3487
.pdfM
ρ |
|
|
ϕ |
|
N |
O R |
R |
p |
Рис. 24.
Возьмем произвольную точку M на окружности. Треугольник OMN прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде ρ = 2R cosϕ .
4.Покажем, что уравнение ρ = 2a sinϕ и полярных координатах
определяет окружность радиуса a . Подставим выражения для ϕ и ρ через x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
и y |
в уравнение: |
x2 + y 2 = 2a × |
|
|
|
. Умножая обе части уравнения на |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
+ y 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2 + y 2 |
= 2ay |
|
|
x2 + (y - a)2 |
= a2 . Это уравнение |
||||||||||
|
x2 + y 2 |
, получим |
или |
|
||||||||||||||||
окружности радиуса |
|
a |
|
с центром в точке (0, a). |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
5. |
Пусть в декартовой системе координат заданы прямые x = a , |
|||||||||||||||||
y = b . Уравнения этих прямых в полярной системе координат ρ = |
a |
, |
||||||||||||||||||
cosϕ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ρ = |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6. |
Рассмотрим |
уравнение |
|
ρ = a sin 3ϕ , |
a > 0 . Переход |
к |
декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.
Период правой части уравнения равен |
2π |
, поэтому |
достаточно |
||||
|
|||||||
3 |
|
|
2π |
|
|
||
построить кривую для значений полярного угла из интервала |
0, |
|
. По |
||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
свойствам функции ρ = a sin 3ϕ , см. |
рис. 22, видно, что полярный радиус |
||||
ρ монотонно возрастает при 0 £ ϕ £ π |
и при ϕ £ π |
монотонно убывает. При |
|||
|
6 |
3 |
|
||
π £ ϕ £ |
2π |
правая часть уравнения |
ρ = a sin 3ϕ |
отрицательна, для этих |
|
3 |
|||||
3 |
|
|
|
значений ρ точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается
30
при повороте на угол 2π n (n = 1,2) части кривой, расположенной между
3
лучами ϕ = 0 и ϕ = 2 π , рис. 24. 3
|
|
|
|
|
2π |
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
π |
2π |
ϕ |
|
O |
|
O |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
− a
Рис. 25.
Задание 3.
Построить кривые в полярной системе координат.
3.01. ρ = 4sin 2ϕ 3.02. ρ = 2(1 + sinϕ ) 3.03. ρ = 3cos3ϕ 3.04. ρ = 2sin2 2ϕ 3.05. ρ = 3cos2 2ϕ 3.06. ρ = 4 cos 2ϕ 3.07. ρ = 3(1 − cosϕ )
3.08. ρ = 2(cosϕ + sinϕ ) 3.09. ρ = 6(sinϕ − cosϕ )
3.10. ρ = 4cos2 ϕ
3.11. ρ = |
3 |
|
|
|
sin |
ϕ |
|
||
|
|
|
||
3.12. ρ = |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
||
|
|
|
3.13. ρ = 3(1 − sin ϕ )
31
3.14. ρ = |
3 |
|
|
|
8cos 2ϕ |
||||
|
||||
3.15. ρ = |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
5sin 2ϕ |
||||
|
||||
3.16. ρ = |
6 |
|
|
|
|
||||
1 - cosϕ |
3.17.ρ = 3 - 4cosϕ
3.18.ρ = 4 - 2sin 2ϕ
3.19.ρ = 3 + cos 2ϕ
3.20.ρ = 2 - sin 3ϕ
3.21.ρ = 3 + 2cos 2ϕ
3.22.ρ = 4 - 2sin 3ϕ
3.23.ρ 2 = 4cos 2ϕ
3.24.ρ = 2(1 + 2 cosϕ )
3.25.ρ 2 × sin 2ϕ = 4
3.26.ρ × cosϕ = 25
3.27.ρ = 2 - 2cosϕ
3.28.ρ =1 + cos 2ϕ
3.29.ρ = 2 + cosϕ
3.30.ρ = 3 - sin 2ϕ1
§9. Поверхности второго порядка
1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а совокупность параллельных прямых – образующими.
Уравнение F (x, y) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси oz и направляющей – кривой F (x, y) = 0 в плоскости xoy .
Уравнение F (x, z) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси oy и направляющей – кривой F (x, z) = 0 в плоскости xoz .
32
Уравнение |
F (z, y) = 0 |
задает |
цилиндрическую |
поверхность |
с |
||||||
образующей, параллельной оси oz и направляющей – кривой |
F (z, y) = 0 |
в |
|||||||||
плоскости zoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение x2 + y 2 = R2 |
задает |
круговой цилиндр |
с |
образующей |
|||||||
параллельной оси |
oz |
и направляющей – окружностью |
x2 |
+ y 2 = R2 |
в |
||||||
плоскости xoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
x2 |
+ |
|
y 2 |
= 1 задает эллиптический цилиндр. |
|
|
|
|||
a 2 |
b2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение y 2 |
= 2 px задает параболический цилиндр. |
|
|
|
|||||||
Уравнение |
x2 |
− |
y 2 |
|
= 1 задает гиперболический цилиндр. |
|
|
||||
a 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
2. Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.
a) |
x2 |
+ |
y 2 |
+ |
|
z 2 |
|
= 1 – |
эллипсоид |
|
|
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a |
|
|
|
− b |
|
|
a |
|
0 |
b |
y |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− c |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = b = c |
|
x2 + y 2 + z 2 = a2 – сфера |
|
|
||||||||
b) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
|
= 1 – |
однополостный гиперболоид |
||||
a 2 |
b2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
z
b
o
a |
y |
x
Рис. 27.
33
c) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= −1 – двуполостный гиперболоид |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
c
-b |
0 |
b |
− c
x
y
Рис. 28.
d) |
x2 |
+ |
y 2 |
= 2z , p × q > 0 – эллиптический параболоид |
|
p |
q |
||||
|
|
|
z
( p > 0, q > 0)
O |
y |
x
Рис. 29.
e) |
x2 |
+ |
y 2 |
= 2z , p × q < 0 – гиперболический параболоид |
|
p |
q |
||||
|
|
|
z
(p > 0, q < 0)
y
x
Рис. 30.
34
f) |
x2 |
+ |
y 2 |
= |
z 2 |
– конус второго порядка |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
y
x
Рис. 31.
Задание 4
Определить виды поверхностей и изобразить их. 4.01.
1.3x2 + 4 y 2 − z 2 = 12
2.z 2 − 2x + 4 = 0
3.x2 + 2x + y 2 = 0
4.02.
1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6
2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0
3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0
4.03.
1.2x2 + 4 y 2 + z = 1
2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0
3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0
4.04.
1.2x2 − 4 y 2 + z 2 = 4
2.3y 2 + 6 y + z − 1 = 0
35
3. x2 + y 2 = 2 y
4.05.
1.3x2 + 4z 2 + y = 3
2.x2 + 3y 2 − z 2 = −6
3.2 y2 + y − z + 4 = 0
4.06.
1.3x2 + 4z − 5 = 0
2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0
3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0
4.07.
1.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1
2.y 2 + 2 y + z 2 = 1
3.z + 4 − x2 + x = 0
4.08.
1.2 y + 1 + x2 = 2x
2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4
3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1
4.09.
1.3x − 1 + y 2 = − y
2.2x2 − 3y 2 = 16
3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0
4.10.
1.2z + 4 + x2 = 2x
2.x2 + 2 y2 = 1
3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4
4.11.
1.2z − 3 − x2 + 4x = 0
2.x2 − 2 y 2 = 2x
3.3x2 − y 2 − z 2 = 6
4.12.
1.2 y + 3 + z 2 − 2z = 0
2.3y2 + 4z 2 = x − 4
36
3. z 2 + z + y 2 − 2 y = 1
4.13.
1.2x2 + 6 y 2 = 3z
2.x2 − 2x − 2 y2 + 4 y = 0
3.3x2 + 2 y2 − z 2 = 1
4.14.
1.3x2 − y 2 + 6z 2 = 12
2.x2 − 2x + 2 y 2 = 0
3.3x + 2 + y 2 + 2 y = 0
4.15.
1.z = 3 y + 1
2.3x2 + y 2 − 3z 2 = −6
3.y 2 + 2 y + z 2 = 1
4.16.
1.y = −3x + 1
2.x2 + 2 y 2 + z 2 = 8
3.z 2 − 2 y2 + 4 = 0
4.17.
1.y2 + 2 y + z 2 = x − 4
2.3x2 + 4z 2 = 1
3.2x + 1 + y 2 = 0
4.18.
1.3y + 4 − z 2 = 0
2.x2 + 2x − z 2 = 1
3.2x2 − y 2 − z 2 = 4
4.19.
1.− x2 + 2x + z = 1
2.x2 − 2 y 2 + z 2 = −4
3.3y 2 + 4z 2 = 1
4.20.
1. 2x2 + 4 y 2 = 8z
37
2.x2 − 3z 2 = 6
3.y + z 2 − 2z = 0
4.21.
1.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 8
2.x2 − 2x + y2 − 1 = 0
3.y = 2 z − 3
4.22.
1.y 2 + 2x2 = 4z
2.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 3
3.z = 2 y +1
4.23.
1.3z + y2 = x − 3
2.y = − x + 4
3.x2 − 3y2 − z2 = 0
4.24.
1.x = 1 − y + 2
2.x2 − 2x − y2 + z2 = 1
3.2x2 + z2 = 4
4.25.
1.x2 + 2x + z2 = y − 4
2.3y2 + 4z2 = 1
3.2 y +1 + x2 = 0
4.26.
1.3x − 4 − z2 = 0
2.y2 + 2 y − z2 = 1
3.2z2 − y2 − x2 = 4
4.27.
1.− y + x2 − 2x = 1
2.z2 − 2 y2 + 2x2 = −1
3.3z2 + 4 y2 = 1
38
4.28.
1.2x + 4 + z2 = 2z
2.2 y2 + 3z2 = x
3.3y2 + z2 = 1
4.29.
1.z = −3 x = 1
2.x2 + 4 y2 + 2z2 = 16
3.x2 − 2 y2 + 4 = 0
4.30.
1.x2 − 3y2 − 6z2 = 24
2.2 y + 1 + x2 = 1
3.x2 + 4z2 = 12
Задание 5
Построить тело, ограниченное поверхностями:
5.01. z = x2 |
+ y 2 , x = 4, |
y = 2, |
x = 0, y = 0, z = 0 |
||||||||||||||
5.02. y = |
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
x + z = 6, z = 0 |
|||||||
|
x, |
|
x , |
||||||||||||||
5.03. x2 + y 2 |
= 4 y, |
z = 4 − x2 , |
z = 0 |
||||||||||||||
5.04. y = 0, |
|
|
z = 0, z = 3x, y = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
9 − x2 |
||||||||||||||
5.05. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 3, z = x2 + |
y2 |
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
5.06. y = 3 |
|
|
, y = 0, z = 0, x + 2z = 4 |
||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||
5.07. z = |
|
, z = 0, |
y = 0, |
2x + y = 1 |
|||||||||||||
1 − y |
|||||||||||||||||
5.08. x = y 2 , |
|
z = 0, |
3x + z = 3 |
|
|
|
|
|
5.09.y = 2x2 , z = 0, y + z = 4
5.10.x2 + y 2 + 4 y = 0, z = 4 − x2 , z = 0
5.11. |
y = − |
x |
, |
y = 0, |
z = 0, |
x − 2 y + z = 4 |
5.12. |
z = 9 − x2 , |
y = 0, |
z = 0, |
x + 3y = 3 |
5.13.x = 9 − z , x = 0, y = 0, z = 0, 2x − y = 6
5.14.3x + 2 y = 4, z = 4 − y 2 , x = 0, z = 0
5.15. y = 1 − z , x = 0, y = 0, z = 0, x + 4 y = 4
5.16. z = 4 − y 2 , x = 0, x = 4, z = 0
5.17. y = 3 z , x = 0, y = 0, z = 0, x + y − 3 = 0
39