Планирование эксперимента - лекция06
.pdfВычисление вероятностей
Определим теперь вероятность сдачи экзамена у студентов, посетивших не все лекции.
oПосетили все лекции 60% студентов, следовательно не все лекции посетили 40% студентов.
oЭкзамен сдали 70% студентов, причем 54% студентов посетили все лекции.
oТаким образом, сдавших экзамен и посетивших не все лекции студентов 70% – 54% = 16%.
P сдал экзамен | посетил не все лекции |
P сдал экзамен и посетил не все лекции |
|
16% |
40% |
|
P посетил не все лекции |
40% |
||||
|
|
|
o Априорная оценка вероятности сдать экзамен: 70%; o Апостериорная оценка: 40%.
Независимость событий
Определение. События А и В независимы, если вероятность того, что они произойдут одновременно, равна произведению их вероятностей, т.е.
P A и B P A P B
Определение. Две случайные величины называются независимыми, если любое событие первой случайной величины не зависит от любого события второй случайной величины.
Теорема. Если А и В – события с ненулевой вероятностью, то они независимы тогда и только тогда, когда
P A P A | B
Независимость событий
Задача. Пусть для оборудования операционной нужно закупить аппарат искусственного дыхания. Мы можем воспользоваться двумя моделями. Первая – дорогая импортная модель, которая стоит 10 000$ и дает один отказ на 100 тысяч операций. Кроме этого нам предлагают дешевую отечественную модель, которая стоит всего 1000$, но отказывает на каждой сотой операции. Будем ли мы поддерживать отечественного производителя?
Независимость событий
Задача. Вы собираетесь лететь на самолете чартерным рейсом. При ближайшем осмотре самолета вы приходите в ужас от того, что его моторы работают с явными перебоями, но стюардесса вас утешает, т.к. хотя каждый из моторов и отказывает примерно на одном рейсе из ста, но самолет четырехмоторный, и если что, он и на трех моторах долетит. Полетим или откажемся?
Независимость событий
Решение.
oВероятность того, что не откажет ни один из двигателей, равна 0,99×0,99×0,99×0,99 = 0,9606.
oВероятность того, что откажет хотя бы один из четырех двигателей, равна 1 – 0,9606 = 0,0394.
oВероятность того, что откажет только первый двигатель, а остальные нет, равна
0,01×0,99×0,99×0,99 = 0,0097.
oВероятность того, что откажет ровно один двигатель из четырех, равна 4×0,0097 = 0,0388.
Независимость событий
Решение (продолжение).
oВероятность того, что у самолета откажет не более одного двигателя, равна 0,9606+0,0388 = 0,9994.
oВероятность того, что откажет больше одного двигателя (и самолет не долетит), равна 1–0,9994 = 0,0006, т.е. примерно 6 отказов на 10 тысяч полетов.
oПри средней продолжительности жизни в 70 лет (25 тысяч дней) вероятность смерти за день около
0,00004.
oПоездка оправдана, если продолжается более
0,0006 / 0,00004 = 14 дней.
Независимость событий
«Тонкое место» всех подобных расчетов – требование к независимости событий.
Однако у этих событий может быть некоторая общая компонента, чей вклад может коренным образом изменить ситуацию: плохие метеоусловия, некачественное горючее, плохое техобслуживание и так далее.
Пример несоответствия расчетной и фактической надежности – авария на Чернобыльской АЭС.
Закон больших чисел
Насколько частота может отличаться от вероятности?
Теорема (закон больших чисел). По мере увеличения объема наблюдений частота стремится к вероятности.
Теорема (усиленный закон больших чисел).
P A 1 P A
P A PN A ~ N
Для того, чтобы повысить точность в 10 раз, нужно объем наблюдений увеличить в 100 раз.
Закон больших чисел
Случайные величины
Дискретные случайные величины – случайные величины, которые могут принимать только одно значение из некоторого (конечного или бесконечного) набора X1, X2, …
Такие случайные величины можно задать набором
вероятностей:
p1 P X1 p2 P X 2
...
Пример:
oподбрасывание монеты до выпадения первой «решки».