаемая среда, то физические соотношения (6.5) принимают вид

<	*
ВЦ = У Г(* -	Т)ец(г) Ат- I М < - тЫе)ец(т) Ат.	(6.8)
о	о

Если в теориях (6.5), (6.8) положим

г(0 = г*1(0= МО = МО = °.

(6-9)

то получим из (6.8) теорию малых упругопластических дефор­ маций А.А. Ильюшина для активных нагружений, а из (6.5) — обобщение этой теории.

Еще одним частным примером теории (6.1) служит главная квадратичная по девиаторам теория вязкоупругости, рассмот­ ренная в [33]:

1

(

<г=

(6.10)

При этом нелинейные ядра релаксации ^ и ^ 2 при выполнении условий взаимности являются зависимыми:

|<?2М ) .

(б .и )

Важно отметить, что главные нелинейные теории релаксации и ползучести, вообще говоря, не являются взаимно обратными [67]. Однако если функция релаксации Д(<) такова, что ее производная мало изменяется, можно указать два случая, когда эти теории являются взаимно обратными с некоторой степенью точности [33]. В общем же случае соотношения главной нелинейной теории релаксации, например (6.5), можно обратить и представить в виде главной нелинейной теории ползучести:

* <

СУ = /	К Ц - т)8ц(т)<1т + У	-	т){((Г, в)еу(т) Ат,
о	о		(6.12 )
<	«
0 = ^	т)<т(т)Ат+ ^	К„Ц -	г)т}(<7, в)о-(т) Ат,
о	о

но нелинейные ядра ползучести считать функционалами от тензо­ ра напряжений. Если фиксирован конкретный процесс нагруже­ ния, то можно найти нелинейные ядра ползучести через известные нелинейные ядра релаксации методом последовательных прибли­ жений [76].

Лля определения линейных и нелинейных ядер релаксации и ползучести используются простейшие эксперименты [33]. За­ метим, что иногда использование многократных интегралов при построении модели сплошной среды нецелесообразно, так как ошибки экспериментальных данных сказываются существеннее при выполнении большого числа интегрирований [100]. Поэтому

иногда более точными оказываются главные нелинейные теории вязкоупругости [33] и теории, учитывающие экспериментальный факт подобия изохронных кривых ползучести [100].

Набор простейших экспериментов на ползучесть, позволяющий определить линейные и нелинейные ядра, входящие в физические соотношения рассмотренного выше типа, приведен в [76].

Итак, в настоящее время самым общим представлением опе­ ратора связи между напряжениями и деформациями являются представления (4.15) гл. 1. Разумеется, это очень узкий класс операторов (такое представление можно сравнить с представле­ нием некоторой функции в окрестности нуля ее полиномиальной аппроксимацией). Все другие существующие теории, в том числе теории ползучести, являясь частным случаем теории (4.15) гл. 1,

только сужают оператор Т .

В связи с этим рассмотрим новое представление нелинейной связи между напряжениями и деформациями для одномерного случал (обобщение (6.13) на трехмерный случай дано в [81]):

(6.13)

о

где а — некоторый «малый» параметр.

Упражнение 6.1 . Рассмотреть все разобранные выше теории как частный случай теории (6.13), пользуясь разложением (6.10) по параметру а.

Глава 3

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МДТТ

§ 1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Материальные функции и константы, описывающие некоторую модель М ДТТ, определяются обычно из простейших (одномер­ ных) экспериментов. Для этого в рамках рассматриваемой моде­ ли необходимо решить простейшие задачи. Будем рассматривать для простоты квазилинейную изотропную среду, в которой объем изменяется упруго. Для такой среды связь между напряжениями и деформациями имеет вид

—А(0,Еи)еу,	(1 .1 )
с = К в.	(1.2)
Здесь К — модуль, сжатия, а А — скалярный	оператор двух

инвариантов тензора деформации. Предположим, что соотноше­ ния (1 .1) обращаются, т.е. можно выразить компоненты девиатора тензора деформации через напряжения:

		= гД(<г, (7и)5у.	(1*3)
		Одномерным напряженным
	4	состоянием называется такое со­
	I	стояние, при котором единствен­
		ная отличная от нуля компонен­
		та тензора напряжения является
		постоянной.	К одномерному на­
	Рис. 7	пряженному состоянию относит­
		ся, например, простое растяже­
		ние стержня силой с интенсив­
	ностью р (рис. 7), т.е. на торцах стержня ха = 0, ха = I выпол­
	няются граничные условия
		СуП; = рЬ%а,	(1-4)

а на боковой поверхности — условия

<гуп,- = 0.

(1.5)

В этом случае решение поставленной задачи имеет вид

<7у — р6\а&]а-

(1-6)

Тогда, очевидно, удовлетворяются уравнения равновесия и урав­ нения совместности (ибо деформации в силу (1.2) и (1.3) не будут зависеть от координат). Тогда величины, связанные с напряже­ ниями, имеют вид

а деформации согласно (1.2) и (1.3) имеют вид

Бели считать, что в точке	стержень закреплен, то по формулам
Чезаро получим значения вектора перемещения
«, = (*,- - *?)	+ (б {а6,а -	В(р)р| .	(1.9)

Упражнение 1.1. Показать, что для изотропной линейной упругой среды перемещения при простом растяжении бруса име­ ют вид

«.• = §[-*'(*< - *,9) + (1 + * ) Ы * « - *«)].

(1.10)

Упражнение 1.2. Показать, что для случая теории малых

упругопластических деформаций перемещения при простом рас­ тяжении бруса имеют вид

“*= "Х,?)+У! Ф_1()/|р[ м * « ~*«)“|(х»“*?)] •

( 1.11) -

Упражнение 1.3. Показать, что в случае главной квазилиней­ ной теории вязкоупругости с мгновенной линейной упругостью, описываемой соотношениями (6.5) и (6.12) предыдущей главы, перемещения при простом растяжении стержня имеют вид

«. = (*< -

	/		*	(1 .12)
х		К(1 -	о	тШ т))р(т) Ат
			т)р(т) Ат + I К ( Ц -

Теперь рассмотрим задачу о сжатии бесконечной пластинки си­ лой с интенсивностью р (рис. 8). Граничные условия задаются в сле­ дующем виде:

	а па —	>	(1.13)
	5? = / +Мог,	= О,

Ха = /.

Кроме того, в силу неограниченнос­ ти области мы должны наложить ус­ ловия на перемещения в бесконечно

удаленной точке. Предположим, что они являются ограниченны­ ми. Тогда, очевидно, решение предыдущей задачи не является решением настоящей задачи, ибо в предыдущем случае переме­ щения были линейными функциями координат. Предположим, что решение имеет вид

и,- — С6{аха ,

(1.14)

где С — некоторая постоянная или функция времени, если фун­ кцией времени является р = р({). Таким образом, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения линейно за­ висит от соответствующей координаты. Такое состояние называ­ ется одномерным деформированным. Деформации в этом случае имеют вид

.у — Сбхаб^,

в = С, еУ - С

(1.15)

Си