- •9 Поле электрического диполя
- •10 Диполь во внешнем электростатическом поле
- •11 Ротор векторной функции и его физический смысл
- •Теорема Стокса
- •12 Уравнения электростатического поля в вакууме в интегральной и дифференциальной формах. Уравнение Пуассона. Уравнение Лапласа
- •1. Теорема Гаусса:
- •2. Теорема о циркуляции вектора :
- •Уравнение Пуассона
- •Уравнение Лапласа
ФИЗИКА
Модуль 2.5
9 Поле электрического диполя
Электрический диполь – это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов и , находящихся на некотором расстоянии друг друга, причем расстояние мало по сравнению с расстоянием до тех точек, в которых рассматривается поле системы ().
Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Ориентацию оси диполя в пространстве можно задать с помощью вектора , проведенного от заряда к заряду .
Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же.
Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (1.39) потенциал поля диполя в точке Р (рис. 24) определяется как
Так как , то как видно из рис. 24 , а , где - расстояние от точки Р до диполя (он точечный!). С учетом этого
, (1.52)
где . Этой величине сопоставляется вектор , который называют электрическим моментом диполя или дипольным моментом.
Рис. 24
Из рис. 25 видно, что есть угол между моментом диполя и радиус-вектором , поэтому формулу (1.52) можно записать в виде:
. (1.53)
Отметим, что, в то время как потенциал поля точечного заряда убывает как , потенциал поля диполя убывает с расстоянием как , т.е. гораздо быстрее.
Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой (1.46), что
.
Рис. 25
Вычислим с помощью этой формулы проекции вектора на два взаимно перпендикулярных направления – вдоль ортов и (рис. 25).
,
(1.54)
Отсюда модуль вектора
(1.55)
В частности, при =0 мы получим выражение для напряженности поля на оси диполя :
, (1.56)
причем при . Это означает, что на оси диполя направлен вдоль оси. Согласно формуле (1.54) при и при . Отсюда следует, что в обоих случаях направление вектора . (см. рис. 26).
Рис. 26
При мы получим выражение для напряженности поля в точках плоскости, перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его центр ():
, (1.57)
причем при , а . Это означает, что вектор антипараллелен вектору (см рис. 26).
10 Диполь во внешнем электростатическом поле
Если диполь находится в однородном электрическом поле, на его заряды действуют равные по модулю, противоположно направленные силы и (рис. 27). Эти силы образуют пару, плечо которой равно . Модуль момента пары сил равен
, (1.58)
где - модуль электрического момента диполя. Вращающий момент перпендикулярен к векторам и , - угол между векторами и . Поэтому
. (1.59)
Рис. 27
Таким образом, однородное электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие, стремясь установить его по полю, т.е. чтобы . Также положение диполя является устойчивым.
Мы знаем, что энергия точечного заряда во внешнем поле равна , где - потенциал в точке нахождения заряда . Энергия диполя во внешнем поле
,
где и - потенциал внешнего поля в точках расположения зарядов и .
Потенциал однородного поля определяется выражением
,
где - ось, вдоль которой направлен вектор .
Следовательно, энергия диполя равна:
.
Здесь есть разность координат точек, в которых находятся заряды и . Из рис. 27 видно, что . Таким образом,
или
(1.60)
Формула (1.60) определяет потенциальную энергию диполя с моментом , находящегося в поле с напряженностью .
Эта формула справедлива как для однородного, так и для неоднородного поля.
Из этой формулы следует, что минимальную энергию () диполь имеет в положении (положение устойчивого равновесия).