теория вероятности / Билет статистика
.docЗадание 2. В американском городке население состоит из 25% афроамериканцев, 40% итальянцев и 35% других этнических групп. В полиции служат 40 человек, среди них 3 афроамериканца и 21 итальянец – остальные других этнических групп. Рассчитать наблюдаемые и ожидаемые частоты проверить, пользуясь критерием Пирсона, соответствует ли состав полиции пропорциональному представительству в ней всех групп населения?
Решение.
Определим ожидаемые частоты:
Наблюдаемые частоты:
Вычислим статистику χ2:
По таблице χ2-распределения находим: χ2крит(0,05;1) = 3,84
Критическая область имеет вид χ2 > χ2крит. Так как вычисленное значение хи-квадрат попадает в критическую область, то гипотеза о том, что состав полиции соответствует пропорциональному представительству в ней всех групп населения отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
Задание 3. Получены следующие данные при изучении между весом и объемом грудной клетки у новорожденных:
Вес, кг |
Объем грудной клетки, см |
2,75 |
29,5 |
2,15 |
26,3 |
4,41 |
32,2 |
5,52 |
36,5 |
3,21 |
27,2 |
Установить, есть ли связь между этими параметрами, используя параметрический коэффициент корреляции. Можно ли здесь написать уравнение регрессии?
Решение.
Построим расчетную таблицу.
№ |
Вес, кг, х |
Объем грудной клетки, см, у |
х2 |
ху |
у2 |
1 |
2,75 |
29,5 |
7,5625 |
81,125 |
870,25 |
2 |
2,15 |
26,3 |
4,6225 |
56,545 |
691,69 |
3 |
4,41 |
32,2 |
19,4481 |
142,002 |
1036,84 |
4 |
5,52 |
36,5 |
30,4704 |
201,48 |
1332,25 |
5 |
3,21 |
27,2 |
10,3041 |
87,312 |
739,84 |
Сумма |
18,04 |
151,7 |
72,4076 |
568,464 |
4670,87 |
Среднее |
3,608 |
30,34 |
14,48152 |
113,6928 |
934,174 |
Линейный коэффициент корреляции .
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=3 находим tкрит: tкрит = 3,182
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Поскольку |tнабл| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции.
Написать уравнение регрессии в данном случае можно.
Задание 4. При изучении зависимости двух величин получены следующие данные:
№ |
Х |
Y |
1 |
200 |
110 |
2 |
210 |
109 |
3 |
230 |
132 |
4 |
250 |
140 |
5 |
260 |
160 |
6 |
300 |
155 |
По критерию ранговой корреляции проверить для , достоверна ли эта зависимость.
Решение.
Присвоим ранги признаку Y и фактору X.
ранг X, dx |
ранг Y, dy |
(dx - dy)2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
3 |
0 |
4 |
4 |
0 |
5 |
6 |
1 |
6 |
5 |
1 |
Коэффициент Спирмена .
По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0,05/2;4) = 2,776
Поскольку < p, то то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь значимая.
Задание 5. Проверить достоверность среднего для величин 42,54,48 .
Решение.
Средняя ошибка средней .
Задание 6. Используя табличные результаты исследований:
ДО/ПОСЛЕ |
1 |
0 |
1 |
19 |
15 |
0 |
21 |
27 |
по критерию Мак-Немара проверить гипотезу об отсутствии различий между показателями ДО и ПОСЛЕ на выбранном уровне значимости р=0,01 (1%).
Решение.
Наблюдаемое значение критерия
А критическое значение, рассчитанное по заданному уровню значимости равно 6,635.
Поскольку рассчитанное значение критерия меньше критического табличного, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии различий между показателями ДО и ПОСЛЕ на выбранном уровне значимости.
Задание 7. Используя критерий хи-квадрат проверить эффективность действия нового лекарства.
|
Наступило улучшение |
Не наступило |
Принимали |
126 |
53 |
Не принимали |
201 |
185 |
Решение.
Рассчитаем теоретические частоты по формуле: для каждой клетки таблицы.
Вычислим статистику χ2:
По таблице χ2-распределения находим: χ2крит(0,05;1) = 3,84, где v = (r-1)(s-1) = (2-1)(2-1) = 1 - число степеней свободы.
Критическая область имеет вид χ2 > χ2крит. Так как вычисленное значение хи-квадрат попадает в критическую область, то гипотеза о независимости отвергается с вероятностью ошибки 0,05.