УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев
.pdf7.АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
7.1Метод наименьших квадратов
Вотличие от полиномиальной интерполяции в данном случае решается задача о приближении (аппроксимации) функции f (x) , заданной таблично,
такой функцией (x) , чтобы среднее квадратичное отклонение (x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция (x) при этом назы-
вается аппроксимирующей функцией, а метод построения такой функции – методом наименьших квадратов. Основной задачей аппроксимации является построение приближенной (аппроксимирующей) непрерывной функции, наиболее близко проходящей около заданных точек.
При среднеквадратичном приближении мерой отклонения (x) от заданной функции f (x) на множестве точек (x j , y j ), j 0, ..., n является
величина S, равная сумме квадратов разностей между аппроксимирующей функцией и функцией, заданной таблично:
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
S x j y j . |
|
|
|
|||
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
Практически важным случаем такой аппроксимации является случай |
||||||||
приближения табличной функции многочленом |
|
|
|
|||||
x a |
0 |
a x a |
2 |
x2 a |
m |
xm , m n. |
(49) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
При этом коэффициенты aj |
нужно подобрать так, чтобы достичь наи- |
меньшего среднеквадратичного отклонения многочлена от известных значений заданной функции:
|
|
n |
2 |
|
min |
|
m |
y j |
|
S a0 a1x j am x j |
. |
|||
ai ,i 0,...,m |
j 0 |
|
|
Такойметодаппроксимацииприводитксистемелинейныхалгебраических уравнений, которую всегда нетрудно решить любым известным способом.
Поскольку параметры a0 , a1 , ..., am выступают в роли независимых пере-
менных функции S, то ее минимум находится путем приравнивания нулю частных производных S по этим переменным:
S |
0; |
S |
0; ; |
S |
0. |
|||
a |
0 |
a |
a |
m |
||||
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
Определив частные производные и положив их равными нулю, получим:
101
|
S |
|
|
2 |
|
n |
y |
|
|
a |
|
|
a x |
|
|
a |
|
|
x2 |
... a |
|
|
xm |
1 0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
0 |
j |
2 |
m |
|||||||||||||||||||||||||
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S |
|
|
2 |
|
|
n y |
|
|
a |
|
|
|
a x |
|
|
a |
|
|
|
x2 |
... a |
|
|
|
xm |
x |
|
0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
j |
0 |
j |
|
2 |
m |
j |
|||||||||||||||||||||||
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 y j |
a0 |
a1 x j |
a2 x j |
... am x j |
x j |
0; |
|||||||||||||||||||||||
a2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
n |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm xm 0. |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
a x |
|
a |
|
x2 |
... a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
0 |
j |
2 |
m |
||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
j |
|||||||||||
m |
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведя коэффициенты при неизвестных a0 , a1, ..., am в соответст-
вующие суммы и перенеся свободные члены вправо от знака равенства, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
1 a |
0 |
a |
|
x |
j |
a |
2 |
|
x2 |
a |
m |
xm |
|
|
y |
j |
; |
|
||
|
|
1 |
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
a0 |
x j |
a1 x2j |
|
a2 x3j |
am xmj |
1 |
y j x j ; |
(50) |
|||||||||||||
|
j 0 |
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
||
a0 |
xmj |
a1 xmj |
1 a2 xmj 2 am x2j m |
y j xmj . |
|
||||||||||||||||
|
j 0 |
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
j 0 |
|
j 0 |
|
|
|
Решив эту систему, найдем коэффициенты a0 , a1 , ..., am многочлена (49),
которые являются искомыми параметрами эмпирической3 функции. Систему (50) можно записать в более компактном виде:
b00 a0 b01a1 b0m am c0 ;b10 a0 b11a1 b1m am c1;
bm0 a0 bm1a1 bmm am cm .
n |
n |
|
Здесь bkl xkj |
l , ck xkj y j , |
k, l 0, , m. |
j 0 |
j 0 |
|
Система линейных уравнений (50) называется нормальной системой. Для её решения удобно применять метод Зейделя, который сходится для любой степени аппроксимирующего полинома.
3 Эмпирическая (выборочная) функция распределения в математической статистике – это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него
(ru.wikipedia.org).
102
При m 0 получим выражение (x) = P0(x)=a0, которое рассчитаем из уравнения
n
n 1 a0 y j
j 0
или
n
y j
a0 j 0
n 1
(среднее значение функции y на отрезке аппроксимации).
При т = 1 полином примет вид: (x) = P1 (x) a0 a1 x . Коэффициенты a0 и a1 находятся из системы уравнений
|
1 a |
|
|
n |
x a |
n |
y |
|
; |
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
j 0 |
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi a0 x2j a1 y j x j . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
j 0 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это линейная аппроксимация. |
|
|
|
(x) P (x) a |
|
a x a |
|
x2 |
|
|||||
При m 2 имеем следующий полином: |
0 |
2 |
, а |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
коэффициенты a0, a1 и a2 находятся при решении системы трех уравнений с тремя неизвестными:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x |
a |
|
|
|
n |
|
x |
2a |
|
|
|
n |
|
y |
|
; |
|
||
|
|
|
n 1 a |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
j |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
j |
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
j |
1 |
|
|
|
n |
j |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2a |
|
|
x3a |
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2j a0 x3j a1 x4j a2 y j x2j . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
m 3 |
искомый |
|
|
полином |
|
|
|
имеет |
|
|
|
|
следующий вид: |
||||||||||||||||||||
(x) P (x) a |
0 |
a x a |
|
x2 |
|
a x3 |
, а коэффициенты a0, a1, a2 и a3 находятся |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
103
n 1 a |
|
|
n |
x |
a |
|
n |
x |
2 a |
|
|
n |
x |
3a |
|
|
n |
y |
|
; |
||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
x j a0 x2j a1 x3j a2 x4j a3 y j x j ; |
||||||||||||||||||||||
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
(51) |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
x2j a0 x3j a1 x4j a2 x5j a3 y j x2j ; |
||||||||||||||||||||||
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
a2 |
|
|
6 |
a3 |
|
|
|
|
3 |
|||||
x j a0 |
x j |
a1 x j |
x j |
|
y j x j . |
|||||||||||||||||
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
Пример 3 2 .
Используяметоднаименьшихквадратов, построитьаппроксимирующи- й полином 3-й степени для функции, заданной в табличном виде (табл. 6):
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
x |
|
3 |
|
3,2 |
3,4 |
3,7 |
3,9 |
4 |
y |
|
–14 |
|
–10 |
–8 |
–12 |
–16 |
–18 |
Решение. |
|
|
|
|
|
|||
Здесь n 5, |
m 3 . |
|
|
|
|
|
Найдем минимум суммы квадратов отклонений:
5
min (xj ,a0,a1,a2 ,a3 ) yj 2.
a0 , ,a3 j 0
Полином третьей степени выглядит следующим образом:
(x) P3 (x) a0 a1x a2 x2 a3 x3.
Коэффициенты a0 , a1 , a2 , a3 вычислим, решив СЛАУ (51).
Решение в среде табличного процессора MS Excel приведено на рис. 26. Представлены графики табличной функции (штриховая линия) и аппроксимирующей функции (сплошная линия).
Решение данного примера в MathCAD приводится в лабораторном практикуме (см. пример 24 [21]).
Для аппроксимации таблично заданных функций по методу наимень-
ших квадратов можно применять и функции, отличные от полиномиальных
и содержащие некоторые неизвестные коэффициенты, определенные, как и в случае полиномиальной аппроксимации, из условия минимума суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от заданных значений.
104
x i |
|
y |
x i 2 |
x i 3 |
x i 4 |
x i 5 |
x i 6 |
x i y i |
y i x i 2 |
y i x i 3 |
3 |
|
-14 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
-42 |
-126 |
-378 |
3,2 |
|
-10 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
335,5443 |
1073,741824 |
-32 |
-102,4 |
-327,68 |
3,4 |
|
-8 |
11,56 |
39,304 |
133,6336 |
454,3542 |
1544,804416 |
-27,2 |
-92,48 |
-314,432 |
3,7 |
|
-12 |
13,69 |
50,653 |
187,4161 |
693,4396 |
2565,726409 |
-44,4 |
-164,28 |
-607,836 |
3,9 |
|
-16 |
15,21 |
59,319 |
231,3441 |
902,242 |
3518,743761 |
-62,4 |
-243,36 |
-949,104 |
4 |
|
-18 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
4096 |
-72 |
-288 |
-1152 |
21,2 |
|
-78 |
75,7 |
273,044 |
994,2514 |
3652,58 |
13528,01641 |
-280 |
-1016,52 |
-3729,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
|
|
|
b i |
|
Обратная матрица |
|
|
||
6 |
|
21,2 |
75,7 |
273,044 |
-78 |
|
177164,0824 |
-153086,6273 |
43851,34 |
-4164,51 |
21,2 |
|
75,7 |
273,044 |
994,251 |
-280 |
|
-153086,6273 |
132522,1826 |
-38029,2 |
3617,938 |
75,7 |
|
273,044 |
994,2514 |
3652,58 |
-1016,52 |
|
43851,34362 |
-38029,15304 |
10932,56 |
-1041,9 |
273,04 |
|
994,251 |
3652,58 |
13528 |
-3729,05 |
|
-4164,507216 |
3617,938415 |
-1041,9 |
99,46654 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a i
654,97
467,187
106,94
7,48298
x i |
y |
P 3 |
3-14 13,8736
3,2 -10 9,8856
3,4 -8 8,70627
3,7 -12 11,4177
3,9 -16 15,6886
4-18 18,4282
Рис. 26. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов в MS Excel
Пример 3 3 .
Результаты эксперимента характеризуются таблицей (табл. 7). Подобрать аппроксимирующую функцию и решить задачу аппроксимации.
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
j |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
xj |
5 |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
yj |
1 |
5 |
20 |
200 |
|
2000 |
Решение.
Аппроксимирующая функция y x должна удовлетворять условию:
n |
2 |
S x j y j min. |
j 0
105
Можно перебрать различные варианты элементарных функций или их
комбинации, например: y(x) sin x , |
y(x) x2 , |
y(x) ln x , |
y(x) ex , |
y(x) a sin(x b) c cos(x d) e x2 |
и т.д. |
|
|
Сложно найти общий подход к вопросу выбора аппроксимирующих функций. Можно построить график табличной функции и определить вид зависимости.
Заданная табличная функция напоминает экспоненту, поэтому в качестве аппроксимирующей выберем функцию y a ebx . Определим
наилучшие значения параметров a и b. Для этого вычислим min S . Составим сумму квадратов отклонений S a,b :
S(a,b) 4 aebx j y j 2
j0
(ae5b 1)2 (ae10b 5)2 (ae20b 20)2 (ae30b 200)2 (ae40b 2000)2 .
Продифференцируем полученное выражение по переменным a и b:
S(a,b) 4 2 aebx j y j ebx j ;
a j 0
S(a,b) 4 2 aebx j y j aebx j x j .
b j 0
Приравнивая нулю эти частные производные, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
S(a,b) 2 aebx j y j ebx j 0; |
|
||
|
4 |
|
|
a |
j 0 |
y j aebx j x j |
0. |
S(a, b) 2 aebx j |
|||
|
4 |
|
|
b |
j 0 |
|
|
На рис. 27 приводится решение полученной системы нелинейных уравнений в MathCAD.
|
5 |
|
|
1 |
|
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
x |
20 |
y |
20 |
|
|
|
30 |
|
|
200 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
106
a 0.2 |
b 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b xi |
|
|
|
|
b xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 a e |
|
|
yi |
|
e |
|
|
0 |
|
|||
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
b xi |
|
|
|
|
|
b xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
|||||
2 a e |
|
|
yi |
|
a e |
|
|
|||||
i 0 |
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|||
u Find(a b) |
u |
|
|
|
||||||||
0.23 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 e0.23 x1 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
10 |
|
|
20 |
|
|
30 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x |
|
|
|
Рис. 27. Аппроксимация экспоненциальной функцией в системе MathCAD
Решение системы – a 0,2 и b 0,23 – обеспечивает наилучшее приближение функции y 0,2 e0,23 x к заданной табличной функции.
yi, j
Pi – число наблюдений величины yi.
107
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
Пусть x – среднее для xi, yi |
i yi, j |
|
||||||
j 1 |
– математическое ожидание ве- |
|||||||
Pi |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
личины |
yi, j , а |
|
|
yi |
– среднее значение математических ожиданий yi . |
|||
y |
i 1 |
|||||||
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Будемсчитать, чтотабличнозаданнаяфункцияаппроксимируетсялинейной
моделью y a b x . Тогда |
|
оценки |
коэффициентов |
|
линейной |
модели |
||||||||||
можно произвести по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xi yi x |
yi Pi |
|
|
Pi |
xi yi |
x yi Pi |
|
|
|||||||
b |
|
Pi |
|
N |
; |
(52) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
xi x |
|
|
|
Pi (xi |
|
x |
|
|
|
a y bx.
Для оценки адекватности модели реальной табличной функции вычисляют следующие величины: Sr2 , называемую взвешенной суммой
квадратов, и Sl2 – меру рассеивания, вызванного случайной ошибкой.
Sr2 |
1 |
|
Pi ( yi |
yˆi )2 , |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 2 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
Pi |
|
|
|
|
|
|
( yi, j yi )2 |
(53) |
||||
2 |
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
Sl |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
Pi |
n |
|
|
i 1
где yˆi a b (xi x) .
Затем по специальным таблицам вычисляется величина F1- , которая называется критерием Фишера, причем есть уровень значимости – мера допустимой ошибки, которая определяется требуемой точностью аппроксимации табличной функции.
Если |
S 2 |
F1 , то выбор линейной модели неадекватен реальной |
r |
||
|
Sl2 |
|
зависимости, в противном случае модель хорошо описывает процесс.
Пример 3 4 .
Оценить адекватность линейной модели функции, заданной в табл. 8.
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
i |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Аргумент хi |
10 |
|
10 |
20 |
20 |
30 |
30 |
Функция yi,j |
12,6 |
|
12,8 |
13,8 |
13,6 |
16,7 |
17,5 |
108
Рассчитать величины a, b, а также Sr2 , Sl2 и оценить их отношение,
считая, что F1- = 5,41. Решение.
Аппроксимируем исходную функцию линейной моделью y a b x ,
для определения коэффициентов которой воспользуемся формулами (55). Определим математическое ожидание yi для каждой величины yi, j и
среднее значение математических ожиданий y .
|
|
|
|
|
|
y1 |
12,6 12,8 |
12,7 . |
|
|
||
Аналогично y2 13,7; |
|
y3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
17,1. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
12,7 13,7 17,1 14,5; x 10 20 30 |
20; |
|
||||||
|
|
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
b |
2 (10 12,7 20 13,7 30 17,1) 20 2 (12,7 13,7 17,1) |
0,22; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
102 202 302 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 14,5 0,22 20 10,1; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y 0,22 x 10,1. |
|
|
|
|
Оценим адекватность полученной линейной модели по формулам (53).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yˆ1 10,1 0,22 (10 20) 7,9; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yˆ2 |
10,1 0,22 (20 20) 10,1; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yˆ3 |
10,1 0,22 (30 20) 12,3. |
|
|||||
Sr2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 (12,7 7,9)2 |
(13,7 10,1)2 |
(17,1 12,3)2 118,08; |
|||||||
3 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sl2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(12,6 12,7)2 |
(12,8 12,7)2 |
(13,8 13,7)2 |
0,12. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(13,6 |
13,7)2 |
(16,7 17,1)2 (17,5 17,1)2 |
|
||||||||||
Получили |
S |
2 |
S 2 |
984 F |
|
; следовательно, линейная модель неадек- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
l |
|
|
1 |
|
|
|
ватна реальной зависимости.
7.3.Среднеквадратичная аппроксимация
вметрическом пространстве
Метрическим пространством R = (Х, r) называется множество, в
котором между любой парой элементов определено обладающее определенными свойствами расстояние, называемое метрикой.
ЗдесьХ– множество(пространство) элементов(точек), r – расстояние,
т. е. неотрицательная действительная функция r(х,у), определенная для любых х и у из Х и подчиненная следующим трем аксиомам (аксиомам метрики):
109
1)r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2)r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии);
3)r(х, z) ≤ r(х, у) + r(у, z) (аксиома треугольника).
В данном разделе рассматриваются функции из метрического пространства L2 [a,b] , то есть функции, интегрируемые на интервале [a, b]
вместе со своим квадратом. Скалярное произведение и норма в таком пространстве определены следующим образом:
( f , g) b |
f (x) g(x)dx ; |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
( f , f ) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a
Общаязадачааппроксимациивэтомслучаезаключаетсявприближении заданной функции f(x) функциями y из L2 [a,b] таким образом, чтобы
f y |
|
|
|
была минимальной. Другими словами, необходимо, чтобы |
|
|
выполнялось условие f y , где – заданная точность аппроксимации.
Наиболее распространена аппроксимация заданной функции комбинацией из системы ортогональных или ортонормированных функций, то
есть функций |
k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1, 2, , |
для |
которых |
выполняется |
условие: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( k , m ) k , m , где k , m |
– символ Кронекера ( k , m |
1, если k = m; |
k , m 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если k m), если система функций ортонормированная, и ( k , m ) 0 |
при k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m, если система ортогональная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда в |
|
качестве |
|
|
|
|
аппроксимирующей функции берется |
сумма |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y ck k (x) , |
и задача аппроксимации сводится к отысканию коэффи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
циентов ck. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
k (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Итак, имеем задачу: |
|
|
min |
f (x) ck |
. |
Решим эту задачу. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ck |
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f y |
|
|
|
|
|
2 b ( f y)( f y)dx |
|
|
|
f |
|
|
|
2 2 ( f , y) |
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
2 2 ck fk ck2 fk2 |
fk2 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
k 0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( f , y) ck ( f , k ) ck |
fk , где |
fk ( f , k ) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 ck2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
f y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
2 (ck fk )2 |
fk2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110