Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdfСхема, изображенная на рис. 4.33 полностью описывается следующей таблицей со- единений:
R1 ; |
1, 2; |
100 |
L1 ; |
2, 3; |
0.0001 |
R2 ; |
3, 0; |
200 |
Первый символ указывает тип (R, L, C) и порядковый номер элемента ветви. Вто- рая и третья цифры в спецификации указывают номера узлов, между которыми включен элемент. Последняя цифра характеризует значение параметра.
2. Расчет передаточной функции цепи. Приведем последовательность расчета пе- редаточной функции цепи с использованием метода узловых напряжений:
-По введенной в ЭВМ схеме определяется структурная матрица A0 .
-Формируются матрицы эдс источников напряжения Eâ и проводимостей ветвей
â.
-Формируется матрица узловых проводимостей Yy .
-Формируется матрица узловых токов Iy .Y
- Определяется матрица узловых напряжений: Vy = |
|
y−1 × Iy . |
||||||||||||||
Y |
||||||||||||||||
- Положив |
U |
âõ = 1 В, определяется матрица комплексной передаточной функции |
||||||||||||||
Hy = Vy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Рассчитываются и строятся графики АЧХ (H ( f )) и ФЧХ (jí ( f )) . |
||||||||||||||||
Структурная матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
é -1 |
1 |
0 |
ù . |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
-1 |
1 |
ú |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë 0 |
û |
|
|
|||
Матрица эдс источников напряжения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
é |
U |
âõ |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eâ |
= ê |
0 |
ú . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
0 |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
||
Матрица проводимостей ветвей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
é1 R |
|
0 |
|
0 ù |
|
|||||
|
|
|
|
= ê |
|
0 1 ( jwL) |
0 ú . |
|||||||||
|
|
Y |
|
|||||||||||||
â |
ê |
|
0 |
|
0 |
|
ú |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
1 Rû |
Матрица узловых токов
r |
|
|
|
|
|
r |
é -1 |
1 |
0 |
ù |
æ |
|
|
= A0 |
|
|
× ç |
- |
|||||||||
Iy |
(-Yâ Eâ ) = ê |
0 |
-1 |
1 |
ú |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
ç |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
é1 R 0 |
0 |
ù |
é |
U |
âõ ù ö |
; |
|||
ê |
0 |
1 ( jwL) |
0 |
ú |
ê |
0 |
ú ÷ |
||
ê |
0 |
0 |
|
ú |
ê |
0 |
ú ÷ |
|
|
ë |
1 Rû |
ë |
û ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
éU |
|
|
Rù |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iy |
= |
ê |
|
|
âõ |
ú . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
0 |
û |
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица узловых проводимостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T = é -1 1 0ù |
|
é1 R 0 |
0 ù |
é -1 0 ù |
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ê 0 1 ( jwL) 0 ú |
× ê 1 -1ú ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Y |
A |
Y |
A |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
0 â 0 |
ê |
|
-1 |
1 |
ú |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
ê |
ú |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë 0 |
û |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
1 Rû |
ë 0 |
1 û |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
- |
|
1 |
|
ù |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
jwL |
jwL |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
ê |
- |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 + |
1 |
|
ú |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jwL |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
jwL û |
|
|
141
Обратная матрица |
|
y−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
= A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где A – присоединенная матрица, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D – определитель Yy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ù |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|||||
|
|
% |
|
|
|
é A11 A21 |
ù |
= |
|
R |
jwL |
|
|
jwL |
, |
|
||||||||||||||||
|
|
A = |
ê |
|
|
A22 |
ú |
|
ê |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
+ 1 |
ú |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë A12 |
û |
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jwL |
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
jwL û |
|
|
|||||||||
где A11, A12, A21, |
A22 – алгебраические дополнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
æ 1 |
|
|
1 |
ö |
2 |
æ 1 |
|
ö2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2R + jwL |
|||||||||||||
D = ç |
|
+ |
|
|
|
|
÷ |
- ç |
|
|
÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. D = |
|
|
2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
jwLR |
|
jwLR |
|||||||||||||||||
è R |
|
|
jwL ø |
|
è jwL ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
R( R + jwL) |
||
|
|
|
ê |
|||
|
|
−1 |
|
2R + jwL |
||
|
|
= ê |
|
|||
Y |
||||||
|
|
y |
ê |
|
R2 |
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
2R + jwL |
||
|
|
|
ë |
|
|
R2 |
ù |
|
|
|
|
ú |
|
2R + jwL |
||
|
ú . |
||
R( R + jwL) ú |
|||
|
|
|
ú |
|
2R + jwL |
||
|
û |
Матрица узловых напряжений
|
|
|
|
|
|
é |
U |
|
R + jwL ù |
||
r |
|
|
r |
|
|
ê |
âõ |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
2R + jwL |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
V |
= |
Y |
−1I |
y |
= |
ê |
|
|
ú . |
||
y |
|
|
y |
|
êU |
|
R |
ú |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
âõ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ê |
|
2R + jwL |
ú |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
Принимàåì Uâõ = 1 Â è íàõîäèì ïåðåäàточную функцию по нàпряжению:
r |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Hu = |
|
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
âõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é R + jwL ù |
Óçëû |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
ê |
|
|
|
ú |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R + jwL |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hu = ê |
|
|
R |
ú |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
ú |
( 3 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
2R + jwL û |
|
|
|
|
||||
На рис. 4.33 |
U |
âûõ = V3 , следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ju ( w) = - arctg wL . |
|||||||||||||
|
|
|
Hu = |
|
|
R |
|
; Hu ( w) = |
|
|
|
R |
|
|
; |
||||
|
|
|
2R + jwL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4R2 + ( wL)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
Hu
0,5
0 |
w |
ϕí |
|
0 |
w |
|
|
− p |
|
2 |
|
Ðèñ. 4.34
142
Начало
Задание схемы,
Uâõ = 1,n
Формированиеr матриц
A0,E â,Yâ
Формированиеr матрицы
Ió
Формирование
Yó
Формированиеr r
Vy = Yy−1 × Iy
Hu =Vn
Расчет АЧХ, ФЧХ
Вывод АЧХ и ФЧХ
Конец
Ðèñ. 4.35
На рис. 4.34 приведены графики АЧХ – Hu ( w) и ФЧХ – ju ( w).
3. Алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ. На рис. 4.35 приведен алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ цепи на основе метода узловых напряжений.
Вопросы и задания для самопроверки
1.×òî òàêîå À×Õ è Ô×Õ öåïè, åñëè ðàññìàòðèâàется ее комплекс- нàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция по нàпряжению?
2.Почему резонàíñ â послеäîâàтельном колебàтельном контуре нà- çûâàется резонàíñîì íàпряжений?
3.×òî òàêîå äобротность колебàтельноãо контурà?
4.×òî òàкое полосà пропускàния колебàтельноãо контурà?
143
|
R1 L |
|
R1 |
C |
|
|
|
|
R1 |
|
|
R1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
á) |
â) |
|
|
ã) |
|
|
Ðèñ. 4.36
5.Почему резонàíñ â ïàðàллельном колебàтельном контуре нàçû- âàется резонàíñîì òîêîâ?
6.Êàêîâû ýêâèâàлентные схемы послеäîâàтельноãî è ïàðàллельно- ãо контуроâ íà резонàнсной чàстоте?
7.Почему послеäîâàтельный контур äолжен рàáîòàть с источником сиãíàëà, имеющим мàëîå âнутреннее сопротиâление, à ïàðàл- лельный контур с источником, имеющим большое âнутреннее сопротиâление?
8. ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ äостоинстâî ñâÿçàнных колебàтельных контуроâ ïî ñðàâнению с оäиночным?
9.Êàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà ðåàêòèâíûõ äâухполюсникоâ?
10.Êà÷åñòâенно построить АЧХ цепей, получàåìûõ íà рисунке 4.36.
11. Послеäîâàтельный колебàтельный контур, имеющий L = = 100 ìêÃí, C= 2,5 íÔ, R = 6 Îì, ðàáîòàет с источником сиã- íàëà, у котороãî Rã = 2 Îì. Êàêîâà áóäет полосà пропускàния системы äо и после поäключения нàãрузки к емкостному элементу с сопротиâлением Rí = 10 êÎì?
Îòâåò: fà = 12,7 êÃö íåíàãруженноãî è
fà.í = 19,1 êÃö íàãруженноãо контуроâ.
ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В РЕЖИМЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
5.1. Негармонические периодические сигналы. Разложение в ряд Фурье
Ïðè ïåðåäàче информàöèè ïî êàíàëàì ñâÿçè â процессе преобрàçîâàíèÿ ñèãíàëîâ â ðàзличных устройстâàõ, êàê ïðàâило, используют неãàрмонические колебàния, поскольку чисто ãàрмони- ческие колебàíèÿ íå ìîãóò ÿâляться носителями информàöèè. Äëÿ ïåðåäàчи сообщений осущестâëÿþò ìîäуляцию ãàрмоническоãо колебàíèÿ ïî àмплитуäå àмплитуäíàÿ ìîäуляция (AM), чàстоте
144
÷àстотнàÿ ìîäуляция (ЧМ) или фàçå ôàçîâàÿ ìîäуляция (ФМ), либо используют импульсные сиãíàëû, ìîäулируемые по àмплитуäå àмплитуäно-импульснàÿ ìîäуляция (АИМ), ширине ши- ротно-импульснàÿ ìîäуляция (ШИМ), âременному положению âремя-импульснàÿ ìîäуляция (ВИМ). Сущестâóþò è äðóãие, более сложные сиãíàлы, формируемые по специàльным зàêîíàм. Отли- чительной чертой укàçàííûõ ñèãíàëîâ ÿâляется сложный неãàрмонический хàðàктер. Несинусоиäàльный âèä имеют токи и нàпряжения, формируемые â ðàзличных импульсных и цифроâых устройстâàõ (ãл. 19), несинусоиäàльный хàðàктер приобретàþò ãàрмони- ческие сиãíàлы, прохоäящие через рàзличные нелинейные устройстâà (ãë. 11) è ò. ä. Âñå ýòî ïðèâîäит к необхоäимости рàçðàботки специàльных метоäîâ àíàëèçà и синтезà электрических цепей, нà- õîäящихся поä âîçäåéñòâием периоäических несинусоиäàльных и непериоäических токоâ è íàпряжений. В осноâå ýòèõ ìåòîäîâ ëå- æàт спектрàльные преäñòàâления несинусоиäàльных âîçäåéñòâèé, áàзирующиеся нà ðàзложении â ðÿä èëè èíòåãðàл Фурье.
Èç ìàòåìàтическоãî àíàëèçà èçâестно, что периоäическàÿ íå- ãàрмоническàя функция f(t) óäîâëåòâоряющàÿ óñëîâиям Дирихле , может быть рàзложенà â ðÿä Фурье:
|
a0 |
∞ |
(ak cos kω1t + bk sin kω1t ); |
|
|
f ( t ) = |
+ å |
ω1 = 2π T , (5.1) |
|||
|
|||||
2 |
k=1 |
|
|
ãäå ak, bk
ниями
ak
коэффициенты рàзложения, опреäеляемые урàâíå-
|
2 |
T |
|
2 |
T |
|
|
= |
ò f ( t ) cos kω1t dt; |
bk = |
ò f ( t ) sin kω1t dt. |
(5.2) |
|||
T |
T |
||||||
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 T
Величинà a0 2 = T 0ò f ( t ) dt ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå çà периоä çíà÷å-
ние функции f(t) è íàçûâàется постоянной состàâляющей.
В теоретических исслеäîâàниях обычно âместо формулы (5.1) используют äðóãóþ, îñíîâàííóþ íà çàìåíå íåçàâисимой переменной α = ω1t:
|
f ( |
α ) = |
a0 |
∞ |
( ak cos kα + bk sin kα ), |
|
|||
|
+ å |
(5.3) |
|||||||
|
|
||||||||
ãäå |
|
|
2 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
1 |
f (α ) cos kα dα; bk = |
1 |
|
|||||
ak = |
ò |
ò f (α )sin kα dα. |
(5.4) |
||||||
|
π |
0 |
|
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ýòè óñëîâия требуют, чтобы нà периоäå Ò функция f (t) èìåëà конечное число рàç- ðûâîâ ïåðâîãî ðîäà и конечное число мàксимумоâ и минимумоâ, ÷òî äëÿ ðåàльных электрических сиãíàëîâ обычно âыполняется.
Функция f (t) может иметь смысл кàê òîêà, òàê è íàпряжения.
145
Óðàâнение (5.3) есть триãонометрическàÿ ôîðìà ðÿäà Фурье. При àíàлизе цепей чàñòî óäобней пользоâàться комплексной формой ряäà Фурье, которàя может быть полученà из (5.3) с помощью формул Эйлерà:
cos kα = ( e jkα + e− jkα )2; sin kα = ( e jkα − e− jkα )( 2j ). (5.5)
Ïîäñòàâèâ (5.5) â óðàâнение (5.3), после несложных преобрà- çîâàний получим комплексную форму ряäà Фурье:
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( α ) = 12 k=å−∞ Ake jkα, |
|
|
|
(5.6) |
|||
ãäå Ak комплекснàÿ àмплитуäà k-é ãàрмоники: |
||||||||||
|
|
|
Ak = ak − jbk |
= Ake |
− jϕk |
, |
|
|
(5.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå A = |
|
|
àмплитуäà; ϕ |
|
= arctg (b |
|
|
|
) íà÷àëüíàÿ ôàçà |
|
a2 |
+ b2 |
k |
|
a |
k |
|||||
k |
k |
k |
|
|
k |
|
|
k-é ãàрмоники. Поäñòàâèâ çíàчения ak è bk èç (5.4) â (5.7), получим:
|
1 |
2π |
(k = 0;± 1;±2;K). |
|
Ak = |
ò f ( α ) e− jkαdα, |
(5.8) |
||
|
π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Ñîâокупность àмплитуä 0,5Àk = 0,5À k â ðàзложении (5.6), отложенных протиâ ñîîòâåòñòâующих положительных и отрицàтельных чàñòîò , îáðàзует симметричный относительно оси коорäèíàò (âñëåä- ñòâие четности коэффициентоâ àk) линейчàòûé àмплитуäный спектр.
Ñîâокупность орäèíàò ϕk = ϕ k èç (5.7), âõîäÿùèõ â ðàзложение (5.6) и отложенных протиâ ñîîòâåòñòâующих положительных и отрицàтельных чàñòîò, îáðàзует симметричный относительно нà÷à- ëà îñè êîîðäèíàò (âñëåäñòâие нечетности коэффициентоâ bk) линейчàòûé ôàçîâый спектр.
Ðàзложение (5.3) можно преäñòàâèòü è â äðóãой форме. Если учесть, что àk = Àk cos ϕk è bk = Àk sin ϕk, то после поäñòàíîâêè â (5.3) получим:
|
a0 |
∞ |
|
|
f ( α ) = |
+ å Ak cos (kα − ϕk ). |
(5.9) |
||
|
||||
2 |
k=1 |
|
Åñëè ðàññìàòðèâàть постоянную состàâляющую α0/2 êàê íóëå- âóþ ãàрмонику с нà÷àльной фàçîé ϕ0 = 0, òî ðàзложение (5.9) примет âèä
∞ |
|
f ( α ) = å Ak cos (kα − ϕk ). |
(5.10) |
k=0
Â÷àстном случàå, êîãäà функция f(α) симметричнà относительно оси орäèíàò (ðèñ. 5.1, à), â ðàзложении (5.3) окàжутся только четные (косинусоиäàльные) ãàрмоники:
Понятие отрицàтельной чàстоты не имеет физическоãо смыслà, îäíàêî îíî óäîáíî â теоретических исслеäîâàниях, поэтому широко используется â специàльной литерàòóðå.
146
|
|
|
|
|
f(α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(α) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3p |
|
-p |
|
0 |
|
|
|
p |
|
|
3p |
|
|
|
a |
|
|
-2p |
-p |
0 |
|
|
p |
|
2p |
|
a |
|||
|
|
|
/ |
/ |
|
|
|
|
/ |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( a ) = |
a0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ å ak cos ka, |
|
|
|
|
(5.11) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
à при симметричности f(a) |
относительно нà÷àëà |
êîîðäèíàò |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(ðèñ. 5.1, á) нечетные ãàрмоники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( a ) = å bk sin ka. |
|
|
|
|
(5.12) |
k=1
Ïðè ñäâèãå íà÷àëà отсчетà функции f(a) åå àмплитуäный спектр не изменяется, à меняется только фàçîâый спектр. Дейстâи- тельно, сäâинем функцию f(a) ïî îñè âремени âëåâî íà t0 è îáî-
çíà÷èì a1 = w1 (t + t0).
Òîãäà ðàзложение (5.9) примет âèä
|
a |
|
∞ |
|
a |
0 |
∞ |
ü |
|
|
f ( a1 ) = |
|
0 |
+ å Ak cos (ka1 |
- jk ) = |
|
+ å Ak cos (ka - j¢k )ï |
(5.13) |
|||
2 |
2 |
|||||||||
|
k=1 |
|
k=1 |
ý |
||||||
ãäå j¢k = jk + wt0. |
|
|
|
|
ï |
|
||||
|
|
|
|
þ |
|
Пример. Ðàзложить â ðÿä Фурье прямоуãольные колебàíèÿ (ðèñ. 5.1, á). Учитыâàÿ, ÷òî f (a) симметричнà относительно нà÷àëà êîîðäèíàò â ðàзложении (5.3) остàнутся только синусоиäàльные ãàрмоники (5.12), ãäå bk îïðåäе- лится соãëàñíî (5.4):
|
2 |
π |
4 |
|
|
bk = |
ò f ( a ) sin ka da = |
, ãäå k = 1,3,5,K |
|||
p |
kp |
||||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
Ïîäñòàâèâ bk â (5.12), получим рàзложение â ðÿä Фурье:
f ( a ) = |
4 |
æ sin a |
+ |
sin 3a |
+ |
sin 5a |
ö |
(5.14) |
|
p |
ç |
1 |
3 |
5 |
+ K÷. |
||||
|
è |
|
|
ø |
|
Äàëåå ñäâинем получим
f ( a ) = 4p
f (a) íà p/2 âëåâî (ñì. ðèñ. 5.1, à). Òîãäà
é sin ( a + p 2) |
+ |
|
sin 3 ( a + p 2) |
+ |
sin 5 ( a + p 2) |
|||||||||
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
4 |
æ cos a |
- |
cos 3a |
+ |
cos 5a |
ö |
, |
|||||
|
p |
ç |
|
3 |
5 |
|
|
- K÷ |
||||||
|
|
è 1 |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
ñîãëàñíî (5.13)
+Kùú =
û(5.15)
т. е. получили рàзложение по косинусоиäàльным состàâляющим кàê è äолжно быть äля симметричноãо относительно оси орäèíàò ñèãíàëà.
147
f(α) |
f(αn) |
|
|
|
|
|
m |
|
|
0 |
α |
2π |
4π |
α |
|
||||
|
αn |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 5.2 |
|
|
 ðÿäå ñëó÷àåâ, êîãäà периоäè÷íàя функция f(a) çàäàíà ãðà- фически и имеет сложную форму, ее рàзложение â ðÿä Фурье можно осущестâèòü ãðàôî-àíàлитическим способом. Еãî ñóòü çà- êëþ÷àåòñÿ â том, что периоä ñèãíàëà Ò (ðèñ. 5.2) ðàçáèâàþò íà m интерâàëîâ, ðàâíûõ Da = 2p/ò, причем точки рàçðûâà f(a) íå äолжны попàäàòü íà ñåðåäèíó ó÷àñòêîâ ðàзбиения; опреäеляют
çíàчение сиãíàëà f(an) â ñåðåäèíå êàæäîãî ó÷àñòêà ðàзбиения. Нàõîäят коэффициенты рàзложения àk è bk путем зàìåíû èí-
òåãðàëà â (5.2) конечной суммой
|
|
2 |
m |
|
|
|
2p |
ü |
|
|
ak » |
|
å f ( an ) cos k ( n - 1 2) |
|
|
,ï |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
m n=1 |
|
|
|
m |
|
ï |
(5.16) |
|
k |
|
2 |
m |
f ( a |
n |
) sin k ( n - 1 2) |
2p |
|
ý |
|
» |
|
å |
|
. ï |
|
|||||
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m n=1 |
|
|
|
m |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
Óðàâнение (5.16) леãêî ïðîãðàммируется и при âычислении àk è bk, может использоâàòüñÿ ÝÂÌ.
5.2. Действующее, среднее значение и мощность периодического негармонического сигнала
Äëÿ îïðåäеленности положим, что f(t) имеет смысл токà i(t). Òîãäà äåéñòâующее знàчение периоäическоãî íåãàрмоническоãî òî- êà îïðåäеляется соãëàñíî (3.5), ãäå i(t) îïðåäеляется урàâнением (5.10):
∞ |
∞ |
i (t ) = å Imk cos (ka - jk ) = I0 |
+ å Imk cos (kw1t - jk ). (5.17) |
k=0 |
k=1 |
Ïîäñòàâèâ ýòî çíàчение токà â (3.5), после интеãðèðîâàния получим
|
∞ |
I2 |
|
|
∞ |
|
|
|
I = |
I02 + å |
mk |
= |
I02 + å Ik2 , |
(5.18) |
|||
2 |
||||||||
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
ò. å. äåéñòâующее знàчение периоäическоãî íåãàрмоническоãî òîêà I полностью опреäеляется äåéñòâующими знàчениями еãî ãàрмоник Ik è íå çàâèñèò îò èõ íà÷àльных фàç jk.
148
Àíàëîãичным обрàçîì íàõîäèì äåéñòâующее знàчение перио- äическоãо несинусоиäàëüíîãî íàпряжения:
|
|
∞ |
U2 |
|
|
∞ |
|
|
|||
U = |
U02 + å |
|
mk |
= |
U02 + å Uk2 , |
(5.19) |
|||||
2 |
|||||||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
Ñðåäíåå çíàчение токà îïðåäеляется соãëàсно общему âûðà- жению (3.9). Причем обычно берут среäíåå çíàчение i(t) ïî àб- солютной âеличине
|
|
1 |
T |
|
|||
Iñð ( 2) |
= |
ò |
i (t ) |
dt. |
(5.20) |
||
|
|||||||
|
|||||||
|
|
T |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
Àíàëîãè÷íî îïðåäеляется Uñð (2).
С точки зрения теории цепей, большой интерес преäñòàâëÿåò ñðåäíÿÿ àêòèâíàя мощность неãàрмоническоãî ñèãíàëà è ðàñïðå- äеление ее межäó îòäельными ãàрмоникàìè.
Ñðåäíÿÿ àêòèâíàя мощность периоäическоãо несинусоиäàëüíîãî
ñèãíàëà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
|
ò u (t ) i (t ) dt, |
|
|
|
(5.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
i (t ) = å Imk cos (kw1t - jk ), |
|
|
ï |
|
||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
(5.22) |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
u ( |
t |
) = |
U |
mk |
cos (kw t - j |
k |
+ y |
k |
),ï |
|
||
|
|
å |
|
1 |
|
ï |
|
|||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
yk ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током и нàпряжением k-é ãàрмоники. Поäñòàâëÿÿ çíàчения i(t) è u(t) èç (5.22) â óðàâнение (5.21), после интеãðèðîâàния получàåì:
∞ |
∞ |
|
P = å UkIk cos yk = å Pk, |
(5.23) |
|
k=0 |
k=0 |
|
ò, å. ñðåäíÿÿ çà периоä àêòèâíàя мощность периоäическоãî íåãàр- моническоãî ñèãíàëà ðàâíà сумме мощностей отäельных ãàрмоник. Формулà (5.23) ÿâляется оäной из форм широко изâестноãî ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ.
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì ðåàêòèâную мощность
∞ |
∞ |
|
||
Q = å UkIk sin yk |
= å Qk |
(5.24) |
||
k=0 |
k=0 |
|
||
и полную мощность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
S = UI = å Uk2 |
å Ik2 . |
(5.25) |
||
|
k=0 |
k=0 |
|
149
Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что â отличие от ãàрмонических сиãíàëîâ (ñì. (3.121)) äëÿ íåãàрмонических сиãíàëîâ
|
|
S ¹ |
|
|
. |
(5.26) |
|
P2 + Q2 |
|||||
Величинà Pècê = |
|
|
носит |
íàçâàíèå мощности |
||
|
S2 - ( P2 + Q2 ) |
|||||
èñêàжений è õàðàктеризует степень рàзличия â ôîðìàõ òîêà i(t) è |
||||||
íàпряжения u(t). |
|
|
|
|
|
|
Кроме мощности |
èñêàжений периоäические неãàрмонические |
ñèãíàëû õàðàктеризуются еще ряäîì коэффициентоâ: мощности, kì = P/S; формы Kô = U/Uñð (2); àмплитуäû Ka = Um/U; èñêà-
∞
жений kè = U1/U; ãàрмоник kã = å Uk2 U1 è äр. Для синусои-
k=2
äàëüíîãî ñèãíàëà kô = p/2 2 » 1,11; ka = 2 » 1,41; kè = 1; kã = 0.
5.3. Спектры периодических негармонических сигналов
Ðàссмотрим послеäîâàтельность прямоуãольных импульсоâ, изобрàженную нà ðèñ. 5.3, à. Ñèãíàëû ïîäобной формы нàõîäят очень широкое применение â ðàäиотехнике и электросâÿçè: òåëå- ãðàфия, цифроâые системы переäàчи, системы мноãîêàíàльной сâÿ- çè ñ âременным рàçäелением кàíàëîâ, ðàзличные импульсные и цифроâые устройстâà è äð. (ñì. ãл. 19). Импульснàя послеäîâà- тельность хàðàктеризуется слеäующими осноâíûìè ïàðàìåòðàìè: àмплитуäой импульсà Aè , åãî äлительностью tè и периоäîì ñëå- äîâàíèÿ Ò. Отношение периоäà Ò ê äлительности tè íàçûâàåòñÿ ñêâàжностью импульсоâ и обознà÷àется через q = T/tè. Обычно знàчения скâàжности импульсоâ ëåæàò â ïðåäåëàх от нескольких еäèíèö (â измерительной технике, устройстâàõ äискретной пере- äà÷è è îáðàботки информàöèè), äо нескольких сотен или тысяч (â ðàäиолокàöèè).
Äëÿ íàõîæäения спектрà послеäîâàтельности прямоуãольных импульсоâ âоспользуемся ряäом Фурье â комплексной форме (5.6).
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Aè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-tè/2 |
0 tè/2 |
|
t |
0 |
|
tè |
t |
||
|
tè |
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
a) |
|
|
á) |
|
|
Ðèñ. 5.3
Величинà Aè может иметь смысл кàê íàпряжения, тàê è òîêà.
150