5514
.pdf
|
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
, при x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 , при 0 £ x < 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 - x, при x ³ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая |
|||||||||||||||||
ось, то есть D = R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки |
||||||||||||||||||
x1 |
= 0 |
и x2 = 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое |
||||||||||||||||
аналитическое |
|
выражение с |
дробно – |
рациональной на |
квадратичную и с |
|||||||||||||
квадратичной на линейную, соответственно. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 |
= 0 : |
|
|
||||||||||||||
|
|
lim y = lim |
1 |
= |
1 |
= −∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0−0 |
x→−0 x |
|
− 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim y = lim x2 |
= (+ 0)2 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0+0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y(0) = x2 |
x = 0 |
= 02 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1 |
= 0 нарушается, то |
||||||||||||||||
x1 |
= 0 – точка разрыва функции |
y , т.к. левосторонний предел функции y |
в точке |
|||||||||||||||
x1 |
= 0 равен бесконечности, то x1 |
= 0 – точка разрыва 2-го рода. |
|
|||||||||||||||
|
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 |
= 1: |
|
|
||||||||||||||
|
|
lim y = lim x2 |
= (1- 0)2 |
=1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1−0 |
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim y = lim x2 |
= (2 - x)2 |
= 2 - (1+ 0) =1 |
|
|
|
|||||||||||
|
x→1+0 |
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y(1) = (2 - x) |
x =1 = 2 -1 = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Условие |
непрерывности |
функции y |
в точке |
x2 = 1 выполняется, |
значит, |
||||||||||||
функция y в точке x2 = 1 непрерывна. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Построим график функции y : |
|
|
|
|
50
y |
y = x2 |
|
1 |
|
|
0 |
1 2 |
x |
y = 1 |
|
y = 2 − x |
x |
|
|
Рис. 54
|
|
Производная |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
функция |
y = f (x) определена |
на некотором |
интервале |
(a; b). |
|||||
Аргументу |
x (a;b) дадим приращение |
x , |
получим |
точку |
(x + |
x) (a;b). |
||||
Найдем соответствующее приращение функции: |
y = f (x + |
x)− f (x). Составим |
||||||||
отношение приращения |
y функции |
y |
к приращению |
x |
аргумента |
x : |
y и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
найдем предел этого отношения при |
x → 0 , то есть lim |
y . Если этот предел |
||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
существует, то его называют производной функцией от данной функции y = f (x) и
′ |
|
dy |
|
′ |
|
′ |
||
, |
||||||||
обозначают одним из символов: y (x), |
f (x), |
yx . |
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
||
Итак, по определению |
|
|
|
|
|
|
||
′ |
y(x + x) − y(x) |
|||||||
y (x) = lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
51
Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается одним из символов: y′(x0 ), f ′(x0 ) или y¢ x=x0 .
Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .
Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая
ось, то есть D = R . Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение |
x |
||||
, получим новую точку x + |
x R . Находим соответствующее приращение |
y |
|||
функции y = x2 : |
|
|
|
|
|
y = y(x + x) − y(x) = (x + x)2 − x2 = |
|
||||
= x2 + 2x × Dx + (Dx)2 - x2 = 2x × Dx + (Dx)2 . |
|
||||
Составим отношение Dy = |
2x × Dx + (Dx)2 |
= 2x + Dx и найдем предел отношения |
|||
|
|||||
Dx |
|
|
Dx |
|
|
при x → 0: |
|
|
|
|
|
lim |
|
y = lim(2x + Dx) = 2x + 0 = 2x . |
|
||
x→0 |
Dx |
x→0 |
|
|
Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в точке x
равна 2x , то есть (x2 )′ = 2x .
Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону
прямолинейного движения |
S = S (t ). |
Каждому |
значению истекшего времени t |
|
соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . |
||||
Тогда средняя скорость Vcp |
движения точки за время t равна: |
|||
V |
= |
S , где |
S = S(t + |
t ) − S(t ). |
cp |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Предел средней скорости Vcp |
движения при стремлении к нулю промежутка времени |
|||
t называется скоростью |
V движения точки |
в данный момент времени (или |
мгновенной скоростью)
V = lim S .
t→0 t
52
Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент
времени t есть производная от пути S по времени t , |
то есть V = St′. |
В этом |
||||
заключается механический смысл производной. |
|
|
||||
Если |
функция |
y = f (x) |
описывает |
какой-либо |
физический процесс, то |
|
производная |
y′есть |
скорость |
протекания |
этого процесса. В этом |
состоит |
физический смысл производной.
y |
y = f (x) |
|
n
M (x; y)
|
|
|
y |
l |
|
|
|
M 0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
α0 |
α ( x) |
|
|
|
0 |
|
x0 |
Рис. 55 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Под касательной l |
к графику функции y = f (x) в точке M 0 |
понимают предельное |
положение секущей M 0 M , когда точка M движется по кривой к точке M 0 (см.
рис. 55). Нормалью n называется прямая, проходящая через данную точку M 0
перпендикулярно касательной |
l |
(см. рис. 55). |
|||
Пусть касательная l |
образует с положительным направлением оси Ox угол |
||||
α 0 , а секущая |
M 0 M – |
|
угол |
α ( x). Тогда из прямоугольного треугольника |
|
AM 0 M , получаем: tgα ( |
x) = |
|
y . Переходя к пределу при x → 0 , находим: |
||
|
|
|
|
|
x |
lim tgα ( |
x) = lim |
y |
|
′ |
|
x |
= y |
(x0 ) = tgα0 = k , |
|||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
53
То есть производная y′(x0 ) в точке x0 равна угловому коэффициенту k
касательной l к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x0 . В
этом заключается геометрический смысл производной.
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 )
в заданном направлении [y - y0 = k (x - x0 )], запишем уравнение касательной l к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 ; y0 ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
y - y0 = y (x0 )× (x - x0 ). |
|
||||||||||
Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l , то ее угловой |
||||||||||||||
коэффициент kn |
= - |
1 |
= - |
|
1 |
|
. Поэтому уравнение нормали n к |
кривой |
||||||
|
|
y¢(x0 ) |
||||||||||||
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = f (x) в точке |
M 0 (x0 ; y0 ) |
|
имеет вид: |
|
|
|||||||||
|
|
|
y - y0 = - |
1 |
|
× (x - x0 ). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y¢(x0 ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x2 |
в точке |
|||||||||||||
M 0 (−1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Поскольку (x2 )′ = 2x , |
|
то |
|
|
||||||||||
|
|
|
y′(x0 ) = (2x) |
|
x=−1 = 2 ×(-1) = -2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
и искомое уравнение касательной: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y -1 = -2 ×(x - (-1)) или y −1 = −2x − 2 , |
|
||||||||||||
откуда 2x + y + 1 = 0, а искомое уравнение нормали: |
|
|||||||||||||
|
y -1 = - |
|
1 |
(x - (-1)) или 2 y − 2 = x + 1, |
|
|||||||||
|
- 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда
x − 2 y + 3 = 0 .
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.
Запишем формулы производных элементарных функций:
54
(c)′ = 0 , c = const ; |
|
(xn )′ = n × xn−1 , |
|
n Î R , n ¹ 0 ; |
||||||||||||||||||||||
(a x )′ = a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1; |
(ex )′ = ex ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(loga x)¢ = |
|
|
|
1 |
|
|
, a > 0 , a ¹ 1; |
(ln x)¢ = |
1 |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
x × ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(sin x)′ = cos x ; |
(cos x)′ = -sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(tg x)¢ = |
1 |
|
|
|
; |
|
(ctg x)¢ = - |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos2 |
|
|
|
sin 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(arcsin x)¢ = |
|
1 |
|
|
|
; (arccos x)¢ |
= - |
|
|
1 |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 - x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- x2 |
||||||||||||||
(arctg x)¢ = |
|
1 |
|
; |
|
(arcctg x)¢ = - |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(c ×u)′ = c ×u , c = const , u = u(x);
(u ± v)′ = u¢ ± v¢, u = u(x), v = v(x);
(u ×v)′ = u¢×v + u ×v¢, u = u(x), v = v(x);
u ′ |
u¢× v - u × v¢ |
u = u(x), v = v(x). |
||||
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|||||
v |
|
v2 |
|
Пример. Найти производную функции y = (2x +1)× ex .
Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:
y¢ = ((2x +1)× e x )′ = (2x +1)′ × e x + (2x +1)× (e x )′ .
Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:
y¢ = (2x)′ + (1)′ × e x + (2x +1)× e x = 2(x)′ + 0 × e x + (2x +1)× e x = = [2 ×1 + 0]× e x + (2x +1)× e x = 2e x + (2x +1)× ex = (2x + 3)× ex .
55
Производная сложной функции
Пусть функция y = f (u) определена на множестве D1 , а функция u = g(x)
определена на множестве D2 , причем для любой точки x Î D2 , соответствует значение u = g(x)Î D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y = f (g(x)), которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).
Переменную u = g(x) |
называют |
промежуточным |
аргументом сложной |
||||
функции y . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Функция y = cos 3x является сложной функцией, так как y = cos u , |
|||||||
u = 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
y = f (u), |
u = g(x), тогда |
y = f (g(x)) – |
сложная |
функция с |
||
промежуточным аргументом u и независимым аргументом |
x . |
Тогда производная |
|||||
сложной функции y по независимой переменной x |
равна произведению |
||||||
производной |
функции |
y по |
промежуточной переменной |
u |
на |
производную |
промежуточной переменной u по независимой переменной x , то есть |
′ |
′ |
′ |
|||||||
yx |
= fu |
×ux . |
||||||||
Пример. Найти производную функции y = e3 x . |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Данная функция y является сложной, так как |
y = eu , |
u = 3x . По |
||||||||
правилу дифференцирования сложной функции, находим: |
|
|
|
|
|
|||||
y¢ |
= y¢ ×u¢ = (eu )′u × (3x)′x = eu ×3 = e3 x ×3 = 3e3 x . |
|
|
|
||||||
x |
|
|
u |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные высших порядков |
|
|
|
|
||
Производная |
y |
′ |
= |
′ |
есть |
также |
функция |
от |
x и |
|
|
f (x) функции y = f (x) |
|||||||||
называется производной первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если функция |
|
f |
′ |
ее |
производная |
называется |
||||
|
(x) дифференцируема, то |
производной второго порядка и обозначается y′′, то есть y′′ = (y′)′.
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка и обозначается y′′′, то есть y′′′ = (y′′)′ .
56
Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от
производной ( n -1)-го порядка и обозначается y (n ) , то есть y(n ) = (y(n−1) )′. Пример. Найти производную третьего порядка от функции y = cos 3x .
Решение.
y¢ = (cos3x)′ = -sin 3x ×(3x)′ = -sin 3x ×3 = -3sin 3x ,
y¢¢ = (y¢)′ = (- 3sin 3x)′ = -3 × (sin 3x)′ = -3 × cos 3x × (3x)′ = = -3 × cos 3x ×3 = -9 cos 3x,
y¢¢¢ = (y¢¢)′ = (- 9 cos 3x)′ = -9 × (cos 3x)′ = -9 × (- sin 3x)× (3x)′ = = 9 sin 3x ×3 = 27 sin 3x.
Итак, y¢¢¢ = (y¢¢)′ = 27 sin 3x.
|
Дифференциал функции |
|
|
|
Пусть задана функция |
y = f (x) и можно вычислить |
f (x0 ), то есть значение |
||
этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции |
y в точке |
|||
x0 + Dx . |
|
|
|
|
Если данная функция |
y = f (x) |
дифференцируема в точке x0 , |
то в точке |
|
(x0 ; f (x0 )) существует касательная l |
к графику функции |
y = f (x) (см. рис. 56). |
||
Тогда приращение функции |
y можно представить в виде: |
|
|
Dy = f ′(x0 )× Dx + α (Dx).
57
y |
|
|
y = f (x) |
|
|
y |
α ( |
x) |
l |
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
dy |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x0 |
x0 + x |
|
x |
|
Рис. 56 |
|
|
Главную часть линейную относительно приращения
переменной x в последнем равенстве, то есть выражение
дифференциалом |
функции y = f (x) в точке x0 |
и обозначают dy . Итак, |
||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
||
dy = f (x0 )× Dx . |
|
|
|
|
|
|||
При x → 0 , то есть при α (Dx) ® 0 приращение функции y приближенно |
||||||||
равно дифференциалу dy : |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y ≈ dy или f (x0 + Dx) » f (x0 )× Dx . |
|||
Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений |
||||||||
функций в точке. |
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Вычислить e−0,02 . |
|
|||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = ex . Пусть x0 |
= 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 , |
|||||||
откуда x = −0,02. |
|
|
|
|||||
y¢(x0 ) = (ex )′ |
|
x=0 = ex |
|
x=0 = e0 = 1, |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
y(x0 ) = ex |
|
|
x=0 = e0 = 1. |
|
||||
|
|
Следовательно, e−0,02 » 1 +1× (- 0,02) = 1 - 0,02 = 0,98.
Ответ: e−0,02 » 0,98.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению,
то есть dx = x , так как dy = dx = (x)′ × Dx =1× Dx = Dx . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:
58
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = y (x)× dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
y¢ = (ln cos x)¢ = |
|
1 |
×(cos x)¢ = |
1 |
×(- sin x) = -tgx , |
|
тогда |
|||||
|
|
cos x |
|
||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy = -tg × dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
способ раскрытия |
неопределенностей |
вида |
|
0 |
и |
¥ |
при |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
¥ |
|
|
вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.
Пусть функции |
f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности |
||||||
точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть |
′ |
|
в |
||||
g (x) ¹ 0 |
|||||||
|
|
|
′ |
|
|
||
окрестности точки |
x . Тогда, если существует предел lim |
f (x) |
|
, |
то |
||
g¢(x) |
|||||||
|
0 |
x→x0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lim
x→x0
f (x) |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→x0 g¢(x) |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|||||||||
Пример. Вычислить предел lim |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x ln x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)′ |
|
|||||||
lim |
x -1 |
= |
|
1 -1 |
= |
0 |
= lim |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→1 |
x ln x |
|
|
|
|
|
0 |
x→1 |
(x ln x)¢ |
|
||||||
|
|
|
1× ln1 |
|
|
|
= lim |
|
(x)′ |
- (1)′ |
|
|
|
= lim |
|
1 - 0 |
|
= |
|
|
|
||||||
(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
x→1 |
|
x→1 1× ln x + x × |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
= |
|
= |
|
|
|
= |
=1. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ln1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→1 |
ln x +1 |
|
0 |
+1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть функции |
|
f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности |
||||||||||||||||||
точки x0 |
(кроме, |
|
быть |
может, |
|
самой точки x0 ), в этой |
окрестности |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
lim f (x) = lim g(x) = ∞ , g¢(x) ¹ 0 . Тогда, если существует предел |
lim |
f (x) |
, то |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 g¢(x) |
59