4 курс / Лучевая диагностика / Введение_в_комп_рентг_и_нейтронную_томографию

10	Глава 1

Рис. 4. Синограмма и реконструированное изображение слоя тестового

образца (черный цвет – область минимального поглощения излучения)

Если объект условно разбить на элементы и обозначить число элементов вдоль оси вращения объекта K, а в плоскости, перпендикулярной к оси – M×N, то число операций, необходимых для реконструкции одного слоя, пропорционально (M×N)2, а полное число операций для реконструкции всего объекта пропорционально K×(M×N)2. Если трехмерную реконструкцию нельзя провести послойно, то необходимое число операций становится ~(K×M×N)2. При числе слоев K≈102÷103 трехмерная задача потребует, соответственно, в 102÷103 раз больше операций, чем совокупность двумерных. Таким образом, трехмерная реконструкция пердъявляет весьма жесткие требования к необходимым вычислительным мощностям. По этой причине при разработке томографических алгоритмов их часто сводят к задаче о реконструкции в параллельном пучке.

1.1. Томография в параллельном пучке

На рис. 5 показано сечение z=z0 объекта исследований, перпендикулярное оси вращения Z и облучаемое параллельным пучком излучения. Направление лучей излучения составляет некоторый угол θ с осью x. Лучи ослабляются веществом, находящимся внутри объекта пропорционально его плотности ρ. С противоположной стороны объекта располагается устройство, регистрирующее интенсивность каждого луча, прошедшего через объект. При

Виды томографии	11

этом полагается, что лучи распространяются в объекте вдоль прямой линии, определяемой уравнением:

x cosθ + y sinθ – h = 0.

(1)

Тогда интенсивность луча на выходе из объекта определяется интегральным ослаблением, которое равно интегралу от искомого распределения коэффициента линейного ослабления излучения μ(x,y) вдоль траектории луча:

p(h, ) d (h, ) . (2)

Рис. 5. Преобразование системы координат

Параметр θ обозначает угол поворота объекта (по часовой стрелке) относительно оси Z вращения (рис. 5), а ξ - это координата вдоль траектории луча.

Координатные системы (x,y) и (h,ξ) связаны преобразованием поворота на угол θ:

h = x cos(θ) + y sin(θ),	(3)
ξ = –x sin(θ) + y cos(θ).	(4)

12	Глава 1

Функция p(h,θ) называется радоновским образом или проекцией объекта μ(x,y), а преобразование (2) - преобразованием Радона. Проекции вычисляются под всевозможными углами θ и для тех значений h, при которых двумерная функция μ(x,y) отлична от нуля. На практике величина h ограничивается физическими размерами исследуемого объекта, а угол θ изменяется в пределах от 0° до 180°, так как при изменении угла на 180° просвечивание ведется в строго обратном направлении, поэтому p(h,θ) = p(–h, θ+π).

В системе координат (x,y), связанной с объектом, преобразование Радона можно переписать в эквивалентной форме:

p(h, ) d x d y (x, y) [x cos( ) y sin( ) h] . (5)

Это наиболее часто употребляемая форма записи томографического уравнения для параллельного пучка. Радон получил также и явное выражение для решения этого уравнения [7], которое в принятых обозначениях можно записать в виде:

							1
						d p(h, )
(x, y)		0	d	dh					. (6)
						dh	x cos( ) y sin( ) h

Однако, эта формула обратного преобразования Радона не используется в практических томографических приложениях по двум причинам. Во-первых, подынтегральное выражение имеет особенность и интеграл следует вычислять в смысле главного значения. Во-вторых, в подынтегральном выражении содержится производная, численное вычисление которой также представляет сложность, поскольку приводит к усилению шумов и появлению артефактов. Это общее свойство некорректных задач математической физики, к которым относится и преобразование Радона.

Виды томографии	13

1.2. Томография в расходящихся пучках

Следующим видом томографии является томография в веерном пучке (рис. 6). В этом случае каждый слой изображения также можно обрабатывать независимо от остальных, но двумерная реконструкция отдельного слоя описывается более сложными уравнениями, чем в случае параллельного пучка. Однако существует преобразование исходных данных, которое позволяет свести «веерную» задачу к «параллельной» [8].

Рис. 6. Схема рентгеновской томографии с веерно-лучевым сканированием

Рис. 7. Схема рентгеновской томографии с конусно-лучевым сканированием

14 Глава 1

Наиболее сложным классом томографических задач является реконструкция в коническом пучке (рис. 7). В общем случае эта задача является существенно трехмерной, т.е. она не распадается на совокупность независимых двумерных задач, позволяющих отдельно реконструировать каждый слой изображения. Приведенные выше соображения о необходимом числе операций заставляют часто использовать приближенные двумерные методы. Наиболее простой, но и самый грубый метод – использование «веерного» алгоритма для «конической» задачи. Такой подход дает точную реконструкцию только в том случае, если объект однороден вдоль оси вращения. В противном случае возникают искажения и артефакты.

На практике для трехмерной реконструкции используется приближенная формула Фельдкампа [9], которая является трехмерным обобщением «веерного» алгоритма. Существует большое число разновидностей этого алгоритма. При достаточно малом растворе конуса, т.е. при большом отношении L/d (где L – расстояние между источником и детектором, а d – линейный размер источника) можно получить достаточно точную реконструкцию. Для этого необходимо, чтобы изменение степени ослабления проникающего излучения вдоль оси вращения объекта было достаточно медленным, т.е. это изменение можно описать полиномом невысокой степени.

1.3. Послойная томография [10, 11]

Послойная томография широко используется в электронной промышленности, в частности, для анализа многослойных устройств и паяных соединений, обеспечивая получение реконструкций с пространственным разрешением в микронном диапазоне. При этом томографический контроль дополняет и частично дублирует традиционные методы внутрисхемного контроля.

Применение послойной томографии для контроля печатных устройств (ПУ) снижает число контрольных точек для внутрисхемного контроля, упрощает конструкцию используемого для этого устройства (контактрона) и его стоимость, повышает качество и надежность продукции, снижает производственные расходы. Доля

Виды томографии	15

операций контроля ПУ с применением послойной томографии в настоящее время достигает 99%.

Метод микро-КТ (рис. 8) позволяет выделять и индивидуально исследовать различные слои устройства, ориентированные в любом интересующем направлении в трехмерном пространстве.

В настоящее время практически реализуемые размеры для микро-КТ обычно не превышают 50х50 мм. Поэтому метод микроКТ невозможно применять для больших печатных плат. Кроме того, крупный образец ограничивает степень геометрического увеличения проекционного изображения.

Рис. 8. Схема реализации микро-КТ (а и б – образцы разных размеров)

Для снятия ограничений на размеры образца была разработана и применена методика микро-КТ «в ограниченном угловом диапазоне», или «частичная» микро-КТ (рис. 9). Она позволяет реконструировать структуру представляющей интерес области в любом месте платы.

Вэтом случае получают набор двумерных изображений образца

сразных сторон. При этом детектор располагается под углом к оси, на которой находятся трубка и образец.

Частичную микро-КТ можно рассматривать как способ формирования ламинографических рентгеновских данных. Традиционно ламинография используется для исследования структуры «плоского» объекта на определенной глубине за счет движения источника и регистратора изображения в противоположных направлениях (рис. 10). Это движение снова и снова повторяется, обеспечивая получение набора изображений объекта с различных направлений.

16	Глава 1

Рис. 9. Одна из схем реализации микро-КТ в ограниченном угловом диапазоне

Рис. 10. Одна из схем перемещения рентгеновского луча и детектора при ламинографии

Виды томографии	17

1.4. Томография в обратно рассеянном излучении [12–14]

Томография в обратно рассеянном излучении основана на зависимости характеристик рассеянного в объекте излучения от пространственного распределения в нем плотности материала, массовых коэффициентов поглощения и рассеяния излучения.

Необходимость в этом виде томографии возникает, прежде всего, в условиях одностороннего доступа к объекту исследования.

Основной задачей организации томографических измерений при этом является получение достаточного количества измерений, обеспечивающего необходимое качество реконструкции объекта.

При реализации томографии в обратно рассеянном излучении возможны два способа регистрации интенсивности рассеянного излучения: выходящего из локальных объемов (voxel – volume element) или с линии, по которой первичное излучение проходит через образец. Очевидно, что статистика второго способа намного превышает статистику потока, выходящего из локального объема.

Различают томографию на рассеянном коллимированном и неколлимированном излучении. Томографы на коллимированном рассеянном излучении включают в себя коллимированный источник и коллимированный детектор или группу детекторов. Детекторы томографа на неколлимированном рассеянном излучении (рис. 11) не содержат коллиматора.

Рис. 11. Схема регистрации неколлимированного рассеянного излучения

18	Глава 1

В отличие от трансмиссионной томографии в томографии на рассеянном излучении изображение распределения плотности (линейного коэффициента рассеяния) не синтезируется вычислительными процедурами, а получается путем визуализации распределения интенсивности регистрируемого рассеянного излучения.

Томографы на рассеянном излучении обладают следующими недостатками. В силу ослабления излучения регистрируемая интенсивность рассеяния не соответствует фактическому распределению плотности. Чем сложнее распределение линейных коэффициентов ослабления на траекториях исходного и рассеянного лучей, тем менее адекватным будет получаемое изображение. Очевидно, что в томографах этого типа невозможно достичь разрешения, получаемого на трансмиссионных томографах. Коллимация рассеянного излучения приводит к низкой статистике счета. При этом регистрируется лишь 0,1%–2% всего рассеянного излучения. Повышение разрешающей способности за счет уменьшения размеров рассеивающего объема приводит к еще большему уменьшению интенсивности рассеянного излучения.

Перспективы развития метода обусловлены дальнейшим прогрессом в разработке методов математического моделирования процессов рассеяния излучения в объекте и методов математической реконструкции сечения объекта по интегральным данным, получаемым в геометрии одностороннего доступа. Одним из способов повышения степени адекватности реконструкции является, например, послойное моделирование реконструируемых распределений плотности (линейных коэффициентов рассеяния и поглощения).

Томография в обратно рассеянном излучении реализуется, прежде всего, с использованием рентгеновского излучения. Возможность визуализации возникшего в образце и обратно рассеянного излучения тепловых нейтронов при использовании импульсного D-T генератора и кодированной апертуры продемонстрирована в работе [15].

Виды томографии	19

1.5. Томография с использованием фазового контраста

[16-18]

При прохождении через вещество волна излучения испытывает не только поглощение или рассеяние, но и изменение фазы. Поглощение и изменение фазы определяются, соответственно, мнимой β и вещественной δ частями декремента коэффициента преломления излучения n:

n = 1–δ+iβ.

(7)

При этом фазовый сдвиг φ волны излучения при прохождении через образец толщиной z определяется выражением:

φ=(2π/λ)δ z.

(8)

В случае моноатомного вещества δ описывается для рентгеновского и нейтронного излучений, соответственно, выражениями (9) [19, 20] и (10) [21]:

δγ = ρλ2r0NАZ/(2πА),	(9)
δn ≈ ρλ2NАbc/(2πA),	(10)

где: λ – длина волны излучения, NА – число Авогадро, r0 – классический радиус электрона, ρ – плотность вещества, Z и А – порядковый номер и атомный вес вещества образца, bc – вещественная часть длины когерентного рассеяния ядер вещества.

Из (9) и (10) видно, что чем больше длина волны излучения, тем больше фазовый сдвиг. Важно, что наблюдение фазового контраста возможно при использовании полихроматического излучения. Фазовый сдвиг при этом определяется средней длиной волны излучения [16].

Различают три способа реализации томографии на основе фазового контраста:

-интерферометрический [22];

-рефракционный [23];

-за счет интерференции свободно распространяющегося излучения [24].