книги / Эконометрика. Начальный курс

Упражнения	101
	Таблица 3.5
Переменная	Описание
T O T S P	Общая площадь, кв.м
P R IC E	Цена квартиры, тыс. долл.
R O O M S	Количество жилых комнат
L IV S P	Жилая площадь, кв.м
K I T S P	Площадь кухни, кв.м
D IS T	Расстояние до центра, км
M E T R D IS T	Расстояние до ближайшей станции метро, мин
W A L K	1, если пешком от метро, 0 — иначе
B R IC K	1, если дом кирпичный, 0 — иначе
T E L	1, если есть телефон, 0 — иначе
B A L	1, если есть балкон или лоджия, 0 — иначе
F LO O R	0, если квртира находится на первом или последнем
	этаже, 1 — иначе

а) Постройте модель стоимости квартиры (или стоимости квадрат­ ного метра жилой площади квартиры) в зависимости от имею­ щихся параметров.

б) Проверьте гипотезу, что модели для 1, 2, 3-4-комнатиых квартир различаются между собой, т. е. гипотезу, что рынок распадается на рынки однокомнатных, двухкомнатных и трех-четырехкомнат- ных квартир.

3.32. (автор — Arthur van Soest, Tilburg University)

Введение. Рассматриваемые здесь упражнения в значительной мере опираются на статью (Mankiw et al., 1992) и направлены на проверку по­ лученных там результатов (в первую очередь, с точки зрения здравого экономического смысла). В цитированной статье изучается расширен­ ный вариант модели экономического роста Солоу. Основным объектом, изучаемым в модели Солоу, является удельная величина валового вну­ треннего продукта (ВВП) в стационарном состоянии. Таким образом, модель объясняет различие в уровне благосостояния разных стран в долговременном плане. Обобщение модели Солоу в работе (Mankiw et al., 1992) состоит в том, что в отличие от первоначальной модели здесь допускаются инвестиции не только в физический, но и в человеческий капитал. Приведенный там эмпирический* анализ основан на межстрановых данных, взятых из работы (Summers, Heston, 1988). Мы также будем использовать эти данные.

102	Гл. 3 Модель множественной регрессии

Обобщенная модель Солоу. Дадим краткое описание обобщенной моде­ ли Солоу, предложенной в работе (Mankiw et al., 1992). Исходная модель Солоу изложена во многих учебниках по макроэкономике (см., напри­ мер, (Romer, 2001)). Предполагается, что в каждый момент времени t производство задается производственной функцией Кобба-Дугласа с постоянной отдачей на масштаб:

Yt = K ?H ?(A tL t)l-> -0 .

где У —выпуск, К и Н — объем физического и человеческого капитала, соответственно, L —труд, а переменная А описывает уровень техноло­ гии. Предположение о постоянстве отдачи на масштаб позволяет опе­ рировать с удельными величинами (на единицу эффективного труда):

У =	—	h - J L
	A V	h ~ A L '

Будем также считать, что выполнены следующие условия:

-фиксированные доли з*, з/, суммарного выпуска Y инвестируются

вфизический и человеческий капитал, соответственно;

L t = L0ent, где п —скорость роста населения;

- A t = A0eqi, где g —скорость роста технологического уровня;

-интенсивность амортизации б одинаковадля физического и чело­ веческого капитала.

Из этих предположений вытекает, что эволюция капитала описыва­ ется следующей системой дифференциальных уравнений:

kt = skyi ~ ( п + у + S)kt,

hi = si,yt — (n + g + 5)ht-

Стационарное состояние характеризуется условиями kt = h.t = 0.

3.32.1. Покажите, что в стационарном состоянии выполнено равенство

1nyt = -----— ^(alnsA. + 0 \n s h - (a + /?)ln(n + g + £)).

(3.51)

Равенство (3.51) устанавливает соотношение (в стационарном состоя­ нии) между благосостоянием страны, скоростью роста ее населения и интенсивностью инвестиций в физический и человеческий капитал.

Упражнения

103

Следствием этого соотношения является то, что и в долговременном плане можно ожидать сохранение различия в уровне благосостояния разных стран.

Модель также позволяет описать траекторию сходимости к стацио­ нарному состоянию. Пусть у* — значение yt в стационарном состоянии. Тогда можно показать, что имеет место следующее приближенное со­ отношение:

^ = A ( l n y * - l n y t),

где А = (п + д + 5)(1 —а —0). Решая это уравнение, получаем

In yt - (1 - е~м Inу* + e~Xt In у0).

(3.52)

3.32.2. Покажите, что из (3.51) и (3.52) вытекает следующее уравнение для траектории сходимости:

In ^ = (1 - е"А‘) Уо

х { i - ' а - / ? (а1пз* + 0 |пя* ~ (в + /?)Ь(п + У + Д ))-1п У»| • (3.53)

Данные. Используются данные, извлеченные из архива журнала Jour­ nal of Applied Econometrics. Они соответствуют работе (Durlauf, Johnson 1995). Начало этим исследованиям положила работа (Summers, Heston 1988). Единицей наблюдения является страна, даны результаты наблю­ дений 121 страны. Используются переменные, перечисленные в табли­ це 3.6.

Все данные, за исключением Ы Т , взяты из работы (Mankiw et al., 1992); переменная L I T взята из доклада Всемирного банка. Данные содержатся в файле growth.xls. Список стран приведен в приложении к работе (Mankiw et al., 1992).

3.32.3. а) Вычислите суммарные статистики всех переменных. Проверь­ те, имеют ли смысл ваши результаты.

б) Вычислите корреляционную матрицу Dcex переменных. Дайте ин­ терпретацию наиболее важных результатов. Соответствуют ли они тому, что вы ожидали?

104	Гл. 3. Модель множественной регрессии
	Таблица 3.6
Переменная	Описание
N U M	номер страны в базе данных Summers, Heston (1988)
N O IL	1 для страны, не добывающей нефть, 0 — для добыва­
	ющей
I N T E R	1для страны с хорошим качеством данных, 0 — в про­
	тивном случае
O E C D	1 для страны, входящей в Организацию экономическо­
	го сотрудничества и развития, 0 — в противном случае
GDP60	ВВП на душу населения в 1960 г. (долл.)
GDP8S	ВВП на душу населения в 1985 г. (долл.)
GD PGRO	средний рост ВВП надушу населения с 1960 по 1985 г.
	(%)
PO PG RO	средний рост работоспособного населения с 1960 по
	1985 г. (%)
IO N Y	средняя доля инвестиций (включая государственные)
	в общем объеме ВВП с 1960 по 1985 г. (%)
SC H	средняя доля населения, продолжающего получать об­
	разование одновременно с работой с 1960 по 1985 г. (%)
L IT	доля людей среди населения старше 15 лет, умеющих
	читать и писать в 1960 г.

Анализ стационарного состояния. Если предположить, что в 1985 г. страны достигли стационарного состояния, то мы можем использовать достигнутый в 1985 г. уровень ВВП для оценивания уравнения (3.51). Поскольку мы используем данные, относящиеся к одному и тому же году, то индекс t можно опустить. Уравнение (3.51) переписывается в следующем виде:

In GDP85 =	л0 + я-1 In а* + щ In зн + лз 1п(п + д + <5),	(3.54)
где no = In До +	gt — постоянный член. При оценивании	уравне­

ния (3.54) представляется разумным в качестве sk использовать пере­ менную IO N Y , а в качестве з/, переменную SC H . Мы не наблюдаем величины д и S, поэтому будем считать, как в работе (Mankiw et al., 1992), что д = 2% и 6 = 3%. В качестве п берется переменная PO PGRO .

3.32.4 а) Оцените уравнение (3.54), используя данные по всем странам, за исключением тех, для которых пропущены наблюдения какойлибо переменной.

Упражнения

105

б) Исходная модель Солоу не включает человеческий капитал. Оце­ ните уравнение (3.54), удалив переменную In S C H . Сравните с ре­ зультатом, полученным в п. а). В чем состоит основное различие? Объясните это различие, используя также результаты упражне­ ния 3.32.3.

3.32.5. а) Структурная форма (3.51) накладывает некоторое линейное ограничение на параметры щ , я-j, яз приведенной формы. Что это за ограничение?

б) Протестируйте (на 5%-ном уровне значимости) выполнимость этого ограничения.

в) Оцените вновь уравнение (3.54), используя это ограничение. Сравните ваш результат с результатом, полученным в упражне­ нии 3.32.4 а).

г) Выразите структурные параметры а и 0 через тг\, яг и постройте, таким образом, их оценки.

3.32.6. а) Добавьте в регрессионное уравнение упражнения 3.32.4 а) фиктивные переменные N O IL и O E C D и проверьте их значи­ мость.

б) Проверьте, является линейная спецификация (3.54) разумной, добавляя квадраты независимых переменных и перекрестные члены.

3.32.7. Согласно «золотому правилу накопления капитала», доли инве­ стиций я*,, sh должны выбираться таким образом, чтобы в стационар­ ном состоянии величина с = (1 —s* —s/,)y была максимальна.

а) Найдите теоретические оптимальные значения величин я*, я/,.

б) Используя оценки, полученные в упражнении 3.32.5, проверьте, удовлетворяют ли в среднем инвестиции в физический капитал «золотому правилу».

Рост ВВП. Уравнение (3.53) служит основой эмпирического анализа роста ВВП в период с 1960 (t = 0) по 1985 г. (t = 25). Заметим, что уравнение (3.53) можно переписать следующим образом:

,GDP85

ПG D P 60 = wo+ wi 1пя*+я2 Insn+ я3 In(п+ 0 + 5)+ я 4 InGDP60. (3.55)

При оценивании этого уравнения будем использовать тс же предполо­ жения, что и в предыдущих разделах. Так, например, д — 2%, 5 = 3% и т. д.

106	Гл. 3- Модель множественной регрессии

3.32.8. а) Оцените уравнение (3.55), интерпретируйте результат.

б) Исходпая модель Ссшоу не включает человеческий капитал. Оце­ ните уравнение (3.55), удалив переменную InSCH. Сравните ре­ зультат с тем, что получен в п. а). Объясните разницу.

3.32.9. а) Структурная форма (3.53) накладывает некоторое линейное ограничение на параметры wi, 7г2, *з приведенной формы. Что это за ограничение?

б) Протестируйте (на 5%-ном уровне значимости) выполнимость этого ограничения.

в) Оцените вновь уравнение (3.55), используя это ограничение. Сравните ваш результат с результатом, полученным в упражне­ нии 3.32.8 а).

г) Используя результат п. в), постройте оценки структурных пара­ метров А, а, р. Проинтерпретируйте результаты. Сравните ваши оценки параметров а, р, с оценками, полученными в предыдущих упражнениях.

3.32.10. а) Добавьте фиктивные переменные NOIL и OECD в уравне­ ние упражнения 3.32.8 а) и проверьте их значимость.

б) Проверьте, является линейная спецификация (3.55) разумной, добавляя квадраты независимых переменных и перекрестные члены.

3.32.11. а) Оцените уравнение (3.55) отдельно для стран — членов OECD и для стран — нечленов OECD и проинтерпретируйте ре­ зультаты.

б) Проверьте, совпадают ли коэффициенты уравнения (3.55) (за ис­ ключением свободного члена) для стран — членов OECD и для стран —нечленов OECD.

3.32.12. Выберите наилучшее, с вашей точки зрения, уравнение и по­ стройте 95%-ный доверительный интервал для скорости сходимости А. Проинтерпретируйте результат.

3.33. Рассматривается информация о стоимости коттеджей в Москов­ ской области по Киевскому направлению (поданным строительной ком­ пании «Стройсервис», осень 1997 г.).

Данные находятся в файле v illa .x ls. Переменные описаны в та­ блице 3.7.

Упражнения	107
	Таблица 3.7
Переменная	Описание
N	Номер по порядку
Price	Цена в тыс. долл.
Dist	Расстояние от кольцевой автодороги в км
House	Площадь дома в кв.м
Area	Площадь участка в сотках

Подберите функциональную форму зависимости цены коттеджа от его параметров, учитывая такие факторы, как t-статистики и коэффи­ циент детерминации R2.

Глава 4

Различные аспекты множественной регрессии

В предыдущих главах были изучены основные теоретико-стати­ стические вопросы регрессионных моделей. В данной главе рас­ сматриваются некоторые проблемы, часто возникающие при их практическом использовании.

На практике исследователю нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда полученная им регрессия является «плохой», т. е. t-статистики большинства оценок малы, что свидетельствует о незначимости соответствующих независимых переменных (ре­ грессоров). В то же время F -статистика (3.36) может быть до­ статочно большой, что говорит о значимости регрессии в целом. Одна из возможных причин такого явления носит название муль­ тиколлинеарности и возникает при наличии высокой корреляции между регрессорами. Проблеме мультиколлинеарности посвяще­ но начало этой главы.

Регрессионные модели являются достаточно гибким инстру­ ментом, позволяющим, в частности, оценивать влияние качествен­ ных признаков (пол, профессия, наличие детей и т. п.) на изучае­ мую переменную. Это достигается введением в число регрессоров так называемых фиктивных переменных, принимающих, как пра­ вило, значения 1 или 0 в зависимости от наличия или отсутствия

108

4.1. Мультиколлинеарность

109

соответствующего признака в очередном наблюдении. С формаль­ ной точки зрения фиктивные переменные ничем не отличаются от других регрессоров. Однако следует обратить особое внимание на правильное их использование и интерпретацию оценок.

В этой главе мы также рассмотрим задачу нахождения част­ ной корреляции между переменными и так называемую проблему спецификации модели.

4.1.Мультиколлинеарность

Одним из условий классической регрессионной модели являет­ ся предположение о линейной независимости объясняющих пере­ менных, что означает линейную независимость столбцов матрицы регрессоров X или (эквивалентно) что матрица (Х 'Х )-1 имеет полный ранг к. При нарушении этого условия, т. е. когда один из столбцов матрицы X есть линейная комбинация остальных столбцов, говорят, что имеет место полная коллинеарность. В этой ситуации нельзя построить МНК-оценку параметра /3, что фор­ мально следует из сингулярности матрицы Х 'Х и невозможности решить нормальные уравнения. Нетрудно также понять и содер­ жательный смысл этого явления. Рассмотрим следующий простой пример регрессии (Greene, 1997): С = 0i + (hS + 0$N + /?4Т + e, где С — потребление, S — зарплата, N — доход, получаемый вне работы, Т — полный доход. Поскольку выполнено равенство Т = S + N , то для произвольного числа h исходную регрессию можно переписать в следующем виде: С = /?i+je^S+p^N+P^T+e, где ft2 = -0 2 + h ,p $, = fe + h ,fli = l34 — h. Таким образом, одни и те же наблюдения могут быть объяснены различными наборами ко­ эффициентов (3. Эта ситуация тесно связана с проблемой иденти­ фицируемости системы, о чем более подробно будет говориться позднее. Кроме того, если с учетом равенства Т — S + N перепи­ сать исходную систему в виде С = fa + {fa + 04)S +О Зз+Д О ^+е, то становится ясно, что оценить можно лишь три параметра (3\, ifh + 04.) И (/Зз+ Д0, а не четыре исходных. В общем случае можно показать, что если rank(X 'X ) = I < к, то оценить можно только I

110 Гл. 4. Различные аспекты множественной регрессии

линейных комбинаций исходных коэффициентов. Если есть пол­ ная коллинеарность, то можно выделить в матрице X максималь­ ную линейно независимую систему столбцов и, удалив остальные столбцы, провести новую регрессию.

На практике полная коллинеарность встречается исключи­ тельно редко. Гораздо чаще приходится сталкиваться с ситуа­ цией, когда матрица X имеет полный ранг, но между регрес­ сорами имеется высокая степень корреляции, т. е. когда матри­ ца Х ' Х , говоря нестрого, близка к вырожденной. Тогда гово­ рят о наличии мультиколлинеарности. В этом случае МНК-оценка формально существует, но обладает «плохими» свойствами. Это нетрудно объяснить, используя геометрическую интерпретацию метода наименьших квадратов. Как уже отмечалось, регрессию можно рассматривать как проекцию в пространстве BJ1 вектора у на подпространство, порожденное столбцами матрицы X . Если между этими векторами существует приблизительная линейная зависимость, то операция проектирования становится неустойчи­ вой: небольшое изменение в исходных данных может привести к существенному изменению оценок. Рисунок 4.1 наглядно это де­ монстрирует. Векторы у и у 1 мало отличаются друг от друга, но в

силу того, что угол между векторами (регрессорами) ®i и х% мал, разложения проекций этих векторов по ®i и хч отличаются зна­ чительно. У проекции вектора у оба коэффициента разложения по *i и ®2 (напомним, что это и есть МНК-оценки) положитель­ ны и относительно невелики. У проекции вектора у ' коэффициент