ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
——————————————————————————————
ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Санкт-Петербург
2006
Высшая математика. Тема 6. Интегральное исчисление функций одной переменной. Рабочая тетрадь. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 2007. С. 38.
Издание адресовано студентам экономических специальностей и предназначено для организации их самостоятельной работы по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной». Рабочая тетрадь является дополнением к теме 6 компендиума по дисциплине «Математика». Она содержит краткие сведения из теории и подробные решения типовых примеров, а также варианты типовых расчетов.
Составитель В. В. Певзнер Редактор И. И. Крисальная
2
Справочный материал для задач 1–10
Функция называется первообразной для функции на интервале (a;b), если на всём этом интервале F' (x)= f (x).
Если F(x) — какая-либо первообразная функции f (x), то все возможные первообразные этой функции могут быть записаны в виде F(x)+C , где C — любое число.
Выражение F(x)+C называется неопределённым интегра-
лом от функции |
f (x). |
|
|
Обозначение: |
∫ f (x)dx = F(x)+C . |
|
|
Функция f (x) называется подынтегральной |
функцией, |
||
f (x)dx ― подынтегральным выражением, |
знак ∫ |
— знаком |
|
интеграла. |
|
f (x) |
|
Нахождение первообразной для функции |
называется |
интегрированием функции f (x).
Основные свойства неопределённого интеграла
1.Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
∫df (x)= f (x)+C .
2.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx .
3.Интеграл от суммы функций равна сумме интегралов от каждой функции:
∫(f1(x)+ f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx .
3
Таблица неопределённых интегралов
∫dx = x +C |
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
= tg x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫x dx = |
x2 |
+C |
∫ |
dx |
|
|
|
|
= −ctg x +C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
xn +1 |
|
|
|
dx |
|
|
= ln |
|
|
|
x |
+ |
π |
|
|
+C |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
+C , где n ≠ −1 |
∫ |
|
cos x |
|
|
tg |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
= ln | x | +C |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ x |
|
∫ |
|
|
|
= ln |
tg |
|
|
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+C |
|
|
|||||||||||||||
∫a |
|
|
= |
|
|
+C |
|
∫ |
x2 +a2 |
= a arctg a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫e |
x |
dx = e |
x |
+C |
∫ |
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
|
x −a |
|
+C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −a2 |
|
|
|
2a |
|
x +a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫sin xdx = −cos x +C |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
= arcsin a +C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫cos xdx =sin x +C |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x2 ±a2 = ln x + |
x |
|
|
±a |
|
+C |
4
В простейших случаях неопределённый интеграл можно найти методом непосредственного интегрирования, то есть с помощью арифметических действий привести интеграл к табличному виду и найти его значение по таблице неопределённых интегралов.
При вычислении интегралов часто бывают полезны свойства дифференциалов:
1) постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:
2) если под знаком дифференциала прибавить любое число, дифференциал не изменится:
du = d (u +c) ( c = const ).
В частности, эти свойства помогают найти интеграл ∫ f (ax +b)dx при известной первообразной от функции f (x):
∫ f (x)dx = F(x)+C .
Приступим к вычислению интеграла:
∫f (ax +b)dx = ∫ f (ax +b)d axa = ∫ f (ax +b)a1 dax =
=a1 ∫ f (ax +b)dax = a1 ∫ f (ax +b)d (ax +b)=
= a1 F(ax +b)+C .
Если требуется найти значение определённого интеграла, то вначале находится первообразная, а затем используется формула Ньютона-Лейбница
b
∫ f (x)dx = F(x)ba = F(b)− F(a),
a
где F(x) — какая-либо первообразная функции f (x).
Задача 1.1
Вычислить неопределённый интеграл ∫(x +1)2 xdx .
5
Решение задачи
Раскроем скобки и превратим интеграл в сумму табличных:
∫(x +1)2 xdx = ∫(x2 +2x +1) xdx = ∫(x5 2 +2x3 2 + x1 2 )dx = = ∫x5 2dx +2∫x3 2dx + ∫x1 2dx = x77 22 +2 x5522 + x3322 +C .
Задача 1.2
Вычислить неопределённый интеграл ∫5 4dxx +2 .
Решение задачи
Заметим, что интеграл от функции 51x является табличным,
поэтому мы можем, пользуясь свойствами дифференциала, превратить исходный интеграл в табличный. Для этого под знаком дифференциала получим то же выражение, что и под знаком радикала:
dx = d 44x = 14 d 4x = 14 d (4x +2).
Подставим это выражение в исходный интеграл:
∫ |
dx |
|
1 d (4x +2) |
= 1 |
∫d (4x +2) |
= (×). |
|||||
= |
∫ 4 |
|
|||||||||
|
5 4x +2 |
|
5 4x +2 |
4 |
5 4x +2 |
|
|||||
Известно, что ∫ |
dx |
= |
x4 5 |
+C . Поэтому |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
5 x |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(×)= 1 |
(4x + 2)4 5 |
|
+C = |
5 |
(4x + 2)4 5 |
+C . |
||||
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
4 5 |
|
|
16 |
|
|
||
|
Справочный материал для задач 2-5 |
||||||||||
Предположим, что требуется найти интеграл |
∫ f (x)dx , при- |
||||||||||
чём непосредственно |
подобрать |
первообразную для функции |
f (x) мы не можем, но предполагаем, что она существует.
Введём новую переменную t, которая будет связана со старой переменной x
6
x = u(t),
где u(t) — непрерывная функция, у которой есть непрерывная
производная и обратная функция. Тогда dx = du(t)= u'(t)dt .
Подставим это выражение в исходный интеграл:
∫ f (x)dx = ∫ f (u(t))u'(t)dt .
Цель всех этих действий — получить табличный интеграл или интеграл, какими-либо операциями сводящийся к табличному.
Такой способ интегрирования называется методом замены переменной или методом подстановки.
Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде
f (x)= g(h(x))h' (x),
причём функция g(t) имеет табличную первообразную. Можно
заметить, что
h' (x)dx = dh(x),
изаписать интеграл так:
∫g(h(x))h'(x)dx = ∫g(h(x))dh(x).
Дальнейшее интегрирование сводится к нахождению табличной первообразной от функции g(t) и замены переменной t на функ-
цию h(x).
Этот приём называется подведением под знак дифференциа-
ла.
Интегралы вида ∫ |
dx |
находятся выделением под |
ax2 |
+bx +c |
|
знаком радикала полного квадрата. После этого интеграл сводит-
ся к одному из табличных вида ∫ |
dx |
или ∫ |
dx |
. |
|
x2 ±a2 |
|
a2 − x2 |
|
Интегралы от произведений и отношений тригонометрических функций разделяются на несколько видов.
1. ∫sinn x cos2m+1 xdx (n, m — целые числа).
7
cos x |
подводим |
под |
знак |
дифференциала. |
Оставшийся |
cos2m x |
выражаем через |
sin x |
с помощью основного тригоно- |
||
метрического тождества cos2 x +sin2 x =1 . |
|
||||
2. ∫sin2n+1 x cosm xdx (n, m — целые числа). |
|
||||
Подводим под |
знак |
дифференциала sin x . |
Оставшийся |
sin2n x выражаем через cos x с помощью основного тригонометрического тождества.
В случае, если функция sin x (или cos x ) — в нечётной отрицательной степени (то есть находится в знаменателе), интеграл находится тем же методом.
3. ∫sin2n x cos2m xdx (n, m — целые положительные числа). Необходимо воспользоваться формулами понижения степени
cos2 x = |
1 +cos 2x |
, sin2 x = |
1 −cos 2x |
|
2 |
|
2 |
или формулой двойного угла
sin 2x = 2sin x cos x ,
чтобы свести интеграл или к табличному, или к одному из рассмотренных в этом разделе.
dx
4. ∫sin2n x cos2m x (n, m — целые положительные числа).
Числитель удобно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества.
5. ∫sinαx cos βxdx , ∫sinαxsin βxdx , ∫cosαx cos βxdx (α≠β ).
Эти интегралы берутся при помощи формул sinαcos β = 12 [sin(α + β)+sin(α −β)],
cosαcos β = 12 [cos(α + β)+cos(α −β)], sinαsin β = 12 [cos(α −β)−sin(α + β)].
8
Задача 2
Вычислить интеграл ∫ |
3 1 |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
′ |
= x , то есть мы можем x подвести под |
||||||||||||||||||||||||
Заметим, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знак дифференциала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx = d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (− x2 ) |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx = ∫ |
2 x |
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
= − |
∫ |
= |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
1 − x |
2 |
|
|
1 − x |
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= − 1 |
∫d (1 − x2 )= − 1 |
(1 − x2 )2 3 |
+C = − |
3 |
|
(1 − x2 )2 3 +C |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
1 |
− x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить определённый интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
ln2 x +3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь можно подвести под знак дифференциала |
1 |
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx = d ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
e |
|
d ln x = (×). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x ln2 x +3 |
1 |
|
ln2 x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поскольку ∫ |
|
dx |
|
|
= ln x + |
|
x2 +3 +C , то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
e
(×)= ln ln x + ln2 x +3 =
1
= ln ln e + ln2 e +3 −ln ln1+ ln2 1+3 = ln 3 −ln 3 .
Задача 4
Вычислить неопределённый интеграл ∫ |
dx |
. |
|
− x2 |
|||
8 |
−2x |
||
Решение задачи |
|
|
Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
8 − x2 −2x = 8 −(x2 +2x +1 −1)= 8 −(x2 +2x +1)+1 = = 9 −(x +1)2 .
Получаем интеграл ∫ |
dx |
= (×). |
||
|
|
9 −(x +1)2 |
||
Но ∫ |
dx |
=arcsin x |
+C . |
Поэтому воспользуемся свойст- |
|
9 − x2 |
3 |
|
|
вом дифференциала, согласно которому при добавлении числа под знаком дифференциала он не меняется. Теперь мы можем преобразовать наш интеграл в табличный:
|
|
|
(×)= ∫ |
d (x +1) |
|
= arcsin x +1 |
+C . |
|
|
||||
|
|
|
|
9 −(x +1)2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задача 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить неопределённый интеграл ∫ |
x |
|
dx . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
x |
dx = ∫ x +3 −3 dx = ∫ x +3 dx − |
∫ |
|
3 |
dx = |
||||||
|
|
x +3 |
|
x +3 |
|
|
x +3 |
|
|
x +3 |
|
||
= |
∫ |
x +3dx −3 |
dx |
= |
∫ |
x +3d (x +3)−3 |
|
d (x +3) |
= |
||||
|
|
∫ |
x +3 |
|
|
|
∫ |
|
x +3 |
|
10