2804
.pdf
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
12. Даны векторы |
p(0;1; 2), |
q(1; 2; 3), |
r(−1;1; − 2), c(0; 4; 3). Найдите |
|||||||
числа x,y,z, если c = xp + yq + zr . |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. x = y =z =1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Выразите вектор c через векторы a и b , если: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) a(4; − 2), b(3; 5), c(1; − 7); |
|
|
|
|
|
|||||
|
(− 3; 0), c(19;8); |
|
|
|
|
|
||||
б) a(5; 4), b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− 3). |
|
|
|
|
|
|
в) a(− 6; 2), b(4; 7), c(9; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
||
Ответ. а) c |
= a |
− b |
, б) c |
= 2a |
− 3b |
, в) c = − |
|
. |
||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.Найдите координаты вектора PQ, если известны координаты точки P
иточки Q:
а) P(2; − 3; 0), Q(−1; 2; − 3);
|
1 |
; − |
4 |
|
5 |
|
− |
3 |
|
2 |
|
|
б) P |
|
|
; |
|
|
, Q |
|
; 0; |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
3 |
|
6 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
11 |
|
4 |
|
1 |
|
|
Ответ. а) PQ(− 3; 5; − 3), б) PQ |
− |
|
|
; |
|
; − |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
10 |
|
3 |
|
6 |
|
15. Даны точки A(0; 2), B(3;1), C(− 5;3), D(2; 4). Найдите координаты
точки Q, если QA+ QB+ QC + QD = 0.
|
5 |
|
Ответ. Q 0; |
|
. |
|
||
|
2 |
|
16. Точки A и В – концы вектора: AB = a . Найдите координаты точки B,
если:
а) A(0; 0), a(− 2;1); б) A(−1; 5), a(1; − 3); в) A(2; 7), a(− 2; − 5); г) A(8; − 8), a(4; 7);
Ответ. а) B(− 2;1), б) B(0; 2), в) B(0; 2), г) B(12; −1).
11
17. На оси Ox лежит точка М, расстояние от точки М до точки A(3; − 3)
равно 5. Найдите координаты точки М.
Ответ. M (7; 0) или M(−1; 0).
|
|
|
|
18. Определите, |
при |
каком значении λ векторы c = a + λb и d |
|
коллинеарны, если: |
|
|
|
|
|
(−1; 3); |
|
а) a(2; 3), b(3; 5); d |
|||
|
|
− 5); |
|
б) a(1; 0), b(2; 2) |
; d |
(3; |
в) a(3; − 2), b(1;1); d(0; 5).
Ответ. а) λ = − |
9 |
|
|
, б) λ = − |
5 |
|
, в) λ = −3. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. Проверьте, векторы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a и b коллинеарны или нет, если: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 1 |
; − |
|
|
3 |
|
2 1 |
; − |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
а) a |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
, b |
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
7 |
3 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
− |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
9 |
|
;− |
9 |
; − |
|
|
|
|
||||||||||||||
б) a |
|
|
|
;6; |
|
|
|
|
|
, b |
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
Ответ. а) да, a = |
|
|
|
|
b , б) да, a |
= − |
|
|
b . |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1;Y; − 3 ) |
||
20. При |
|
|
каких |
значениях |
|
X и Y векторы a(X ;− 2; 5 )и b |
коллинеарны?
Ответ. X = − 5 , Y = 6 .
35
21.Даны четыре точки: A(− 2;− 3; 8 ), B(2;1; 7 ), C(1;4; 5 ) и D(− 7;− 4; 7 ). Докажите, что векторы AB и CD коллинеарны.
12
22. Отрезок с координатами концов A(3;− 2 ) и B(6;4 ) разделили на три равные части. Найдите координаты точек деления.
Ответ. (4;0 ) и (5;2 ).
23. Точки C(2;0; 2 ) и D(5;− 2; 0 ) делят отрезок AB на три равные части. Найдите координаты точек А и В.
Ответ. A(−1;2;4) и B(8;− 4;2 ).
24. Даны вершины треугольника A(1;0; 2 ), B(1;2; 2 ) и C(5;4; 6 ). Точка L
делит отрезок АС в отношении 1:3. СЕ – медиана. Найдите координаты точки пересечения прямых BL и CL.
Ответ. |
11 |
; |
10 |
; |
18 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
|
7 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Векторы |
a = −2i |
+ 3 j |
+ αk и |
b |
= βi |
− 6 j |
+ 2k коллинеарны. Найдите |
α и β .
Ответ. α = −1, β = 4.
26. Определите, компланарны или нет векторы a(1;0; 2 ), b(0;1;3 ) и
c(1;1; 5 ).
Ответ. Да.
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Докажите, что векторы a , b |
и c |
= a |
+ λb компланарны. |
||
|
28. Даны векторы a(5; 2 ) |
|
(7;− 3 ). Найдите вектор c , если ac = 38 и |
|||
|
и b |
|||||
|
= 30 . |
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|
|
Ответ. c(6;4 ).
13
29. Даны векторы a(4;− 2; − 4 ) и b(6;− 3;2 ). Вычислите
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) ab ; б) (2a |
− 3b)(a + 2b); в) |
− b)2 |
; г) |
2a − b |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ. а) 22; б) -200; в) 41; г) |
105 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
30. Дан вектор a(− 6; 8 ). Найдите координаты единичного вектора |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) сонаправленного вектору a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б) противоположно направленного вектору a . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ответ. а) e |
− |
3 |
; |
4 |
|
; б) e |
3 |
;− |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
31. Даны векторы a(3; −1; 0) |
|
(2;1; |
−1) |
и c = a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
, b |
+ 2b . Найдите скалярное |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
произведение векторов b и c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. b |
c =17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. Найдите угол между векторами a и b , если |
c |
= a |
− 2b , |
a(5; − 2; 3) и |
|||||||||||||||||||||||||
|
(2; − 3;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. Найдите |
косинус угла |
между |
векторами |
|
и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
b |
c , если c |
= a |
− b , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2;1; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a(3; −1; 4) и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ. |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. Даны векторы a(3; 2; −1) и b(2; 4;1). Найдите косинус угла между |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
векторами a + b и |
a − b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ответ. − |
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
|
a(3; − 2; α) |
|
|
(β; 4; 2) |
|
|
|
35. Векторы |
и |
b |
– |
коллинеарные. |
Найдите |
||
произведение α и β . |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. α ·β =3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(6; α; − 2) |
|
|
(3; 2; β) |
|
|
|
36. Векторы |
и |
b |
– |
коллинеарные. |
Найдите |
произведение α и β .
Ответ. α ·β = −4.
37. Векторы a(α; − 3; 2) и b(1; 2; − α) перпендикулярны. Найдите α .
Ответ. α = −6.
38. Вектор a(x; 2; z) перпендикулярен вектору b(2; 3; − 2) и оси Ox.
Найдите сумму координат x и y.
Ответ. x+y =3.
39. Вектор a(x; y; 3) перпендикулярен вектору b(3;1; −1) и оси Oy.
Найдите сумму координат x и y.
Ответ. x+y =1.
40. Вектор a(1; y; z) перпендикулярен векторам b(3; − 3; 0) и c(2;1;1).
Найдите произведение координат y и z.
Ответ. y·z =− 3.
41. Вычислите угол между векторами:
а) a(−1;2; − 2 ) и b(6;3;− 6 ); б) a(6;− 2; − 3 ) и b(5;0;0 );
в) a(2;− 4; 5 ) и b(0;2;0 ); г) a(− 2;6; − 3 ) и b(0;0;− 3 );
д) a(− 4;− 6; 2 ) и b(4;0;0 ); е) a(3;− 2; 6 ) и b(0;− 5;0 );
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
ж) a(4;− 5; 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и b(0;0;2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
Ответ. а) (a |
,b)= arccos |
; б) (a,b)= arccos |
; |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
в) (a,b)= arccos |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; г) (a,b)= arccos |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
д) (a,b)= arccos |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; е) (a,b)= arccos |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
14 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ж) (a,b)= arccos − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
42. Вычислите косинус угла между ортом i (1;0) и векторами:
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2; 3 ) , b(− 2;5 ), c(− 5;1), d(−1;−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|||||||||
|
Ответ. cos(a,i ) |
= |
|
2 |
, cos(b,i )= − |
|
, cos(с,i )= − |
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
29 |
|
|
|
26 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(d ,i )= − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
43. Вычислите косинус угла между векторами a |
− b и a + b , если |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1; 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a(1;2;1) , b(2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ. |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;1; 0), |
||
|
44. Вычислите |
косинусы углов |
между ортами |
i (1;0; 0), j |
|||||||||||||||||
|
(0;0;1) и векторами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) a |
= i |
j |
+ k ; б) b |
= −3 j |
− k ; в) |
c |
= −5i |
||||||||||||||||||
Ответ. а) |
|
|
1 |
|
; |
1 |
|
; |
1 |
|
; б) 0;− |
|
3 |
|
;− |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
10 |
|
|
|
10 |
;г) d = 3 j + 4k .
;в) −1;0;0; г) 0;3;4 .
5 5
16
45. Вектор p коллинеарен вектору q(3; − 4), p =10 . Вектор p образует
тупой угол с ортом i (1;0). Найдите координаты вектора p .
Ответ. p(− 6; 8).
|
коллинеарен вектору a(6; 8; − 7,5), |
|
|
|
= 50. Вектор |
|
|
|
|||||
46. Вектор b |
|
b |
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
образует острый угол с ортом k (0;0;1). Найдите координаты вектора b .
Ответ. b(− 24; − 32; 30).
47. На векторах |
|
|
|
|
|
a |
и b построен параллелограмм. Угол между векторами |
||||
a и b равен 300, скалярное произведение векторов a и b |
|
|
|
||
равно 3 . Определите |
площадь параллелограмма.
Ответ. 1.
|
|
|
|
|
|
|
||||
48. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b равен 600, скалярное произведение векторов a |
и b равно 2. Найдите площадь |
|||||||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
49. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b равен 300, скалярное произведение векторов a |
и b равно 3. Найдите площадь |
|||||||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50. ABCD – параллелограмм, AB = 2i + |
j , |
AC = i |
− 2 j . Найдите угол |
между векторами AB и AC . Найдите длину диагоналей параллелограмма.
Ответ. (AB;AC)= 900 ; 10 .
17
51. ABCD – параллелограмм, AB(3; − 2; 2), BC(−1; 0; − 2). Найдите угол
между диагоналями параллелограмма.
Ответ. 450 .
52. Единичный вектор a перпендикулярен векторам b(1;1; 0) и c(0;1;1).
Найдите координаты вектора a .
|
1 |
|
; ± |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
Ответ. a |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
53. Векторы a(6;0;12) и b(− 8;13; γ) перпендикулярны. Найдите γ .
Ответ. γ = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54. Даны векторы a |
= αi |
+ βj |
+ 2k , b = i − j |
+ k |
и c |
= i |
+ 2 j |
. Векторы a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и b перпендикулярны. Скалярное произведение a и c равно 4. Найдите α и β . |
||||||||||||||||||||||||
Ответ. α = 0, β = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(2; 3; −1) |
|
|
− 2; 3). |
||
55. Вектор |
|
перпендикулярен |
|
векторам |
|
и b(1; |
||||||||||||||||||
Скалярное произведение c и |
|
|
|
|
|
|
|
(− 6). Найдите координаты |
||||||||||||||||
|
d |
= 2i − |
j |
+ k |
равно |
|||||||||||||||||||
вектора c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. с(− 3; 3; 3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56. Вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c |
перпендикулярен векторам a = 2 j |
− k и |
b |
= −i + 2 j |
− 3k . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c , если |
|
c |
|
= |
|
|
|
c и |
||||||||
Найдите координаты вектора |
|
|
|
7 , и угол между вектором |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортом j – тупой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; − |
1 |
; − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. c |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
57. ABCD – параллелограмм, A(3;1; 2), B(0; −1; −1), C(−1;1; 0). Найдите
длину диагонали BD.
Ответ. BD = 26 .
58. ABCD |
– |
|
прямоугольник, |
A(1; −1;1), B(1; 3;1), |
C(4; 3;1), |
||||
D(1; −1;1).Найдите длины его диагоналей и координаты точки их пересечения. |
|||||||||
Ответ. AC = 5, O |
5 |
;1;1 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
59. ABCD |
– |
параллелограмм, |
A(4; 4; − 4), |
B(1;1; − 3), |
C(− 2; 0; 5), |
||||
D(−1; 3; 4). Найдите угол между его диагоналями. |
|
|
|||||||
Ответ. arccos |
|
63 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6441 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
60. ABCD |
– |
параллелограмм, |
A(2;1; 3), |
B(5; 2; −1), |
C(− 3; 3; − 3). |
Найдите косинус угла между его диагоналями.
Ответ. 43 . 2513
61. ABC |
– треугольник, |
|
A(3; − 2;1), B(3;1; 5), |
C(4; 0; 3). |
Вычислите |
||||||||||||||||||||||||||
длины медиан AA1 и BB1, величины углов треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. |
AA = |
|
|
31 |
|
, BB = |
|
|
53 |
, arccos |
14 |
, arccos |
11 |
|
|
, π − arccos |
|
5 |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
3 |
6 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
62. ABC |
– |
правильный |
|
треугольник, A(1; 3), B(3;1). Вычислите |
|||||||||||||||||||||||||||
координаты вершины C треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ. C(2 + |
|
|
; 2 + |
|
) или C(2 − |
|
; 2 − |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
63. ABCD – квадрат, A(2;1), B(0; 4). Вычислите координаты вершин C и D квадрата.
Ответ. C(3; 6), D(5; 3) или C(− 3; 2), D(−1; −1).
64. ABCD – ромб, B(1; − 3), D(0; 4), BAD = 600 . Вычислите координаты
вершин A и C ромба.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1+ 7 |
3 |
1+ |
3 |
|
1− 7 |
3 |
|
1− |
3 |
|
|
||||||||
Ответ. |
A |
|
|
|
; |
|
|
|
|
,C |
|
|
; |
|
|
|
|
или C(− 3; 2), D(−1; −1). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65. ABC – треугольник, A(1; −1; − 3), B(2;1;− 2), C(− 5; 2; − 6). Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла A.
Ответ. AA1 = 310 . 4
66. |
ABC |
– |
треугольник, A(−1; − 2; 4), |
B(− 4; − 2;0), |
C(3; − 2;1). |
||
Вычислите длины сторон треугольника и величину его углов. |
|
||||||
Ответ. AB = 5, BC = 5 |
|
|
|||||
2 |
, AC = 5, A = 900 , B = C = 450 . |
|
|||||
67. |
Точки |
A(3; − 2;1), |
B(3; 0; 2) и C(1; 2; 5) – координаты вершин |
||||
треугольника ABC. Найдите угол между медианой BD и основанием AC |
|||||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. π . |
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
68. |
ABCD |
– |
параллелограмм, у которого |
AB(− 3; 4;1), |
BD(− 2; 4;1), |
A(− 5; 2; 8). Найдите координаты вершины C параллелограмма.
Ответ. C(−13;14;11).