6 сем / Метод_указания_к_расч_заданию-2023 (1)
.pdf
|
|
160 |
, |
2v x 5 |
|
|
|
|
|
160 |
, |
2 2v x 5 (z |
|
5) |
|
|
|
|
|||||
v dv |
|
0, |
2 2v x 5 (z |
0) |
|||
8v 16 x |
0, |
2 2v x 2 |
|
|
(4.9) |
||
dx |
|
0, |
5 2v x 2 (z |
|
0) |
||
|
|
|
|||||
|
|
, |
5 2v x 2 (z |
5) |
|||
|
160 |
||||||
|
|
160 |
, |
2v x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенств (4.9) могут быть найдены полупрямые, являющиеся границами областей с различными типами фазовых траекторий:
|
v 0,5x 2,5, |
v 0 |
|
|
v 0,5x 1, |
v 0 |
|
|
(4.10) |
||
|
v 0,5x 1, |
v 0 |
|
|
|
||
|
v 0,5x 2,5, |
v 0 |
|
|
|
Определим первый тип фазовых траекторий. Для этого подставим значение z 5 в уравнение (4.5) и запишем последнее в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
32 5 |
|
|
|
x |
(t ) |
(t ) 16(x(t ) 16 |
) 0 . |
(4.11) |
||||||
|
8x |
|||||||||
Введем новую переменную: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
~ |
x(t ) 10 . |
|
(4.12) |
||
|
|
~ |
|
|
x (t ) |
|
||||
Очевидно, что |
|
(t ) |
x (t ) . Тогда уравнение (4.11) |
перепишется |
||||||
|
x |
|||||||||
следующим образом: |
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
||||
|
|
|
x |
(t ) 8x |
(t ) 16 x (t ) 0 . |
|
Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся справочным материалом (рис. 3.1). Представив уравнение (4.13) в виде:
|
~ |
(t ) |
~ |
2 ~ |
(4.14) |
|
|
x |
2d 0 x (t ) 0 |
x (t ) 0 , |
|||
находим, что ω0 4 , |
d 1. |
Таким образом, фазовые траектории соот- |
||||
ветствуют рис. 3.1 б). |
|
|
~ |
. Это значит, |
что фазовый |
|
Из (4.12) следует, |
что |
|||||
x(t ) x (t ) 10 |
портрет уравнения (4.11) будет отличаться от портрета (4.13) смещением всей картины по оси x на величину (+10).
Второй тип фазовых траекторий соответствует дифференциальному уравнению (4.5) при z 0:
x (t ) 8x (t ) 16 x(t ) 0 . |
(4.15) |
Сопоставляя (4.15) и (4.14), очевидно, что ω0 4 , d 1 и фазовые траектории имеют вид, представленный на рис. 3.1 б).
21
Третий тип фазовых траекторий при z 5 отображается по аналогии с первым. Отличие заключается в смещении начала координат фазового портрета вида рис. 3.1 б) по оси x на величину, равную (-10).
Результат качественного построения фазового портрета нелинейной системы представлен на рис. 4.2. Из него следует, что точка v x 0 соответствует устойчивому положению равновесия.
Рис. 4.2. Качественный фазовый портрет нелинейной системы
2. Зададим модель системы рис. 1.1 в ППП MATLAB/Simulink с реализацией моделей звеньев в пространстве состояний. Преобразуем исходную структурную схему к виду рис. 4.3, объединив при этом звенья
W 2 ( p ) и W 3 ( p ) в звено W3 (p ) W3 (p )W2 (p ) |
32 p |
|
|
. |
|
p 2 8 p 16 |
Рис. 4.3. Преобразованная структурная схема исходной системы
22
В результате звенья с передаточными функциями W 2 ( p ) и W~3 ( p )
можно задать моделями в пространстве состояний.
Полученная модель системы в MATLAB/Simulink отображена на рис. 4.4. Здесь в соответствии с примечанием в п. 2 методических указаний на фазовом портрете по оси ординат отображается x T0 x .
Рис. 4.4. Модель нелинейной системы
В модели рис. 4.4 использованы следующие блоки: «NE 4» – блок подсистемы, задающей НЭ 4 (рис. 4.5);
«W1» – блок усиления, реализующий звено с передаточной функцией W1 ( p ) ;
«W2» – блок, реализующий звено с передаточной функцией W 2 ( p ) в пространстве состояний (рис. 4.6);
«W3v» – блок, реализующий звено с передаточной функцией W~3 ( p ) в пространстве состояний (рис. 4.7);
«X X’ Graph1» – блок для построения фазового портрета;
«To workspace 1», «To workspace» – блоки, позволяющие переда-
вать и хранить в переменных значения точек v и x соответственно для построения фазового портрета в рабочем пространстве MATLAB, что дает удобства в просмотре графика;
«Scope x(t)» – блок для построения графика процесса x(t ) .
23
Рис. 4.5. Модель нелинейного элемента НЭ 4 с отображением заданных параметров для объектов «Relay1» и «Relay2»
24
Рис. 4.6. Заданные параметры блока «W2»
Рис. 4.7. Заданные параметры блока «W3v»
25
Для построения фазового портрета зададим три произвольных зна- |
|||||||
чения начальных условий. Полученные фазовые траектории представле- |
|||||||
ны на рис. 4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
-40 |
|
|
|
|
|
|
|
-60 |
-20 |
-15 |
-10 |
-5 |
0 |
5 |
10 |
-25 |
Рис. 4.8. Фазовые траектории системы
Здесь по оси абсцисс отложена координата x , а по оси ординат – координата v x . В качестве начальных условий были заданы 3 точки с координатами (x,v): (2,2), (-5,10), (-20,-40). Из рис. 4.8 видно, что при начальных условиях, близких к началу координат, процесс сходится к положению равновесия (0,0), а при остальных значениях – возникают автоколебания. Как и в п.1 исследования, точка с координатами (0,0) является устойчивым «в малом» положением равновесия.
Зададим еще три фазовые траектории с начальными условиями со-
гласно п. 2 Задания (x01 |
8, x01 |
0 ), (x02 |
0, x02 |
9 ) и (x03 |
8, x03 |
4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и построим для них графики изменения процесса x(t ) |
во времени. На ри- |
сунке 4.9 отображены полученные фазовые траектории, а на рис. 4.10 – 4.12 – соответствующие им графики изменения процесса x(t ) .
26
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-60 |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
-10 |
||||||||||
|
|
|
Рис. 4.9. Фазовые траектории системы |
|
|
Рис. 4.10. График процесса x(t ) при НУ ( x01 8, x01 0 )
27
Рис. 4.11. График процесса x(t ) при НУ ( x02 0, x02 9 )
Рис. 4.12. График процесса x(t ) при НУ ( x03 8, x03 4 )
28
|
Как видно из рисунков 4.10 – 4.12, при различных начальных усло- |
||||||||||
виях в системе устанавливаются периодические процессы с одинаковы- |
|||||||||||
ми параметрами – период 2,1 сек, амплитуда 8,4. То есть данные процес- |
|||||||||||
сы являются автоколебаниями, причем – устойчивыми. |
|
|
|||||||||
|
3. Исследуем влияние ширины петли гистерезиса нелинейного |
||||||||||
элемента на возникновение автоколебаний в системе. |
|
относительной |
|||||||||
|
Опытным путем найдем минимальное значение λmin |
||||||||||
величины ширины петли гистерезиса λ |
h c |
, при которой возникают |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
автоколебания. Зафиксируем параметр h 5 |
и зададим произвольные |
||||||||||
начальные условия системы |
(x0 4,v0 |
1). При исходном значении |
|||||||||
c 2 |
в системе |
наблюдаются |
автоколебания. Рассматривая фазовый |
||||||||
портрет при различных увеличивающихся значениях c , соответствую- |
|||||||||||
щих уменьшению ширины петли гистерезиса, получаем, что при значе- |
|||||||||||
нии параметра |
c 2,9 |
автоколебания |
пропадают, |
что |
|
соответствует |
|||||
λmin 0,42. На рисунке |
4.13 отображен фазовый портрет при λmin 0,42 |
||||||||||
и НУ ( x0 4 ,v0 1), а на рис. 4.14 – график процесса x(t ) . |
|
||||||||||
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-60 |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
-10 |
Рис. 4.13. Фазовый портрет при λmin = 0,42 и НУ ( x0 4 ,v0 1)
Из графика рис. 4.14 можно определить, что период автоколебаний системы равен 2 сек, а амплитуда равна 8,2.
29
Рис. 4.14. График процесса x(t ) при λmin = 0,42 и НУ ( x0 4,v0 1)
4. Увеличим коэффициент K1 передаточной функции W1 ( p ) в 5 раз
(K1 2 5 10) при λ 2λmin . При неизменном значении параметра h 5 для этого случая величина c 0,8 . При НУ ( x0 4 , v0 1) построим
фазовый портрет системы и график процесса x(t ) (рис. 4.15, 4.16):
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-300 |
-40 |
-30 |
-20 |
-10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
-50 |
Рис. 4.15. Фазовый портрет при K = 5K1 = 10 , λ = 0,84 и НУ ( x0 4 , v0 1)
30