Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С
.pdfРис. 30
ТЕМЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЩИТЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
1.Определение и геометрический смысл производной.
2.Таблица основных производных.
3.Правила дифференцирования.
4.Логарифмическое дифференцирование.
5.Производная неявной и параметрически заданной функции.
6.Производные второго и более высоких порядков.
7.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
8.Правило Лопиталя – Бернулли.
9.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
10. Формула Маклорена для функций e x, sinx , cos x , ln 1 x , 1 x m .
11.Необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции.
12.Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума, достаточные признаки существования экстремума функции.
13.Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
14.Выпуклость (вогнутость) кривой. Признаки выпуклости (вогнутости) графика функции.
15.Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
16.Вертикальные и наклонные асимптоты.
17.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Пример 1. Найдите производную yxданных функций:
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
а) |
y |
; |
б) y ln sin 1 |
x ; в) |
y |
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
y 1 cos x x5; |
д) sin( xy) cos(x |
|
2 y) |
y 2 |
0 ; |
е) |
|
x |
t |
cos t . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
t 2 |
sin t |
Решение
а) Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная дроби, производная степенной функции:
|
|
|
2x2 x 1 |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
2 4x |
|
x 1 |
|
|
2 4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x 1 2 4x 2x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4x 1 2 4x 2x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x 1 2 4x 2 2x2 |
|
|
x 1 |
|
8x 16x2 |
2 4x 4x2 2x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4x 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4x |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
12x2 |
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
6x 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
6x 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
3x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
4x |
3 |
2 |
3 |
|
1 |
|
2x |
3 |
|
|
|
4 1 2x |
|
|
2 1 2x |
2 1 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная логарифма, производная синуса, производная степенной функции.
|
|
|
sin |
1 |
x |
|
|
cos 1 |
x |
1 x |
|
|
1 |
|
x |
|||||
y ln sin 1 x |
ctg 1 x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin |
1 |
x |
|
|
sin |
1 |
x |
2 1 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ctg |
1 |
|
x |
. |
||||
ctg 1 x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 x |
2 |
1 |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: y |
|
ctg |
1 |
x |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
1 x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Преобразуем квадратный корень в степень:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln x |
3 |
|
ln x |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Данная функция сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная степенной функции, производная дроби, производная логарифма.
y |
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
ln x |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 1 |
|
1 |
|
x 1 |
|
|
|
x 1 ln x 3 x 1 ln x 3 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
ln x 3 |
2 |
|
ln x 3 |
|
|
ln x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln x |
3 |
|
x |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln x 3 x ln x 3 x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 ln x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x ln x 3 2 |
|||||||||||||
|
= |
x ln x 3 x 1 |
|
= |
|
x ln x 4x 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x (x |
1) (ln x |
3)3 |
|
2x |
|
(x |
1) |
(ln x |
3)3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: |
y |
|
|
x ln x |
4x |
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x |
|
(x |
1) |
(ln x |
3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Данная функция относится к виду показательно-степенной функции y u v. Для нахождения ее производной прологарифмируем данную функцию:
ln y x5 ln 1 cos x .
Дифференцируем левую и правую часть этого равенства, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой –
производную произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
5x4 ln 1 |
cos x |
x5 |
|
|
1 |
|
sin x . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
1 |
cos x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решаем полученное уравнение относительно у : |
||||||||||||||||
|
y |
y |
5x4 ln 1 |
cos x |
x5 |
sin x |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
||
Заменяя y на |
1 |
cos x x5 , получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
1 |
cos x x5 |
5x4 |
ln 1 |
cos x |
x5 |
sin x |
. |
|
|
|||||
|
1 |
cos x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
y |
1 |
cos x x5 |
|
5x4 ln 1 |
cos x |
|
x5 |
sin x |
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos x |
д) Данная функция задана неявно. Находим производную от левой части равенства, рассматривая при этом у как функцию от х. Затем из полученного равенства выражаем искомую производную у :
cos (xy) x y |
sin( x 2 y) (x 2 y) y 2 |
0 ; |
cos(xy) 1 y |
x y |
|
sin(x |
|
2y) |
(1 |
2y ) |
|
2y |
y 0; |
|
|||||||||||||||
y cos (xy) |
x y cos (xy) |
|
sin(x |
2y) |
2y sin(x |
2y) |
2y y 0 ; |
|||||||||||||||||||
y |
x cos (xy) |
|
2 sin(x |
2y) |
|
2y |
|
y cos (xy) |
|
sin(x |
2y) ; |
|||||||||||||||
y |
|
|
sin( x |
2 y) |
|
y cos(xy) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x cos(xy) |
|
2sin( x |
|
2 y) |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
y |
|
|
|
|
|
sin( x |
|
2 y) |
y cos(xy) |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x cos(xy) |
|
2sin( x |
2 y) 2 y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
е) |
Данная |
функция |
x |
t |
cos t |
задана |
параметрически. Производная |
|||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
данной |
функции |
находится |
по |
формуле |
yx |
|
yt |
. Продифференцируем по |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt |
|
|
переменной t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xt |
t |
(cos t) |
1 |
sin t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
yt |
(t 2 ) |
(sin t) |
|
2t |
|
cos t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда yx |
|
|
yt |
|
|
2t |
cost |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
xt |
1 |
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
yx |
|
2t |
cost |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Составьте формулу Тейлора с остаточным членом в форме |
||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа для функции |
|
|
|
|
|
в точке |
|
a |
3 . |
|
|
|||||||||||||||
f (x) |
|
x |
2 |
|
|
|
|
Решение
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для
произвольной функции y |
f (x) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f (x) |
f (a) |
|
f (a) |
(x |
a) |
|
|
|
f |
(a) |
(x a)2 |
f (a) |
(x |
a)3 ... |
|
|
|
|||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (n) (a) |
(x a)n |
|
|
f (n 1) ( ) |
(x a)n 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
a |
|
|
(x a) , 0 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для составления формулы Тейлора найдем производные данной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
до n-го порядка включительно и их значения в точке a |
3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (3) |
3 2 |
1; |
||||||||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(3) |
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f |
(x) |
|
|
|
(x |
2) |
3 / 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(3) |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) |
1 |
|
1 |
|
3 |
|
(x |
2) |
5 / 2 |
|
|
f (3) |
1 3 |
|
3 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8 |
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
(x |
2)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
IV |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7 / |
f |
IV |
(3) |
1 3 5 |
|
|
15 |
; |
|||||||||||
f |
(x) |
|
|
|
|
|
|
(x |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
16 |
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
(x |
2)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n |
|
x |
|
1 |
n |
1 1 3 5 ... |
2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
п |
3 |
|
1 |
п |
1 1 3 5 ... |
2п 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
x |
2 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем производную (n + 1)-го порядка для остаточного член в форме |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
(n 1) |
(x) ( 1) |
n 1 3 |
5 ... (2 n |
1) |
|
|
|
|
f |
(n 1) |
( ) ( 1) |
n |
1 3 |
5 ... (2 n |
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
(x 2)2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
( |
|
|
|
2)2 n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
3 , |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1)n |
|
1 3 |
|
5 ... (2 n |
1) |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
(1 |
|
(x |
3))2 n 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
3 |
1 |
|
|
(x 3)2 |
|
3 (x |
3)3 |
|
|
|
|
|
|
n 1 3 ... (2n |
3) |
|
|
|
(x |
3)n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
1 |
|
... ( 1) |
|
|
R |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1! |
|
|
4 |
|
2! |
|
8 |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
x |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 1 3 5 ... |
|
2n |
3 x |
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k 1 1 3 5 ... |
2k |
3 |
|
|
|
|
x |
|
3 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
( |
1)n 1 |
|
1 3 |
|
5 ... (2 n |
1) |
|
(x |
3)n 1 |
|
, |
|
0 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
(1 |
|
|
|
|
(x |
3))2 n 1 |
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
1 1 3 5 ... 2k |
|
3 x |
3 |
k |
|||||
|
Ответ: |
|
x |
2 1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
k! |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( |
1)n |
1 3 5 ... |
(2 n |
|
1) (x |
|
3)n 1 |
|
, 0 |
1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
3))2 n 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
(x |
(n 1)! |
|
|
|
|||||||
|
Пример |
3. |
Найдите |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значение функции |
||||||||||||||
y |
x 2 |
7 |
на отрезке [–1, 3]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать: 1) в критических точках, если они существуют и принадлежат [–1, 3];
2) на концах отрезка (т. е. при x 1 или x 3 ).
1. Найдем критические точки. Для этого найдем y и решим уравнение y 0 .
y |
x 2 |
7 |
|
2x (x 3) (x 2 |
7) x 2 |
6x 7 |
; |
||
x |
3 |
|
(x 3) 2 |
|
|
(x |
3) 2 |
||
|
|
|
|
|
x 2 |
6x 7 |
0; |
x 2 6x 7 0; D 64 ; |
x 1 |
1, 3 |
; |
|
|
|||||
(x |
3) 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
7 |
|
1, 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. |
Найдем y( |
1), |
y(1), |
y(3) и выберем из них наибольшее и наименьшее |
|||||||||||||||||
значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y( |
1) |
|
( |
1)2 |
7 |
|
|
|
8 |
|
4 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y(1) |
12 |
7 |
|
|
8 |
|
|
|
2; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y(3) |
|
32 |
7 |
|
16 |
8 |
|
2 |
2 |
. |
|||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ: y( |
1) |
|
|
4 – наибольшее значение функции на [–1, 3]; |
y(1) 2 – наименьшее значение функции на [–1, 3].
Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.
a) |
y |
x2 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
||
1. |
Область определения. |
|
|
||||
Исключим точку, в которой знаменатель дроби x 3 0, т. е. x |
3. Таким |
||||||
образом, D( y) |
, 3 |
3, |
. |
|
|
2. |
Четность, нечетность, периодичность функции. |
|
||||||||||||||
|
y( x) |
|
( |
x)2 |
|
|
x2 |
|
x2 |
|
|
y x |
y x ; y x |
y x . |
|||
|
|
|
x) |
|
|
|
x 3 |
x |
|
|
|||||||
|
|
( |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. |
||||||||||||||||
|
Так как |
|
в |
состав |
функции |
не входят |
периодические |
функции, то |
|||||||||
y |
x2 |
|
– непериодическая. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3. |
Непрерывность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как заданная функция является элементарной, то она непрерывна на своей области определения. Единственной точкой, в которой функция не
существует, является точка x |
3. |
|
|
||||||||||
Исследуем характер разрыва функции в этой точке. |
|||||||||||||
|
lim |
|
x2 |
|
|
3 |
0 2 |
|
9 |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 x |
3 |
3 |
0 |
3 |
|
0 |
|
|||||
x |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
x2 |
|
|
|
3 |
0 2 |
|
9 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 x |
3 |
3 |
0 |
3 |
0 |
|
||||||
x |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как и левый и правый предел не являются конечными, то точка x 3 есть точка разрыва 2-го рода.
4. Асимптоты.
а) при x 3 функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая x 3 вертикальная асимптота;
б) найдем наклонные асимптоты:
k |
xlim |
|
|
x2 |
|
|
|
x lim |
|
x2 |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x(x |
3) |
|
|
x2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
lim |
|
x2 |
|
x |
lim |
|
x2 |
x2 3x |
|
lim |
|
3x |
|
3 . |
|||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
x |
3 |
|
x |
3 |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
Прямая y |
|
x |
3 – наклонная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Нули функции и интервалы знакопостоянства. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Функция |
y |
|
x2 |
|
обращается в нуль при |
x |
0 . Разобьем всю числовую |
|||||||||||||||||||
x 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прямую на интервалы точками x |
|
3 , x |
0 |
и |
определим интервалы |
|||||||||||||||||||||
знакопостоянства функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
( |
, 3) |
|
( 3, 0) |
|
|
(0, |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
– |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функция отрицательна на интервале ( |
, |
3) |
и положительна на |
|||||||||||||||||||||||
интервалах ( 3, 0) |
(0, +∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. Интервалы монотонности и экстремумы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Найдем критические точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x2 |
x 3 |
x 3 x2 |
2x x 3 x2 |
|
x2 |
6x |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
3 2 |
|
|
|
|
x 3 2 |
|
x 3 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
если x 2 |
6x 0, |
x |
0, x |
2 |
|
6 – критические точки; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y' |
не существует при x |
3, но эта точка не является критической, потому |
||||||||||||||||
что функция в ней не определена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками x |
3 , x |
0 и |
||||||||||||||||
|
x |
6 , и определим знак производной y' на этих интервалах: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
х |
|
|
(– |
, –6) |
|
–6 |
(–6, –3) |
|
–3 |
(–3, 0) |
|
|
0 |
(0, + |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
|
+ |
|
0 |
– |
|
не |
|
– |
|
|
0 |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
существует |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
–12 |
|
|
|
|
точка |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
разрыва |
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция возрастает в интервалах (– , –6) и (0, + ), убывает в интервалах
(–6, –3) и (–3, 0);
y( 6) 12 – максимум функции; y(0) 0 – минимум функции.
7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Найдем точки перегиба:
y |
|
x2 |
6x |
|
(2x 6) x 3 2 |
x2 |
|
6x 2 x 3 |
|||||
|
x |
3 2 |
|
|
|
|
|
x |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(2x 6) x 3 2 x2 |
6x |
18 |
, |
y 0 . |
||||||||
|
|
|
x |
3 3 |
|
|
x |
3 3 |
Следовательно, в D( y) точек перегиба нет. Исследуем выпуклость и
вогнутость графика слева и справа от точки разрыва x 3 . Для этого определим интервалы знакопостоянства второй производной у":
х |
(– , –3) |
–3 |
(–3, + ) |
|
|||
|
|
|
|
y (x) |
– |
не существует |
+ |
|
|
|
|
y(x) |
выпукла |
не существует |
вогнута |
|
|
|
|
8. Построение графика (рис. 31).
у
|
y |
x2 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
||
х = – 3 |
|
|
|
–3 |
0 |
|
х |
|
у = х – 3 |
|
–12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 31 |
|
|
|
9. |
Область значений. |
|
|
|
|
|||||||
На основании построенного графика получаем, что |
|
|||||||||||
Е(Eу)y= (–∞, ,–12] |
[0,0 |
+∞). |
|
|
|
|
||||||
б) |
f (x) |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Область определения. |
|
|
|
|
|||||||
Так как x 1 |
0, |
|
|
x |
1, таким образом |
|
|
|
||||
D( f (x)) |
|
, |
1 |
1, . |
|
|
|
|
||||
2. |
Четность, нечетность, периодичность функции. |
|
||||||||||
f |
x |
|
e |
x |
|
|
|
1 |
f x f x |
, |
f x |
f x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
1 2 |
|
|
|
e x 1 x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.
В состав функции не входят периодические функции, следовательно, функция непериодическая.
3. Непрерывность.
Вычислим односторонние пределы в точке x 1.
|
lim |
|
e x |
|
e |
1 |
|
|
; |
|||||
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
x |
1 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
e x |
|
e |
1 |
|
|
. |
||||
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||
x |
1 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в точке x 1 функция терпит разрыв 2-го рода (бесконечный).
4. Асимптоты.
а) так как в точке x 1 функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая x 1 – вертикальная асимптота;
б) найдем наклонные асимптоты:
k1 |
lim |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
e |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
1 2 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b1 |
lim |
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 2 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k2 |
lim |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воспользуемся правилом |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x x |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лопиталя Бернулли |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x lim |
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
x lim |
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
x lim |
e x |
|
|
|
||||||
|
x |
3 |
|
|
2 x |
2 |
|
x |
|
|
3x2 4x |
1 |
|
|
|
|
6 x 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, при x |
|
|
график |
|
функции имеет горизонтальную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
асимптоту y |
|
|
0 . А при x |
|
наклонных (горизонтальных) асимптот нет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Нули функции и интервалы знакопостоянства. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x |
|
0 ни при каких х, следовательно, |
график функции с осью Ох не |
пересекается, причем на всей области определения функция положительна.
f (0) |
|
e0 |
|
|
1, |
(0, 1) – точка пересечения |
f x с осью Оу. |
|
|
||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Интервалы монотонности и экстремумы. |
|
|
|
|
|||||||||
Найдем f |
x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
|
ex |
|
x 1 2 |
ex 2 x 1 |
|
x 1 ex |
x 1 2 ex |
|
ex x 1 |
; |
||
|
|
|
|
|
x 1 4 |
|
x 1 4 |
x 1 3 |