Курс лекций по дисциплине МЖиГ

3

Несмотря на то, что подвижность молекул в жидкости велика, жидкость удается заметно сжать только с помощью очень больших давлений. Жидкости обладают ничтожной сжимаемостью, характеризуемой коэффициентом сжимаемости p, который определяется как отношение относительного изменения объема к изменению давления dp, вызвавшему это изменение объема dv:

Здесь v - первоначальный объем жидкости. Знак “-” показывает, что увеличение давления сопровождается уменьшением объема и наоборот. В системе

СИ p 1П а .

Сжимаемость жидкости почти не зависит от температуры и давления (почему?), и в большинстве случаев изменение объема жидкости настолько ничтожно, что им можно пренебречь.

Для воды p = 4.7 10-10Па-1, этилового спирта 1.1710-9Па-1, ртути 3.810-11Па-1. Величина, обратная коэффициенту сжимаемости, называется модулем

упругости жидкости.

Как и твердое тело, жидкость изменяет объем при нагревании. Это свойство, называемое тепловым расширением, характеризуется коэффици-

ентом объемного расширения

Коэффициент объемного расширения слабо зависит от температуры. Вода в этом смысле является исключением, так как ее коэффициент объемного расширения сильно зависит от температуры, а в интервале от 0 до 4 С принимает отрицательные значения.

При 0 С для воды T = 1.8 10-4К-1, этилового спирта 1.110-3К-1, ртути 1.8110-

3К-1.

Поверхностное натяжение обусловлено силами притяжения между молекулами. Внутри жидкости силы притяжения между молекулами взаимно компенсируются, а на молекулы, находящиеся вблизи поверхности, действует нескомпенсированная результирующая сила, направленная внутрь от поверхности жидкости. Поэтому, чтобы переместить молекулу из глубины на поверхность жидкости, нужно совершить работу против этой результирующей силы. В результате молекулы на поверхности жидкости обладают определенной потенциальной энергией, называемой поверхностной энергией. Плотностью поверхностной энергии (коэффициентом поверхностного натяжения) называется отношение работы, требующейся для увеличения площади поверхности, к величине этого приращения площади:

При 20 С у воды =1000 кг/м3 , этилового спирта 790 кг/м3, ртути 13500 кг/м3.

Если известна плотность жидкости при какой-либо температуре и коэффициент объемного расширения р, можно найти плотность при другой

где 1 - известная плотность, 2 - искомая.

Теплоемкостью называется отношение подведенного к телу количества теплоты к достигнутой при этом разности температур C Q T . В систе-

ме СИ [С]=Дж/К.

Удельная теплоемкость - отношение теплоемкости тела к его массе

В системе СИ [c]=Дж/(кг К). Удельная теплоемкость жидкостей зависит от

температуры. При 20 С у воды с=4.19103Дж/кг К, этилового спирта 2.39 103Дж/кг К, ртути 1.38102Дж/кг К.

Вследствие взаимодействия молекул в жидкости возникает внутреннее трение. В отличие от внешнего трения, возникающего в месте соприкосновения двух тел, внутреннее трение имеет место внутри движущейся среды между слоями с различными скоростями движения. Для того чтобы оценить вязкость Представим на продольном разрезе потока некоторое живое сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей АВС. Покажем далее 2 слоя жидкости, движущиеся с различными скоростями U1 и U2.

Поверхность соприкосновения этих жидких слоев имеет площадь S. Вдоль поверхности соприкосновения возникает касательное напряжение . Его величина определяется вязкостью по закону Ньютона:

dUdy ,

5

Коэффициент пропорциональности принято называть динамической вязкостью. В системе СИ [ ]=Па с=кг/(м с).

Жидкости подчиняющиеся закону вязкого трения называются ньютоновскими (вода, бензин, спирт). Все остальные неньютоновскими (краски, лаки, полимерные расплавы). Они подобно твердым телам обладают упругостью.

Все реальные жидкости обладают вязкостью. Учет вязкости в ряде аналитических исследований и решении практических задач значительно их усложняет. Поэтому было введено понятие идеальной жидкости, не существующей в природе. Идеальная жидкость характеризуется абсолютной неизменяемостью объема при изменении P и t и полным отсутствием вязкости, т.е. сил трения при любом ее движении.

Динамическая вязкость жидкости резко уменьшается с повышением температуры по закону Ае хр bT , где А и b - эмпирические постоянные. Кроме динамического коэффициента вязкости применяется еще понятия текучести 1 и кинематического коэффициента вязкости .

В системе СИ [ ]=1/Па с=(м с)/кг, [ ]=м2/c. При 20 С у воды =1.002 10- 3Па с, этилового спирта 1.210-3Па с, ртути 1.55410-3 Па с.

1.3. Физические свойства газов

Плотность газов - это отношение массы газа к его объему. Плотность газов зависит от давления и температуры. Согласно уравнению состояния (уравнению Менделеева-Клапейрона)

где р – давление, Па; V – объем, м3; m – масса, кг; - молярная масса, кг/моль; Т-температура по шкале Кельвина (Т=t+273), R =8.31 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная.

На основании соотношения (6), зная плотность газа 1 при давлении р1 и температуре T1, можно вычислить его плотность при других давлениях и температурах. В таблицах приводятся значения, соответствующие температуре 0 С и давлению 1атм (101325Па). Например, для воздуха =1.29кг/м3, кислорода 1.47кг/м3, гелия 0.179кг/м3.

Если относительное изменение плотности газа (где - изме-

нение плотности по какой-либо причине) меньше 5%, этим изменением можно пренебречь.

6

Рассмотрим газ при постоянной температуре. Выясним, в каком диапазоне можно изменять давление газа, чтобы можно было пренебречь изменением его плотности. Из формулы (6)

давления на величину, равную пять сотых от начального его значения, можно считать, что газ имеет постоянную плотность.

Как следует из уравнения Менделеева-Клапейрона, при изменении температуры меняется произведение pV. Наглядные соотношения можно получить, если оставить постоянным один из сомножителей. Сделаем это.

Пусть газ нагревается при постоянном давлении. Тогда справедлива

где - коэффициент объемного расширения. Коэффициент объемного рас-

ширения инертных газов, водорода и кислорода равны коэффициентам объемного расширения идеального газа 1273.15К . Значения для других

Здесь коэффициент называется относительным коэффициентом давления или термическим коэффициентом давления. Но что удивительно, его значе-

ние в точности совпадает с величиной коэффициента объемного расширения. Элементарный анализ позволяет получить из соотношения (10) закон Гей-Люссака:

при V=const: p/T=const. (11)

Отметим, что законы Шарля и Гей-Люссака являются частными случаями уравнения состояния идеального газа (6).

Рассмотрим удельную теплоемкость газов. В отличие от твердых и жидких тел, для газов надо различать два вида удельной теплоемкости. Связано это со следующим фактом. При нагревании твердых и жидких тел при отсутствии потерь все тепло идет на увеличение внутренней энергии тела, то есть его температуры. В газах же, в силу первого начала термодинамики

может идти не только на увеличение внутренней энергии газа U, но и на совершение этим газом работы, то есть на его расширение. В случае нагревания газа при постоянном объеме А=0, так как газ не расширяется и мы имеем

7

дело с удельной теплоемкостью при постоянном объеме СV, которая определяется следующим образом

А=p V. Говоря о теплоемкости в этом случае, имеют в виду удельную теплоемкость при постоянном давлении, определяемом, как следует из (12)

телем адиабаты.

Заметим, что на самом деле газ имеет бесконечное число теплоемкостей. Все зависит от происходящих при нагревании процессов. Однако это уже тонкости термодинамики, в которые мы не будем углубляться.

Вязкость газа, как и вязкость жидкости, зависит от температуры. Эта зависимость представляется формулой Саттерлэнда, выводимой теоретически в кинетической теории газов

Константы в этом выражении зависят от рода газов. Для воздуха, например, С=122. На практике предпочитают пользоваться приближенной степенной формулой

где показатель степени n различен для разных газов и, кроме того, сам зависит от интервала температур. С возрастанием температуры n убывает. Для приближенных оценок принимают n=1 для сравнительно малых и n=0.76 для больших температур.

8

ЛЕКЦИЯ 2.

РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.

2.1. Основное дифференциальное уравнение равновесия.

Задача равновесия газов и жидкостей заключается в определении распределения давления и плотности в заданном поле сил. Уравнения Эйлера статики среды записываются следующим образом:

Умножая эти равенства на dx, dy, dz соответственно и складывая, получим основное дифференциальное уравнение равновесия текучей среды:

Здесь, напомним, fx ,fy ,fz - известные составляющие ускорения массовых

сил (если тело покоится, то это проекции ускорения силы тяжести), а p и - искомые давление и плотность, связанные между собой уравнением состояния. Таким образом, задача равновесия сводится к решению системы двух уравнений: основного дифференциального уравнения равновесия и уравнения состояния p=p( ,T).

2.2. Поверхность уровня.

Прежде чем рассматривать частные случаи равновесия газов, научимся определять поверхность уровня.

Поверхностью уровня называется поверхность, на которой остается постоянной какая-то величина. Например, изотермическая поверхность - поверхность, в каждой точке которой температура одинакова; изопотенциальная поверхность - поверхность равного потенциала и т.д. В гидростатике нас, как правило, интересуют поверхности, в каждой точке которых давление одинаково. Именно их мы будем подразумевать , говоря просто “поверхность уровня”.

Уравнение такой поверхности получается из (2). Так как на поверхности уровня давление постоянно, т.е. dp=0, а плотность не равна нулю, получаем уравнение поверхности уровня в виде:

Подставляя ускорения массовых сил, действующих на жидкость или газ, в (5), получаем дифференциальное уравнение, интегрирование которого и дает уравнение искомой поверхности в трехмерном пространстве.

Для справки: в цилиндрических координатах уравнение (5) имеет вид:

в сферических:

9

y=const.

Следовательно, в однородном силовом поле давление будет одинаковым в плоскостях, перпендикулярных направлению действия силы.

2. Найдем поверхность уровня в поле центральных сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Рассмотрим частный случай, когда модуль ускорения силы обратно пропорционален расстоянию от рассматриваемой точки

до центра сил:

Здесь i r - единичный вектор в радиальном направлении, m - постоянный коэффициент, r - расстояние от рассматриваемой точки до центра, знак “-” показывает, что сила направлена к центру, как показано на рисун-

ке.

Здесь удобнее всего работать в сферической системе координат с уравнением (7), в котором f f 0, fr mr. Получим:

10

Или, так как m и r не равны нулю, dr=0. Решение этого уравнения r=const. Таким образом, в рассматриваемом случае поверхностями уровня бу-

дут являться сферические поверхности.

Отметим, что эти вычисления можно было бы провести и в декартовых координатах, как это делается во многих руководствах. Но тогда выкладки будут очень громоздкими, хотя результат, очевидно, тот же.

2.3. Равновесие газов и жидкостей в однородном поле сил тяжести.

Направляя ось декартовой системы координат z вертикально вверх, по-

Нас будут интересовать наиболее распространенные случаи баротропного равновесия, когда плотность является функцией давления. Так как основная задача заключается в выводе распределения давления в пространстве, а оно зависит от конкретного вида функции (p), рассмотрим наиболее характерные случаи.

Случай 1. Равновесие жидкости.

Так как жидкости практически несжимаемы, их плотность постоянна:=const. Интегрирование уравнения (1) дает:

p С gz,

где С - постоянная интегрирования, которая находится из граничных условий. Пусть на какой-либо высоте z=z0 давление известно (например, измере-

Отсюда видно, что давление в жидкости падает с увеличением высоты и растет в обратном случае.

Случай 2. Равновесие газа в изотермическом случае (при постоянной температуре).

Как следует из уравнения Менделеева-Клапейрона