8115
.pdf∙изгибающие моменты от моментной нагрузки будут положительными, если сосредоточенные моменты М действуют по часовой стрелке при размещении начала координат на левом конце балки;
∙при размещении начала координат на правом конце балки сосредоточенный момент М необходимо вводить в уравнение со знаком «плюс», если он действует против часовой стрелки.
8.Универсальное уравнение углов поворота сечений балки получается из уравнения (1.14) путём его дифференцирования: EJxθ(z) = EJxv′ (z).
1.2.3 Примеры решения балок методом начальных параметров.
Пример 1.4. Для балки определить углы поворота сечений и прогибы методом начальных параметров.
Начало координат помещаем на левом конце балки, ось у направим вниз (рис. 1.12).
Начальные параметры: vo = vA = 0, θo = θA ≠ 0, Mo = 0, Qo = 70 кН.
Универсальное уравнение прогибов балки:
EJx v (z) = EJx |
|
z3 |
|
z4 |
|
(z - 4)4 |
|
(z - 4)2 |
|
(z - 4)3 |
|
θo z - 70 |
|
- 40 |
|
+ 40 |
|
- 20 |
|
+ 120 |
|
. |
|
6 |
24 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
24 |
2 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: при различных значениях Z значения в круглых скобках всегда неотрицательные числа, в противном случае отрицательное слагаемое в рассматриваемом выражении не учитывается – оно равно нулю.
Условия закрепления балки. |
При z = 0 |
|
vA = vo = 0. |
||
При z = 4 м v(4) = vВ = 0: |
|
|
|
|
|
|
43 |
|
44 |
|
|
EJx v (4) = EJxθo ×4 - 70 |
|
- 40 |
|
|
= 0. Отсюда находим EJxθo = 80,00. |
|
|
||||
|
6 |
|
24 |
|
|
Уравнение прогибов балки окончательно примет вид:
EJxv (z) = 80,0 z - (35 / 3) z3 + (5 / 3) z4 - (5 / 3)(z - 4)4 + 10(z - 4)2 - 20(z - 4)3 .
Дифференцируя уравнение прогибов, получим уравнение углов поворота:
EJxθ (z) = 80, 0 - 35 z2 + (20 / 3) z3 - (20 / 3)(z - 4)3 + 20 (z - 4) - 60 (z - 4)2 .
Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки.
z(м) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ(z) |
80,00 |
51,67 |
-6,67 |
-55,00 |
-53,33 |
-8,33 |
6,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxv(z) |
0 |
70.00 |
93.33 |
60.00 |
0 |
-28.33 |
-26.66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=40кН/м |
М=20кНм |
q |
F=30кН |
|
|
|
|
z |
RA=70кН |
|
|
RB=120кН |
q |
4 м |
|
|
||
|
|
2 м |
||
70,00 |
эп.Qy (кН) |
|
|
|
|
|
|
||
+ |
|
30,00 |
+ |
30,00 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
1,75 м |
|
1,75 м |
|
|
|
|
|
90.00 |
|
|
эп.Мх (кНм) |
60,00 |
|
|
|
|
|
||
|
|
40,00 |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
61,25 |
|
|
|
80,00 |
|
|
|
|
51,67 |
эп. EJx |
|
|
|
+ |
6,67 |
|
8,33 |
6,67 |
|
|
|||
|
|
- |
|
|
|
|
55,00 |
53,33 |
|
|
|
|
|
|
|
эп. EJxV |
28,33 |
26,66 |
|
|
|
|
|
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
60,00 |
|
|
70,00 |
|
|
|
|
|
93,33 |
|
|
|
|
|
Рис. 1.12 |
|
|
Пример 1.5. Определить углы поворота сечений и прогибы консоли.
I.Начало координат помещаем на левом конце консоли (рис. 1.13). Ось у направляем вниз.
RB = 30 кН
|
|
F = 6 кН |
|
|
q = 12 |
кН/м |
|
|
|
|
|
МB = 42 кНм |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 м |
|
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.Qy (кН) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
42 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.Мх (кНм) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
43 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп EJx |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.EJxv |
|
94 |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.13
Начальные параметры балки:
vo ¹ 0 , θo ¹ 0 , Mo = 0 , Qo = - 6 кН.
Универсальное уравнение прогибов балки:
EJxv (z) = EJxvo |
|
z3 |
(z − 1)4 |
|
||
+ EJxθo z − − 6 |
|
− 12 |
|
= |
||
6 |
||||||
|
|
|
24 |
|
||
|
|
|
|
|
|
= EJxvo + EJxθo z + z3 + 0,5(z − 1)4 .
Уравнение углов поворота сечений балки:
EJxθ (z) = EJxθo + 3z2 + 2(z − 1)3 .
Условия закрепления балки.
При z = 3м: EJxθ(3) = θ(3) = θB = 0, EJxθo + 3٠32 + 2 (3-1)3 = 0.
Отсюда находим: EJxθo = - 43.
При z = 3м: EJxv(3) = v(3) = vB = 0,
EJxvo – 43 ٠3 + 33 + 0,5 (3-1)4 = 0.
Отсюда находим: EJxvo = 94.
Окончательно универсальные уравнения углов поворота и прогибов балки имеют следующий вид:
EJxθ(z) = - 43 + 3z2 + 2(z-1)3 . EJxv(z) = 94 – 43z + z 3 + 0,5(z-1)4 .
Эпюры перемещений показаны на рис. 1.13.
II. Начало координат помещаем на правом конце консоли (рис. 1.14). Ось у направляем вниз.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RB = 30 кН |
Начальные параметры балки: |
|
|
|
||||||
|
|
F = 6 кН |
|
|
|
|
|
|
q = 12 кН/м |
|
|
|
МB = 42 кНм |
vo = 0 , θo = 0 , |
Mo = - 42кНм , |
Qo = 30кН. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Универсальное уравнение прогибов балки: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2)4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z3 |
|
z4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
EJxv (z) = − − 42 |
|
+ 30 |
|
− 12 |
|
+ |
12 |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
24 |
|
24 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= 21z2 − 5z3 + 0,5z4 − 0,5(z − 2)4 . |
|
|
||||||
43 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп EJx |
Уравнение углов поворота балки: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ (z) = 42 z − 15z2 + 2z3 − 2(z − 2)3 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол поворота и прогиб левого конца кон- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.EJxv |
соли при z = 3 м: |
|
|
|
|
|
|
||
94 |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ(3) = 42٠3 – 15 ٠32 + 2٠33 |
-2٠(3-2)3 |
= 43. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14 |
|
|
|
|
EJxv(3) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 21٠32 – 5 ٠33 + 0,5٠34 - 0,5٠(3-2)4 = 94. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюры перемещений показаны на рис. 1.14.
Пример 1.6. Подобрать сечение балки (рис.1.15) из прокатного двутавра Расчётные характеристики балки: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2·105 МПа.
Допускаемый прогиб балки в пролёте: [ f ] = l / 200.
1. Строим эпюры Qy, Mx и определяем номер двутавра из условий прочности.
|
M |
8200кНсм |
|
|
Wx ³ |
x |
= |
|
= 512,5 см3 . |
[σ ] |
16 кН / см2 |
Из таблицы 1. Сталь горячекатанная. Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72*), находим следующий номер профиля:
двутавр №30а: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, Sx = 292 см3, d = 0,65 см.
Выполняем проверку балки на срез:
τ = |
Qy Sx |
= |
65кН ×292см3 |
= 3,75 |
кН |
= 37,5МПа < [τ ] = 100МПа. |
|
7780см4 × 0,65см |
см2 |
||||
|
Jx d |
|
|
Жёсткость балки при изгибе равна: EJx = 2×104 × 7780 кНсм2 = 15560 кНм2.
2. Определяем перемещения балки.
Начало координат помещаем на левом конце балки. Ось у направляем вниз. Начальные параметры балки: vo = ?, θо = ?, Mo = - 6 кНм, Qo = 0.
Универсальное уравнение прогибов заданной балки имеет вид:
|
|
6z |
2 |
6 |
(z − |
2 3 |
|
2 |
(z − |
2 4 |
|
2 |
(z − |
6 4 |
|
1 |
(z − |
6 3 |
|
6 |
(z − |
||||
|
2 |
|
5 |
) |
|
|
4 |
) |
|
4 |
) |
|
|
2 |
) |
|
7 |
||||||||
EJ x v = EJ x v o + EJ x θ o z − |
− |
|
|
+ |
|
6 |
|
|
− |
|
2 |
|
+ |
|
2 |
|
|
− |
|
6 |
|
+ |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 3
)
18 4
2(z − )
−2
4
.
Неизвестные начальные параметры определяем из условий закрепления балки:
при z = 2 м: vA = 0, |
EJvo |
+ EJθo |
×2 + 6 |
22 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при z = 8 м: vB = 0, |
EJvo |
+ EJθo |
×8 + 6 |
82 |
|
- 65 |
(8 - 2)3 |
+ 24 |
(8 - 2)4 |
- 24 |
(8 - 6)4 |
+ 12 |
(8 - 6)3 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
6 |
24 |
24 |
6 |
|
Решая систему уравнений, находим неизвестные начальные параметры, которые будут рав-
ны: EJхθo = 144, EJхvo = - 300.
Углы поворота и прогибы определяются следующими выражениями:
EJv(z) = - 300 + 144z + 3z2 - 65/ 6(z - 2)3 + (z - 2)4 - (z - 6)4 + 2(z - 6)3 - 67 / 6(z - 8)3 +1/2(z - 8)4
|
1 |
6 |
6 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
4 |
6 |
3 |
6 |
6 |
2 |
6 |
2 |
8 |
2 |
|
2 |
8 3 |
|
|||
EJθ (z) = 4 + |
z − |
5 / |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) |
|
− |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) |
− |
7 / |
(z − |
) |
+ |
(z − |
) . |
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки и строим эпюры θ и v. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (м) |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
9 |
10 |
θ |
|
0,0093 |
0,0096 |
0,0100 |
0,0086 |
|
0,0045 |
|
|
- |
|
- |
|
- |
|
|
|
- |
|
- |
- |
|||||
(рад) |
|
|
|
0,0007 |
0,0054 |
0,0080 |
|
0,0078 |
0,0069 |
0,0068 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
v (мм) |
|
-19,28 |
-9,83 |
|
0 |
|
9,59 |
|
|
|
16,28 |
|
18,22 |
|
15,08 |
8,15 |
|
|
0 |
|
-7,29 |
-14,14 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка балки на жёсткость в пролёте: v = 18,22 мм < [ f ] = 6000 мм/300 = 20 мм.
Следовательно, условиям прочности и жёсткости удовлетворяет балка, выполненная из прокатного двутавра №30а.
М=6кНм |
|
|
q1=24кН/м |
|
|
F=12кН |
|
q2=12кН/м |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 м |
|
|
4 м |
|
|
|
2 м |
|
2 м |
|
у |
|
|
RA=65кН |
|
|
|
|
|
RB=67кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65,00 |
|
|
эп.Qy (кН) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
24,00 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
31,00 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,00 |
|
|
|
|
|
2,7083 м |
|
1,2917 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.Мх (кНм) |
|
|
|
|
24,00 |
|
||
6,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82,02 |
|
|
|
|
|
|
0,00925 |
0,00964 |
0,01003 |
|
|
эп. |
рад) |
|
|
|
|
|
+ |
0,00450 |
|
0,00067 |
0,00540 |
0,00800 |
0,00784 |
0,00694 |
0,00681 |
|||
0,00858 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
19,28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эп.V (мм) |
|
|
|
14,14 |
|
|
|
9,83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,29 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,59 |
|
+ |
|
|
8,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,28 |
|
|
15,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18,22 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 1.15 |
|
|
|
|
|
На рис. 1.16 приведены задачи для самостоятельного решения методом начальных параметров. Подобрать сечение стальной балки из прокатного двутавра.
Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105 МПа. Допускаемый прогиб в пролёте балок [ f ] = l / 200, где l – длина пролёта балки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Рис. 1.16
2.Напряженно-деформированное состояние в точке.
2.1Напряженное состояние в точке тела
Значения нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках, проходя-
щих через какую-либо точку тела, зависят от положения этих площадок.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на различных пло-
щадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в этой
точке.
В курсе теории упругости доказано, что в окрестности любой точки можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения будут отсутст-
вовать. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных пло-
щадках принимают экстремальные значения, называются главными напряжениями и обозна-
чаются: σ1, σ2, σ3. Здесь σ1 – наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение, σ3 –
наименьшее, а σ2 – промежуточное, т.е. σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
|
а) |
|
Y |
sY |
|
|
|
б) |
σ 2 |
σ 3 |
|
|
|
|
tXY |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sZ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
tZY |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tYX |
σ 1 |
|
|
σ 1 |
|
||
sX |
|
|
|
tYZ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sX |
|
|
|
|
||
|
|
sZ |
|
tXZ |
|
|
|
|
σ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
tZX |
Х |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
¹ 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
|
|
|
sY |
|
|
s1 ³ s2 ³ s3 |
|
σ 2 |
s2 |
¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 ¹ 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
На рис. 2.1а показаны три взаимно перпендикулярные произвольные площадки, на гранях которых действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения показаны растягивающими, т.е. положительными. Касательные напряжения (на каждой гра-
ни по два) показаны с двумя индексами: первый индекс указывает параллельно какой оси ко-
ординат действует, а второй – на грани с какой нормалью. В общем случае напряженное со-
стояние в точке описывается тензором напряжений (2.1):
|
σX |
τXY |
τXZ |
|
||||
Tσ = |
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
τYX |
σY |
τYZ . |
|||||
|
|
τ |
ZX |
τ |
ZY |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
На рис. 1б показан параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон, грани которого являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напря-
жения. В зависимости от наличия отличных от нуля главных напряжений на главных пло-
щадках различают три вида напряженных состояний:
|
а) |
σ 2 ¹ 0 |
|
|
б) |
|
|
|
||
|
|
|
σ 1 ¹ 0 |
|
σ 1 |
|
|
σ 1 |
|
|
σ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s3 = 0 |
|
|
|
|
s2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
σ 2 ¹ 0 |
|
|
|
|
s3 |
= 0 |
||
|
|
Другие возможные комбинации |
|
|
|
|||||
|
|
При ПНС |
|
При ЛНС |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
s1 |
¹ 0; s3 ¹ 0; s2 = 0; |
|
s3 ¹ 0; s1 = s2 |
= 0 |
|
|
|||
|
s2 ¹ 0; s3 ¹ 0; s1 = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2
1.Если все три главных напряжения отличны от нуля, то имеет место в данной точке
объемное или пространственное напряженное состояние (ОНС) (рис. 2.1б).
2.В том случае, когда два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю –
имеет место плоское напряженное состояние (ПНС) (рис.2.2а).
3.Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю,
имеет место одноосное (линейное) напряженное состояние (ЛНС) (рис. 2.2б).
Наиболее простым и наглядным случаем одноосного (линейного) напряженного со-
стояния является центральное растяжение– сжатие стержней.
Проведем наклонное сечение n–n 1 под некоторым углом α к поперечному сечению
(рис. 2.3а) и определим действующие в этом сечении напряжения. Площадь наклонного сече-
ния Аα по линии n–n 1 будет больше поперечного сечения А (по линии n–n 2):
Aα = A . cosα
Тогда полное напряжение на наклонной площадке будет равно:
pα = |
N |
= |
|
F |
|
= |
F |
×cosα = σ× cosα . |
(2.2) |
|
|
A |
|
|
|||||
|
Aα |
|
|
A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cosα
Разложив полное напряжение на наклонной площадке по направлениям нормали к площадке и касательной, получим нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке
(рис. 2.3г):
σα = pα × cosα = σ× cosα × cosα = σ× cos2α , |
(2.3) |
|||
τα |
= pα ×sinα = σ× sinα× cosα = |
σ |
× sin2α . |
(2.4) |
|
||||
|
2 |
|
|
Из формулы (2.4) следует, что нормальные напряжения σα достигают максимального значе-
ния при α = 0, т.е. в поперечном сечении: σα=0 = σmax = σ1 = F . Поэтому расчет прочности рас-
A
тянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.
Из формулы (2.5) следует, что касательные напряжения имеют наибольшие и наименьшие значения при α = ±45º:
τ |
|
= τ |
|
= ± |
σ |
. |
(2.5) |
O |
max |
|
|||||
α=±45 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
min |
|
|
Площадки, на которых действуют максимальные и минимальные касательные напряжения
τmax , называются площадками сдвига.
min
а) |
|
б) |
|
в) |
|
г) |
|
pα |
|
|
|
|
|
|
|
σα |
|
|
|
|
σ = N |
N=F |
|
τα |
||
|
|
N |
|
pα |
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
||
A α |
n1 |
|
|
σ1 |
|
n1 |
|
α |
n |
|
|
|
|
|
|
||
n2 |
n |
n2 |
n |
n2 |
|
|
||
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1 |
|
|
|
|
F |
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
|
|
2.2 Обобщенный закон Гука
Установим зависимость относительной линейной деформации от нормальных напряже-
ний в случае объемного напряженного состояния.
Определим относительную продольную деформацию выделенного элемента
(см. рис. 2.1б) в направлении главного напряжения σ1, отдельно рассматривая влияние каж-
дого из главных напряжений и складывая результаты в соответствии с принципом независи-
мости действия сил:
ε1 = ε11 + ε12 + ε13 . |
(2.6) |
Под действием напряжения σ1 элемент в направлении этого напряжения на основании за-
кона Гука получит относительное удлинение, равное ε11 = σ1 . Аналогично определятся от-
Е
носительные деформации по направлениям двух других главных напряжений:
ε22 |
= |
σ2 |
; ε |
33 |
= |
σ3 |
. |
|
|
||||||
|
|
Е |
|
|
Е |