книги2 / 166
.pdfНедостаток: Метод Ньютона достаточно трудоемкий – на каждом шаге итерационного процесса необходимо найти матрицу,
обратную якобиану.
Модификации метода Ньютона:
I. Если матрицу Якоби вычислить и обратить лишь в начальной точке, то получим модифицированный метод Ньютона:
x(k 1) |
x(k) |
1 |
F(x(k) ). |
(4.5) |
J(x(0) ) |
Плюсы: Требует меньших вычислительных затрат на 1
итерационный шаг. Минусы: Итераций требуется значительно больше для достижения заданной точности, чем основной метод Ньютона. Имеет геометрическую скорость сходимости.
II. Двухступенчатый метод Ньютона.
Идея: Вычисление и обращение матрицы Якоби не на каждой итерации, а через несколько шагов.
x(k 1) x(k) J(x(k) ) 1 F(x(k) ) J(x(k) ) 1 F(x(k) J(x(k) ) 1 F(x(k) )).
(4.6)
За x(k) принимается результат одного шага основного метода,
затем одного шага модифицированного метода – двухступенчатый
процесс.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z |
(k) |
|
x |
(k) |
J( |
x |
(k) ) |
F( |
x |
(k) ); |
x |
(k) |
|
z |
(k) J( |
x |
(k) ) |
F( |
z |
(k) ). |
(4.7) |
Такой процесс при определенных условиях дает кубическую сходимость последовательности x(k) к решению x* .
Существуют модификации метода Ньютона, в которых задача обращения матриц Якоби на каждой итерации решается не точно, а
приближенно. К таким методам относятся:
–аппроксимационный аналог метода Ньютона;
–разностный метод Ньютона.
61
4.1.2. Метод простой итерации
Необходимо найти решение системы (4.2). Таким образом,
рассматривается задача о нулях нелинейного отображения
F :Rn Rn .
Пусть Ф: X X , где Ф(X) – нелинейный оператор, а X –
банахово подпространство (сепарабельное, т. е. счетное, всюду плотное множество).
Определение. |
Элемент пространства x* X |
|
|
|
|
называется |
||||||||||||
неподвижной точкой оператора Ф, если Ф(x* ) x* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение. Оператор Ф называется сжимающим на множестве |
||||||||||||||||||
Q X , если для x' |
и x''Q справедливо |
|
|
|
Ф(x') Ф(x'') |
|
|
|
|
q |
|
|
|
x' x'' |
|
|
|
, q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– условие Липшица.
Рассмотрим наиболее простой метод – метод итерации.
Пусть система (4.1) преобразована к виду:
x |
|
|
|
(x ,x |
,...,x |
) |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
(4.8) |
|||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
n |
|
n |
(x ,x |
|
,...,x |
|
) |
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ф( |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
(x ,x |
,...,x |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
|||||
где Ф(x) ... |
|
|
... |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n (x) |
n (x1,x2 ,...,xn ) |
|||||||||||||||||
Запишем итерацию |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(k 1) |
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
Ф(x |
), |
|
|
|
|
|
которая определяет метод простой итерации для задачи (4.1).
Если отображение, задаваемое системой (4.8), является сжимающим в некоторой окрестности корня, начальное приближение x(0) (x1(0) ,x2(0) ,...,xn(0) )T лежит в той же окрестности и итерации (4.10) не
62
выходят за ее пределы, то последовательность x(k) сходится к
*
вектору решения системы (4.1) – x (x1*,x2*,...,xn*)T .
Теорема о простых итерациях. Пусть функция Ф(x) и
замкнутое множество M D(Ф) Rn :
1) Ф(x) M, x M ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
q 1: |
Ф(x) Ф(x) |
|
q |
x x |
, для x,x M , |
||||||||||||||||
тогда |
Ф( |
x |
) имеет в M |
единственную |
|
неподвижную точку |
x |
* ; |
последовательность x(k) , определяемая методом простых итераций
по формуле (4.10), при |
|
начальных |
x |
|
(0) M сходится |
к |
x |
* и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
справедливы оценки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
* |
x |
(k) |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
x |
(k) |
x |
(k 1) |
|
|
|
|
qk |
|
|
|
|
x |
(1) |
x |
(0) |
|
|
|
, k N |
(4.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для приведения системы нелинейных уравнений к виду,
пригодному для итерации, можно использовать такой способ:
умножить каждое уравнение системы (4.1) на i , где i 1,n, –
некоторый множитель, не равный нулю. Затем эти множители можно использовать для достижения условия сжимаемости.
Недостаток: необходимо прибегать к искусственным приемам при приведении системы к виду, пригодному для итерации.
4.1.3. Метод наискорейшего спуска
Общим недостатком рассмотренных ранее методов является локальный характер сходимости. Когда возникают проблемы с выбором хорошего начального приближения, применяют методы спуска.
Рассмотрим систему:
f (x, y) 0 |
. |
(4.12) |
|
||
g(x, y) 0 |
|
|
Из функций f и g системы (4.12) образуем новую функцию:
63
Ф(x, y) f 2 (x, y) g2 (x, y). |
|
|
(4.13) |
||||||||
Так как функция Ф(x, y) неотрицательная, то (x*,y* ): |
|
||||||||||
Ф(x, y) Ф(x* , y* ) 0, |
(x, y) R2 , т. е. (x* , y* ) argminФ(x, y). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x,y R2 |
|
Так |
|
как |
Ф(x* , y* ) 0 |
f (x* , y* ) 0 |
решение |
||||||
|
|
(x*, y* ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x* , y* ) 0 |
|
|
системы (4.12). |
|
|
|
|
xk , yk |
|
|
||||
Последовательность |
точек |
получим по рекуррентной |
|||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
p |
|
, |
|
|
(4.14) |
|
k 1 |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
yk 1 |
|
yk |
|
qk |
|
|
|
|
где k 0,1,2,...; |
(pk ,qk )T – |
|
вектор, |
определяющий направление |
||||||||
минимизации; k |
– скалярная величина, шаговый множитель. |
|||||||||||
При этом выполняется условие релаксации: Ф(xk 1, yk 1 ) Ф(xk ,yk ). |
||||||||||||
p |
|
gradФ(x |
, y |
|
|
Ф' |
(x |
, y |
|
) |
|
– антиградиент Ф(x, y). |
Вектор |
k |
k |
) |
x |
k |
|
k |
|
|
|||
|
|
k |
|
|
' |
(xk , yk ) |
|
|
||||
qk |
|
|
|
|
Фy |
|
|
Тогда градиентный метод имеет вид:
x |
|
|
|
x |
|
|
Ф |
' |
(x |
|
, y |
|
) |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k |
|
|
x |
|
k |
|
k |
|
|
, |
|
|
|
|
|
k |
|
' |
(xk |
, yk ) |
|
|||||
yk 1 |
|
|
yk |
|
Фу |
|
|
где оптимальный шаг k |
|
xk Фx' (xk , yk |
) |
|
argminФ |
' |
. |
||
|
0 |
|
Фy (xk , yk |
|
|
|
yk |
) |
(4.15)
(4.16)
Формулы (4.15) и (4.16) определяют градиентный метод, который называют методом наискорейшего спуска.
Достоинство: глобальная скорость (из любой начальной точки процесс приведет к минимальной точке).
Недостаток: медленная скорость сходимости эквивалентная линейной, причем, скорость замедляется в окрестности корня. Лучше применять совместно с другими методами (сначала – спуск, затем – метод Ньютона).
64
4.2.Пример выполнения лабораторной работы
4.2.1.Задание к лабораторной работе
1.Локализуйте корни системы уравнений графически.
2.Найдите с точностью = 10–6 все корни системы нелинейных уравнений, используя методы Ньютона и наискорейшего спуска.
4.2.2.Решение типового примера
1.Локализуем корни системы уравнений графически.
sin(x1 |
1,5) x2 |
2,9 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2) x1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
cos(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразуем систему уравнений к виду |
|
|
|
||||||||||
x |
|
sin(x 1,5) 2,9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
2) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 arccos( x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Построим графики полученных функций (рис. 4.1). |
|||||||||||||
|
|
|
5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-0,6 |
-0,4 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
|
|
|
-0,8 |
|
|
||||||||
|
|
|
Рис. 4.1. Графическая локализация корня уравнения |
Система уравнений имеет один действительный корень на отрезке единичной длины x1 0;1 и x2 3;4 .
2. Найдем с точностью = 10–6 корень системы нелинейных уравнений, используя метод Ньютона.
65
Построим итерационный процесс Ньютона
x(k 1) x(k) J(x(k)
Найдем якобиан
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
F( |
x |
(k) ). |
|
|
|
||||
|
|
f |
1 |
|
|
f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|||||
J |
|
|
|
системы |
||||||
|
f2 |
|
|
f2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f |
|
(x ,x |
) sin(x |
1,5) x |
|
2,9 |
|
|
||||
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
f2 (x1,x2 ) cos(x2 |
2) x1 |
|
|
|
||||||||
Получим |
cos(x |
1,5) |
1 |
|
|
|||||||
J |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin(x2 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем начальное приближение: x(0) 0 .
4
Вычисления будем выполнять до выполнения условия
xk xk 1 0,000 001.
Найдем значение якобиана в точке x(0) 0 , получим
4
|
|
0,070 |
737 |
1 |
|
|
|
J( |
x |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,909 |
297 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,971804 |
1,068 743 |
|
|
Обратная матрица к якобиану |
J( |
x |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,068 743 |
0,075 600 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
0,102505
Значение функции F(x0 ) .
0,416147
Выполним первую итерацию
x |
|
|
0 |
|
0,971804 |
1,068 743 |
|
0,102 505 |
|
0,345139 |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
4 |
|
|
1,068 743 |
0,075 600 |
|
|
0,416147 |
|
|
3,921909 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk xk 1 0,345139.
Занесем вычисления в таблицу.
66
|
k |
|
|
|
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
k |
x |
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0,345139 |
|
|
|
|
|
0,345 139 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3,921909 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
0,299 791 |
|
|
|
|
0,047 021 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3,874888 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
0,298 713 |
|
|
|
|
0,001 078 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3,874140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
0,298 712 |
|
|
|
|
|
0,000 001 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3,874139 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Поскольку |
|
|
x |
4 |
x |
3 |
|
|
|
0,000 001, считаем, что корень системы |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
x1* |
|
|
0,298 712 |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
с точность 10 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
3,874139 |
|
Найдем с точностью = 10–6 корень системы нелинейных
уравнений, используя метод наискорейшего спуска.
Построим итерационный процесс метода наискорейшего спуска
xk 1 |
|
xk |
x (x1k ,x2k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k |
k |
k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
x2 |
x2 (x1 |
,x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Строим функцию Ф(x ,x |
) f |
2 (x ,x |
) f 2 |
(x ,x |
). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
Ф(x ,x |
) sin2 (x 1,5) cos |
2 (x |
2 |
2) x2 |
x2 5,8sin(x |
1,5) |
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
. |
|
2x2 sin(x1 1,5) 8,41 5,8x2 2x2 cos(x2 |
2) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Найдем частные производные функции Ф(x1,x2 ): |
|
|
|||||||||||||||||
x (x1 ,x2 ) 2 cos(x1 |
1,5) sin(x1 1,5) 2,9 x2 |
x1 |
cos(x2 2) , |
||||||||||||||||
|
1 |
|
,x2 ) 2 cos(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 (x1 |
2)sin(x2 |
2) x2 |
sin(x1 |
1,5) 2,9 |
|||||||||||||||
x1 sin(x1 1,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Путем перебора выбираем наилучший шаговый множитель ,
который оставим постоянным = const = 0,3.
x |
|
|
0,254039 |
|
|
После первой итерации получаем вектор: |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
3,711456 |
|
x2 |
|
И |
только |
на 25 итерации достигается необходимая точность |
||||
10 6 , и мы получаем решение: |
||||||
|
|
|
* |
|
|
0,298 711 |
x |
* |
|
x1 |
|
|
|
|
* |
|
. |
|||
|
|
|
x2 |
|
|
3,741390 |
4.2.3. Варианты заданий
№Система уравнений
1 |
sin(x1 x2) x2 1.2 0 |
|
2x1 cosx2 2 0 |
2 |
cos(x1 1) x2 0.5 0 |
|
sinx1 2x2 2 0 |
|
|
3 |
sinx1 2x2 2 0 |
|
cosx1 x2 1.5 0 |
4 |
cosx1 x2 1.5 0 |
|
2x1 sin(x2 0.5) 1 0 |
|
|
5 |
sin(x1 1.5) x2 2.9 0 |
|
cos(x2 2) x1 0 |
6 |
cos(x1 0.5) x2 0.8 0 |
|
sinx2 2x1 1.6 0 |
|
|
7 |
sin(x1 1) x2 0.1 0 |
|
x1 sin(x2 1) 0.8 0 |
8 |
cos(x1 x2) 2x2 0 |
|
x1 sinx2 0.6 0 |
9cos(x1 0.5) x2 2 0 sinx2 2x1 1 0
№ Система уравнений
10sin(0.5x1 x2) 1.2x1 1 0
x12 x22 1 0
11tan(x1x2 0.3) x12 0
0.9x12 2x22 1 0
12sin(x1 x2) 1.3x1 1 0 x12 0.2x22 1 0
13tan(x1x2) x12 0
0.8x12 2x22 1 0
14sin(x1 x2) 1.5x1 0.1 0
3x12 x22 1 0
15tan(x1x2) x12 0
0.7x12 2x22 1 0
16sin(x1 x2) 1.2x1 0.1 0
x12 x22 1 0
17tan(x1x2 0.2) x12 0
0.6x12 2x22 1 0
18sin(x1 x2) x1 0.1 0 x2 cos(3x1) 0.1 0
68
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание |
|
|
|
|
|
|||||||||||
№ |
Система уравнений |
|
№ |
Система уравнений |
|||||||||||
19 |
sin(x x |
) x |
|
1.5 0 |
|
25 |
cos(x |
0.5) x 1 0 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
x1 cos(x2 0.5) 0.5 0 |
|
|
sinx2 2x1 2 0 |
|||||||||||
20 |
sin(x |
|
1) x |
1.2 0 |
|
26 |
cos(x |
2) x 0 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2x2 x |
2 |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
sin(x1 0.5) x2 2.9 0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
cos(x |
|
1) x |
0.5 0 |
|
27 |
sin(x 1) x 1.5 0 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
x2 cosx1 3 0 |
|
|
|
|
|
x1 sin(x2 1) 1 0 |
||||||||
22 |
tan(x x |
|
0.4) x |
2 |
0 |
|
28 |
sin(x |
1) x 1 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x2 cosx1 0.5 0 |
|||
|
0.6x12 2x22 1 0 |
|
|
|
|
||||||||||
23 |
sin(x |
x |
) 1.6x |
|
1 0 |
|
29 |
cos(x |
1) x 0.8 0 |
||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
x2 x2 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 cosx1 2 0 |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
tan(x x |
|
0.1) x |
2 |
|
0 |
|
30 |
cos(x 1) x 1 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sinx2 2x1 1.6 0 |
|||
|
x12 2x22 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
69
5. Лабораторная работа №5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
5.1.Интерполяция таблично заданных функций
5.1.1.Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть в точках x0, x1,..., xn таких, что a ≤ x0 <...< xn≤ b известны значения функции y = f(x), то есть на отрезке [a; b] задана табличная
(сеточная) функция:
x |
x0 |
x1 |
… |
xn |
y |
y0 |
y1 |
… |
yn |
|
|
|
|
|
Определение. Функция φ(x) называется интерполирующей
(интерполяционной) для f(x) на [a; b], если ее значения φ(x0), φ(x1), ...,
φ(xn) в заданных точках x0, x1,..., xn, называемых узлами интерполяции,
совпадают с заданными значениями функции f(x), то есть с y0, y1,..., yn
соответственно.
Будем строить многочлен n-степени Ln(x) в виде линейной комбинации
|
n |
|
|||
Ln (x) pi (x) f (xi ), |
(5.1) |
||||
|
i 0 |
|
|||
где базисные многочлены имеют вид |
|
||||
pi (x) |
(x x0 )(x x1)...(x xi 1)(x xi 1)(x xn ) |
, |
|||
(xi x0 )(xi x1 )...(xi xi 1 )(xi xi 1 )(xi xn ) |
|||||
|
|
||||
обладающий свойством: Ln (xi ) f (xi ),i |
|
, |
(5.2) |
||
0,n |
если известны значения функции f(x) в точках xi ,i 0,n.
Теорема. Полином n-й степени, обладающий свойством (5.2),
единственный.
70